【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题69 不等式的性质及绝对值不等式（含解析）

考点69 不等式的性质及绝对值不等式

1．（河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学理）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是

A． B． C． D．

2．（天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试二数学理）已知函数若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.

4．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴数学理）已知，若，则的取值范围是______.

5．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学理）选修4-5：不等式选讲

（1）已知，且，证明；

（2）已知，且，证明.

6．（山东省滨州市2019届高三第二次模拟5月考试数学理）[选修4-5：不等式选讲]

已知，，，且.

证明：

（1）；

（2）.

7．（山东省青岛市2019届高考模拟检测数学理）已知，函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若函数的最小值为1，证明：.

8．（江苏省苏锡常镇2018届高三3月教学情况调研一）已知，都是正数，且，求证：.

9．（2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

(1)求关于的不等式的解集；

(2) ,使得成立,求实数的取值范围.

10．（宁夏银川市唐徕回民中学2018届高三下学期第四次模拟考数学理）（选修4-5：不等式选讲）

已知函数．

（1）求的最大值；

（2）设，，，且，求证：．

11．（2018年普通高校招生全国卷 I  A 信息卷 高三理）选修4-5：不等式选讲

已知.

（1）求证：；

（2）求函数的零点个数.

12．（东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2018届高三第二次模拟考试数学理）设函数．

（1）设的解集为，求集合；

（2）已知为（1）中集合中的最大整数，且（其中，，为正实数），求证：．

13．（重庆市南开中学2020届高三上学期第一次教学质量检测考试数学理）已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）设，若对任意成立，求的最大值.

14．（2019年山西省忻州市静乐县高三下学期6月月考）已知函数.

（1）若,解不等式；

（2）若存在实数,使得不等式成立,求实数的取值范围.

15．（山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测三模数学理）已知函数，．

（1）若将函数图象向左平移个单位后，得到函数，要使恒成立，求实数的最大值；

（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围．

16．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知函数.

（1）当，时，求不等式的解集；

（2）若，，的最小值为2，求的最小值.

17．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

18．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理）已知函数.

(1)若，求x的取值范围；

在（1）的条件下，求的最大值.

19．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试理）设函数，其中，.

（1）当，时，求关于的不等式的解集；

（2）若，证明：.

20．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一数学理）已知，且的解集为.

（1）求实数，的值；

（2）若的图像与直线及围成的四边形的面积不小于14，求实数取值范围.

21．（山东省烟台市、菏泽市2019届高三5月高考适应性练习一理）[选修4—5：不等式选讲]:已知函数．

(1)当m=2时，求不等式的解集；

(2)若的解集包含区间，求m的取值范围。

22．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）已知函数．

（1）解不等式；

（2）记函数的最小值，正实数，满足，求证：．

23．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求实数的取值范围．

24．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知．

（1）求不等式的解集；

（2）设、、为正实数，且，求证：．

25．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）[选修4—5：不等式选讲]

已知函数.

（1）当，求不等式的解集；

（2）对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

26．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）设函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ），证明：.

考点69 不等式的性质及绝对值不等式

1．（河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学理）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0＜a＜2．

取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,

∴

，当且仅当4即时，等号成立，

∴此三棱锥体积的取值范围是

故选：

2．（天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试二数学理）已知函数若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

,

当且仅当时，，

方程有且仅有两个不同的整数解等价于，

有两个不同的整数解，

即图象夹在与之间的部分有且仅有两个点的横坐标为整数，

画出的图象，如图，

，

由图象可知，当时，即时，

图象夹在与之间的部分有且仅有两个点的横坐标0，为整数，

所以的取值范围是，故选A.

3．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.

【答案】

【解析】

，

要使恒成立，

则，或，

即或，

实数的取值范围是.故答案为.

4．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴数学理）已知，若，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

，.

而已知，

故，，

由取等条件知，，

所以得.

