人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理精品学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理精品学案，共14页。学案主要包含了温故知新，探究新知等内容，欢迎下载使用。




1.理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义.


2.熟记基底、基向量的概念.会选择恰当的基底表示空间向量.


3.会用共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理和空间向量基本定理解决空间几何中的简单问题.





重点：掌握共面向量定理及空间向量基本定理


难点：用空间向量基本定理解决有关问题.





一、温故知新


1． 平面向量基本定理及其证明，其证明过程为：




















①平移：将平移成同一始点的向量．


②平行投影：过平移后所得向量的终点分别作平移后所在直线的平行线与这两条直线分别相交，得在方向上的分向量．


③依据共线向量定理，分别用表示在方向上的分向量．


④求分向量的和，代入，定理得证．


平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面内两个不共线向量来线性表示．





一、情境导学


“道生一,一生二,二生三,三生万物”这句话出自老子《道德经》,它表示“道”生万物从少到多，从简单到复杂的一个过程。





联系到我们学过的平面向量基本定理,可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量;推广到三维空间,仍然为给出一组三维的基底,可以生成空间中的所有向量.


二、探究新知


1.平面向量中的结论


(1)共线向量基本定理:如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.


(2)平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb.


1.已知直角坐标平面内的两个向量a=(1,3),b=(m,2m-3),使得平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb,则m的取值范围是 .


2.空间中的共线向量基本定理


两个空间向量a,b,如果a≠0,且b∥a,则存在唯一的实数λ,难得b=λa.


点睛： 证明(或判断)三点A,B,C共线时,只需证明存在实数λ,使AB=λBC(或AB=λAC)即可;也可用“对空间任意一点O,有OC=tOA+(1-t)OB”来证明三点共线.





2.两个有公共终点的向量,一定是共线向量.( )


3.已知向量a,b不共线,p=ka+b,q=a-k2b,若p,q共线,则k的值是( )


A.0 B.1 C.-1 D.2


3.共面向量定理


如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb.


4.判断


(1)若p与a,b共面,则p=xa+yb.( )


(2)若MP=xMA+yMB,则P,M,A,B共面. ( )


(3)若P,M,A,B共面,则MP=xMA+yMB. ( )


例1.如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,中，AB =a,AC =b, AA1 =c,在AC1上和BC上分别有一点M和N，且AM= k AC1, BN= k BC,其中0≤k≤1。


求证：MN,a,c共面





证明空间三向量共面或四点共面的方法


向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.对于此方法的使用要注意涉及的向量的始点、终点问题,如,本例中当MN和CD、DE没有关联的


端点时要说明CD与DE不共线.除了例题中记法,另,若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任一点O,有OP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=1成立,则P,A,B,C四点共面.可使用这一推论进行共面的证明.


跟踪训练1.如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,





点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=13BD,AN=13AE.求证:向量MN,CD,DE共面.








跟踪训练2已知A,B,C三点不共线,点M满足OM=13OA+13OB+13OC.


(1)MA,MB,MC三个向量是否共面?


(2)点M是否在平面ABC内?





4.空间向量基本定理


如果空间中的三个向量a,b,c不共面,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.其中,空间中不共面的三个向量a,b,c组成的集合{a,b,c},常称为空间向量的一组基底.此时,a,b,c都称为基向量;如果p=xa+yb+zc,则称xa+yb+zc为p在基底{a,b,c}下的分解式.


1.判断


(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.( )


(2)若{a,b,c}为空间的一组基底,则a,b,c全不是零向量.( )


(3)如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一组基底,则一定有a与b共线.( )


(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一组基底.( )


2.长方体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=3i,AD=2j,AA1=5k,则AC1等于( )


A.i+j+k B.13i+12j+15k


C.3i+2j+5kD.3i+2j-5k


例2. 如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设 AB =a,AD =b, AA' =c,


试用基底a,b,c表示向量AC', BD', A'C, DB'.

















1.空间中,任一向量都可以用一组基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.


2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.


3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.





跟踪训练3. 如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,已知AA'=a,AB=b,AC=c,点M,N分别是BC',B'C'的中点,试用基底{a,b,c}表示向量AM,AN.











延伸探究 若把本例中,“AA'=a”改为“AC'=a”,其他条件不变,则结果是什么?











例3.如图所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1,中，D为A1C1的中点, ∠ABC=600,AB=2,BC=CC1,=1,


求AB1 ∙ CD





























跟踪训练4.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=13CD


(1)证明:EF⊥B1C;


(2)求EF与C1G所成角的余弦值.








1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是( )


A.AB,AC,ADB.AB,AA1,AB1


C.D1A1,D1C1,D1D D.AC1,A1C,CC1


2.下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是( )


A.OM=2OA-OB-OC


B.OM=15OA+13OB+12OC


C.MA+MB+MC=0


D.OM+OA+OB+OC=0


3.(多选)若空间中任意四点O,A,B,P满足OP=mOA+nOB,其中m+n=1,则结论正确的有( )


A.P∈直线AB B.P∉直线AB


C.O,A,B,P四点共面 D.P,A,B三点共线


4.有下列命题:


①若AB∥CD,则A,B,C,D四点共线;②若AB∥AC,则A,B,C三点共线;③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+14e2,则a∥b.


