人教版八年级上册第十三章 轴对称综合与测试优秀同步练习题

这是一份人教版八年级上册第十三章 轴对称综合与测试优秀同步练习题，共16页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
证明题及解答题训练


1.已知，如图D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A＝46°，∠D＝50°．求∠ACB的度数．











2.已知，如图△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°，


求∠BOC的度数．








3.已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．








4.已知：AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，且AD∥BC．求证：∠B＝∠C．


























5.已知，如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC内任一射线，交CE于E．求证：∠EBC＜∠ACE．





6.已知：如图P是△ABC内任一点，


(1)求证：AB＋AC＞BP＋PC．(2)求证：∠BPC＞∠A．





7.如图，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．





8.如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F.


（1）填空：∠AFC=______度；


（2）求∠EDF的度数.














9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC.若∠ABC＝64°，∠AEB＝70°，求∠CAD的度数．














10.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.（此题为求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数）


(1)若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数；


(2)若∠C－∠B＝30°，求∠DAE的度数；


(3)若∠C－∠B＝α(∠C＞∠B)，求∠DAE的度数(用含α的代数式表示)．











11-1.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.若∠BOC＝120°，


求∠A。（此题为求两内角平分线的夹角的度数）














11-2.如图，△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．


(1)若∠A＝80°，求∠BPC的度数．


(2)求证：∠BPC＝90°+eq \f(1,2)∠A．

















12.如图，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交于点A1.（此题为求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数）


(1)求证：∠A1＝eq \f(1,2)∠A；


(2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，得∠A3……依此得到∠A2017，若∠A＝α，求∠A2017．

















13.如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，


求证：∠BOC＝90°-eq \f(1,2)∠A．（此题为求两外角平分线的夹角的度数。）





14.如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．











15.如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.


(1)求证：∠EAC＝∠B；


(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．

















16.如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG＝55°.


(1)求∠BFD的度数；


(2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝44°，求∠BAC的度数．








17.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD=∠BDC．


（1）若∠BCD=70°，求∠ABC的度数；


（2）求证：∠EAB+∠AEB=2∠BDC．

















18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．


（1）求∠CBE的度数；


（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．





19.如图，AD是△ABC边上的高，BE平分∠△ABC交AD于点E．若∠C=60°，∠BED=70°．求∠ABC和∠BAC的度数．











20.如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．











21.如图：


（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；


（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．











22.（1）图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= °．





（2）如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．





（3）如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数 °．








23.如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.




















24.在△ABC中，三个内角的度数均为正数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度数.



















































































第十一章《三角形》与三角形有关的角


证明题及解答题训练


参考答案


1.已知，如图D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A＝46°，∠D＝50°．求∠ACB的度数．


答案：94°


2.已知，如图△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°，


求∠BOC的度数．





答案：120°


3.已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．


答案：10°（备注：此为垂线和角平分组合，∠DAE=1/2（∠B-∠C），）


4.已知：AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，且AD∥BC．求证：∠B＝∠C．


证明略。


5.已知，如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC内任一射线，交CE于E．求证：∠EBC＜∠ACE．








证明：∠EBC＜∠DCE，而∠DCE＝∠ACE，∴ ∠EBC＜∠ACE．


6.已知：如图P是△ABC内任一点，


（1）求证：AB＋AC＞BP＋PC．(2)求证：∠BPC＞∠A．





证明：（1）延长BP交AC于点D．在△BAD中，，


即：．①


在△PDC中，．②


①＋②得


，


即．


（2）延长BP交AC于D，


∵，


∴．


7.如图，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．





解：由三角形内角和定理，得


．


∴ ．


又∵ AE平分∠BAC．


∴ ．


∴ ．


又∵ ，


∴ ．


8.如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F.


（1）填空：∠AFC=______度；


（2）求∠EDF的度数.





解：（1）∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠BAD=∠DAF，


∵∠B=50°∠BAD=30°，∴∠AFC=∠B+∠BAD+∠DAF=110°；故答案为110.


（2）∵∠B=50°，∠BAD=30°，∴∠ADB=180°-50°-30°=100°，


∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠ADE=∠ADB=100°，


∴∠EDF=∠EDA+∠BDA-∠BDF=100°+100°-180°=20°.


9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC.若∠ABC＝64°，∠AEB＝70°，求∠CAD的度数．





解：∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝eq \f(1,2)∠ABC＝eq \f(1,2)×64°＝32°.


∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.


∵∠AEB＝70°，∴∠C＝∠AEB－∠EBC＝70°-32°＝38°，


∴∠CAD＝90°-∠C＝90°-38°＝52°


10.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.


(1)若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数；


(2)若∠C－∠B＝30°，求∠DAE的度数；


(3)若∠C－∠B＝α(∠C＞∠B)，求∠DAE的度数(用含α的代数式表示)．





解：(1)由题意可得∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°，


∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=90°-70°=20°，


∠CAE=eq \f(1,2)∠BAC=35°，


∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=35°-20°=15°.


∵∠B+∠C+∠BAC=180°，


∴∠BAC=180°-∠B-∠C.


∵AE平分∠BAC，


∴∠CAE=eq \f(1,2)∠BAC=eq \f(1,2)(180°-∠B-∠C)＝90°-eq \f(1,2)(∠B+∠C)．


∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C.


∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-eq \f(1,2)(∠B+∠C)-(90°-∠C)


=eq \f(1,2)(∠C-∠B)=eq \f(1,2)×30°=15°.