故答案为：

5．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学理）选修4-5：不等式选讲

（1）已知，且，证明；

（2）已知，且，证明.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

证明：（1）因为

，

当时等号成立.

（2）因为 ，

又因为，所以，，，∴.

当时等号成立，即原不等式成立.

6．（山东省滨州市2019届高三第二次模拟5月考试数学理）[选修4-5：不等式选讲]

已知，，，且.

证明：

（1）；

（2）.

【答案】(1)见解析.(2)见解析.

【解析】

（1）方法一：因为，

所以，

因为，，，

所以

.

所以，当且仅当时，等号成立.

方法二：，

所以，当且仅当时，等号成立.

（2）方法一：

，

所以，

当且仅当时，等号成立.

方法二： ，

所以，

当且仅当时，等号成立.

7．（山东省青岛市2019届高考模拟检测数学理）已知，函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若函数的最小值为1，证明：.

【答案】（1）（2）见证明

【解析】

（1）当时，，

所以或或.

所以不等式的解集为.

（2）因为，，，

所以 ，当且仅当等号成立；

因为的最小值为1，所以，

所以，

因为，，，当且仅当a=b=c等号成立

所以，

所以.

8．（江苏省苏锡常镇2018届高三3月教学情况调研一）已知，都是正数，且，求证：.

【答案】见解析

【解析】

因为，都是正数，

所以，，

，又因为，

所以.

9．（2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

(1)求关于的不等式的解集；

(2) ,使得成立,求实数的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】 (1)由题意得

不等式可化为或或 或

解得．

所以不等式的解集为．

 (2) ，使得成立，等价于.

由(1)知，

当时， ，

当且仅当，即当时，等号成立．

所以，

解得，

又，

所以．

故实数的取值范围为．

10．（宁夏银川市唐徕回民中学2018届高三下学期第四次模拟考数学理）（选修4-5：不等式选讲）

已知函数．

（1）求的最大值；

（2）设，，，且，求证：．

【答案】(1)m=3;

(2) ∵， ∴

．当且仅当，即，，时取等号，即.

【解析】

分析：（1）绝对值不等式，分段讨论求最值；

（2）根据三个正数的基本不等式公式，代入即可证明.

详解：（1）由知，即．

（2）：∵，  ∴

．当且仅当，即，，时取等号，即.

11．（2018年普通高校招生全国卷 I  A 信息卷 高三理）选修4-5：不等式选讲

已知.

（1）求证：；

（2）求函数的零点个数.

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】（1）由柯西不等式得

，

当且仅当，即时，取等号.

（2）对于二次函数，

由（1）知，时，，此时仅有一个零点；

当不全相等时，，此时零点个数为.

12．（东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2018届高三第二次模拟考试数学理）设函数．

（1）设的解集为，求集合；

（2）已知为（1）中集合中的最大整数，且（其中，，为正实数），求证：．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）即

当时，不等式化为，∴；

当时，不等式化为，不等式恒成立；

当时，不等式化为，∴.

综上，集合.

（2）由（1）知，则.

则，同理，则

，即.

13．（重庆市南开中学2020届高三上学期第一次教学质量检测考试数学理）已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）设，若对任意成立，求的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】解析：（1），

当时，即，∴；

当时，即，∴；

当时，即，无解；

综上，；

（2）由（1）知，当时，取到最小值，故对任意成立，

即，

由柯西不等式知，

当且仅当时等号成立，

∴，即，

当，，时，右边等号成立，∴的最大值为.

14．（2019年山西省忻州市静乐县高三下学期6月月考）已知函数.

（1）若,解不等式；

（2）若存在实数,使得不等式成立,求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）不等式化为,

则或,或,

解得,所以不等式的解集为.

（2）不等式等价于，

即，由基本不等式知，

若存在实数，使得不等式成立，则，

解得，所以实数的取值范围是.

15．（山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测三模数学理）已知函数，．

（1）若将函数图象向左平移个单位后，得到函数，要使恒成立，求实数的最大值；

（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）由函数向左平移个单位可知，

函数，

要使恒成立，则，即恒成立，

因为，

所以只需，即实数的最大值为1.

（2）当时，

函数

若函数存在零点，

则满足函数，

即，

因为函数与函数的图像有且只有一个交点，

所以实数的取值范围为.

16．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知函数.

（1）当，时，求不等式的解集；

（2）若，，的最小值为2，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）当，时，，

得或或，解得：，

∴不等式的解集为.

（2），

∴，

∴，

当且仅当，时取等号.

∴的最小值为.

17．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）当时，，

当时，，无解；

当时，，得，所以；

当时，，符合.

综上，不等式的解集为.

（2）因为恒成立等价于，

因为，

所以.

所以，所以，解得.

所以所求实数的取值范围为.

18．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理）已知函数.

(1)若，求x的取值范围；

在（1）的条件下，求的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】 (1)由已知得，，即，即，

即x的取值范围为．                    

(2)由可得

由柯西不等式，得

.                

当且仅当，即时，

的最大值为

19．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试理）设函数，其中，.

（1）当，时，求关于的不等式的解集；

（2）若，证明：.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

解：（1）由，，

得，                               

所以的解集为.                                       

（2）由，可得，

，                                           

因为，，

所以，

当且仅当时等号成立.所以.

20．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一数学理）已知，且的解集为.

（1）求实数，的值；

（2）若的图像与直线及围成的四边形的面积不小于14，求实数取值范围.

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由得：，，

即，解得，.

（2）的图像与直线及围成的四边形，，，，.

过点向引垂线，垂足为，则.

化简得：，（舍）或.

故的取值范围为.

21．（山东省烟台市、菏泽市2019届高三5月高考适应性练习一理）[选修4—5：不等式选讲]:已知函数．

(1)当m=2时，求不等式的解集；

(2)若的解集包含区间，求m的取值范围。

【答案】（1）（2）

【解析】（1）当时，只需解不等式.

   当时，不等式化为，解得；

   当时，不等式化为，解得；

   当时，不等式等价于，解得

综上，不等式的解集为.                

（2）因为的解集包含区间，

     所以当时，成立，也就是

，即成立.  

解上述不等式得 ，即. 

     由已知条件，

所以，       

解得.      

     所以的取值范围是.

22．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）已知函数．

（1）解不等式；

（2）记函数的最小值，正实数，满足，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）等价于

或或，

故或或，

综上解集为.

（2）

当且仅当取等号，

，，

，当且仅当时等号成立，

．

23．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）或；（2）空集.

【解析】

解：（1）不等式，即.

可得，或或，

解得或，所以不等式的解集为.

（2）当时，，所以，

由得，即，

则，该不等式无解，

所以实数的取值范围是空集（或者）.

24．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知．

（1）求不等式的解集；

（2）设、、为正实数，且，求证：．

【答案】(1) (2)见证明

【解析】

（1）①时，，

由，∴，∴，即，

②时，，由，∴，∴，即，

③时，，由，∴，∴，可知无解，

综上，不等式的解集为；

（2）∵，∴，

∴，且为正实数

∴，

∵，，，

∴，

∴

又为正实数，∴可以解得．

25．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）[选修4—5：不等式选讲]

已知函数.

（1）当，求不等式的解集；

（2）对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）当时，为：

当时，不等式为：，解得：，无解

当时，不等式为：，解得：，此时

当时，不等式为：，解得：，此时

综上所述，不等式的解集为

（2）对于任意实数，，不等式恒成立等价于

因为，当且仅当时等号成立

所以

因为时，，

函数单调递增区间为，单调递减区间为

当时，

，又，解得：

实数的取值范围

26．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）设函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ），证明：.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）因为

根据题意，或或

解之得，

故解集为.

（Ⅱ）当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.

所以当时，函数.

由题知，即，

∵，

则，所以.

∴，∴，

所以.