∵∠C-∠B=α，由(2)中可知∠DAE=eq \f(1,2)(∠C-∠B)=eq \f(1,2)α





11-1.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.若∠BOC＝120°，


求∠A。（此题为求两内角平分线的夹角的度数）





11-2.如图，△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．


(1)若∠A＝80°，求∠BPC的度数．


(2)求证：∠BPC＝90°+eq \f(1,2)∠A．





答案：25-1:60°


25-2:（1）130°


（2）∵BP，CP为角平分线，


∴∠PBC+∠PCB=eq \f(1,2)(∠ABC+∠ACB)=eq \f(1,2)(180°-∠A)=90°-eq \f(1,2)∠A，


∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-＝90°＋eq \f(1,2)∠A.


12.如图，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交于点A1.（此题为求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数）


(1)求证：∠A1＝eq \f(1,2)∠A；


(2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，得∠A3……依此得到∠A2017，若∠A＝α，求∠A2017。





证明：∵CA1平分∠ACD，∴∠A1CD＝eq \f(1,2)∠ACD＝eq \f(1,2)(∠A＋∠ABC)．


又∵∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，


∴∠A1＋∠A1BC＝eq \f(1,2)(∠A＋∠ABC)．


∵BA1平分∠ABC，


∴∠A1BC＝eq \f(1,2)∠ABC，∴eq \f(1,2)∠ABC＋∠A1＝eq \f(1,2)(∠A＋∠ABC)，


∴∠A1＝eq \f(1,2)∠A.


(2)eq \f(α,22017)


13.如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，


求证：∠BOC＝90°-eq \f(1,2)∠A





证明：如图，∵BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分线，


∴∠DBC＝2∠1＝∠ACB＋∠A，∠ECB＝2∠2＝∠ABC＋∠A，


∴2∠1＋2∠2＝2∠A＋∠ABC＋∠ACB＝∠A＋180°，


∴∠1＋∠2＝eq \f(1,2)∠A＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC＝180°，


∴∠BOC＝180°-(∠1＋∠2)＝90°-eq \f(1,2)∠A.


14.如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．





解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x.


根据三角形内角和为180°知∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，即2x＋2x＋x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝2x＝72°.


在Rt△BDC中，∠DBC＝90°-∠C＝90°-72°＝18°.


15.如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.


(1)求证：∠EAC＝∠B；


(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．





（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.


又∵∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠EAD-∠CAD＝∠EDA-∠BAD＝∠B；


（2）解：设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°.


由(1)知∠EAC＝∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝(x＋50)°.


在△EAD中，∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，


∴3x°＋2(x＋50)°＝180°，解得x＝16.∴∠E＝48°.


16.如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG＝55°.


(1)求∠BFD的度数；


(2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝44°，求∠BAC的度数．





解：(1)∵EH⊥BE，∴∠BEH＝90°.∵∠HEG＝55°，


∴∠BEG＝∠BEH－∠HEG＝35°.


又∵EG∥AD，∴∠BFD＝∠BEG＝35°；


（2）∵∠BFD＝∠BAD＋∠ABE，∠BAD＝∠EBC，


∴∠BFD＝∠EBC＋∠ABE＝∠ABC.


由(1)可知∠BFD＝35°，


∴∠ABC＝35°.∵∠C＝44°，


∴∠BAC＝180°-∠ABC-∠C＝180°-35°-44°＝101°.


17.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD=∠BDC．


（1）若∠BCD=70°，求∠ABC的度数；


（2）求证：∠EAB+∠AEB=2∠BDC．





解：（1）∵∠BCD=70°，∴∠BCD=∠BDC=70°，∴∠ABC=180°–70°–70°=40°．


（2）∵∠EAB+∠AEB=180°–∠ABC，∠BCD+∠BDC=180°–∠ABC，


即2∠BCD=180°–∠ABC，


∴∠EAB+∠AEB=2∠BDC．


18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．


（1）求∠CBE的度数；


（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．





解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，


∴∠ABC=90°-∠A=50°，∴∠CBD=130°．


∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°．


（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，


∴∠CEB=90°-65°=25°．


∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．


19.如图，AD是△ABC边上的高，BE平分∠△ABC交AD于点E．若∠C=60°，∠BED=70°．求∠ABC和∠BAC的度数．





解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，


又∵，∠BED=70°，


∴．


∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBE=40°．


又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，∴∠BAC=180°–∠ABC–∠C=80°．


20.如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．





解：∵∠A=40°，∠B=76°，∴∠ACB=180°-40°-76°=64°，


∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=32°，


∴∠CED=∠A+∠ACE=72°，∴∠CDE=90°，DF⊥CE，


∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，∴∠CDF=72°．


21.如图：


（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；


（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．





（1）证明：延长BD交AC于点E，


∵∠BEC是△ABE的外角，


∴∠BEC=∠A+∠B．


∵∠BDC是△CED的外角，


∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．








（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．


证明：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD


=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1


=（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）


=180°+180°=360°．





22.（1）图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= °．





（2）如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．





（3）如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数 °．





解：（1）∵∠1=∠C+∠D，∠2=∠E+∠F，


∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．





(2)在四边形BEFG中，


∵∠EBG=∠C+∠D，


∠BGF=∠A+∠ABC，


∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°．





(3)∵∠POA是△OEF的外角，∴∠POA=∠E+∠F．


同理：∠BPO=∠D+∠C．


∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°，


∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．





23.如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.





答案：80° 提示：∠A＝2∠BGC－∠BDC





24.在△ABC中，三个内角的度数均为正数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度数.


解：设∠C＝x°，则∠A＝(x)°，


∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－x°


由∠A＜∠B＜∠C，得x＜180－x＜x．


解得70＜x＜84． ∵x是整数，∴ x＝77．


故∠C＝77°，则∠A＝44°，∠B＝180°－77°－44°＝59°．