其中真命题是 .(把所有真命题的序号都填上)





5.在四面体O-ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则OE= .(用a,b,c表示)


6．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．


（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；


（2）求异面直线与所成角的余弦值．














参考答案：


知识梳理


学习过程


1.解析:要使c=λa+μb成立,则只需a与b不共线,即只需满足m1≠2m-33,即3m≠2m-3,故m≠-3.


答案:{m|m≠-3}


2.答案:×


3.解析:若p,q共线,则存在唯一的实数x,使p=xq,即ka+b=xa-xk2b,


则k=x,1=-xk2,解得k=-1.


答案:C


4.判断答案:(1)× (2)√ (3)×


例1. 证明：因为


AM= k AC1= kb+kc,


AN= AB+BN= a+ k BC=a+ k-a+b = (1- k)a+ kb


所以MN= AN-AM=(1- k)a+ kb-kb-kc=(1- k)a-kc


由共面向量定理可知MN,a,c共面


跟踪训练1.证明:因为M在BD上,且BM=13BD,


所以MB=13DB=13DA+13AB.


同理AN=13AD+13DE.


所以MN=MB+BA+AN


=13DA+13AB+BA+13AD+13DE


=23BA+13DE=23CD+13DE.


又CD与DE不共线,根据向量共面的充要条件可知MN,CD,DE共面.


跟踪训练2解:(1)∵OA+OB+OC=3OM,


∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC),


∴MA=BM+CM=-MB-MC,


∴向量MA,MB,MC共面.


(2)由(1)知向量MA,MB,MC共面,


又它们有共同的起点M,


且A,B,C三点不共线,


∴M,A,B,C四点共面,即点M在平面ABC内.


1.判断答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)×


2.解析: AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=3i+2j+5k.


答案:C


例2. 解：因为是平行六面体，所以


AC'=AB +BC+CC'=AB +AD+AA'


= a+b+c


类似地，有


DB'=BA +AD+DD'= -AB +AD+AA'= a+b+c,


AC'=A'B'+B'B + BC= a+b-c,


BD'=DA+AB+BB'=a-b+c,





跟踪训练3. 解:连接A'N


AM=AB+12BC'=AB+12(BC+CC')


=AB+12BC+12CC'=AB+12(AC-AB)+12AA'


=12AB+12AC+12AA'=12(a+b+c).


AN=AA'+A'N=AA'+12(A'B'+A'C')


=AA'+12(AB+AC)=a+12b+12c.


延伸探究解:因为M为BC'的中点,N为B'C'的中点,


所以AM=12(AB+AC')=12a+12b.


AN=12(AB'+AC')=12(AB+BB'+AC')=12AB+12CC'+12AC'


=12AB+12(AC'-AC)+12AC'=12AB+AC'-12AC=12b+a-12c.


例3. 解：由题意可知，BA=2,BC=BB1=1,


=600, = =900


所以BA∙BC=2×1×COS600=1，BB1∙BA=BB1∙BC=0


又因为AB1=,AB + BB1=-BA + BB1,


CD =CC1+C1D=CC1+ 12C1A1=BB1+12CA=BB1+12(BA-BC )


所以AB1 ∙ CD =(-BA + BB1) ∙ BB1+12(BA-BC )


=-BA ∙ BB1- 12BA ∙ BA +12BA ∙ BC+ BB1∙ BB1+ 12BB1∙ BA - 12BB1∙ BC


=- 12×4+12×1+1=- 12


跟踪训练4.思路分析选择一个空间基底,将EF,B1C,C1G用基向量表示.(1)证明EF·B1C=0即可;(2)求EF与C1G夹角的余弦值即可.


(1)证明:设DA=i,DC=j,DD1=k,


则{i,j,k}构成空间的一个正交基底.


所以EF=ED+DF=-12k+12(DA+AB)=12i+12j-12k,B1C=B1B+BC=-i-k,


所以EF·B1C=12i+12j-12k·(-i-k)=-12|i|2+12|k|2=0,所以EF⊥B1C.


(2)解:EF=12i+12j-12k,C1G=C1C+CG=-k-13j,


|EF|2=12i+12j-12k2=14|i|2+14|j|2+14|k|2=3,


|EF|=3,|C1G|2=-k-13j2=|k|2+19|j|2=4+49=409,|C1G|=2103,


∴cs=EF·C1G|EF|·|C1G|


=12i+12j-12k·-k-13j3×2103=432303=3015.


达标检测


1.答案:C


解析:只有选项C中的三个向量是不共面的,可以作为一个基底.


2.解析:C选项中,MA=-MB-MC,


∴点M,A,B,C共面.答案:C


3. 解析:因为m+n=1,所以m=1-n,所以OP=(1-n)·OA+nOB,即OP-OA=n(OB-OA),即AP=nAB,所以AP与AB共线.


又AP,AB有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈直线AB.因为OP=mOA+nOB,故O,A,B,P四点共面.


答案:ACD


4.解析:根据共线向量的定义知,若AB∥CD,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①是假命题;若AB∥AC且AB,AC有公共点A,则A,B,C三点共线,所以②是真命题;由于a=4e1-e2=-4-e1+14e2=-4b,所以a∥b,故③是真命题.


答案:②③


5.解析: OE=OA+12AD=OA+12×12(AB+AC)=OA+14×(OB-OA+OC-OA)


=12OA+14OB+14OC=12a+14b+14c.


答案:12a+14b+14c


6． 解：（1）


，同理可得，


．


（2）因为，


所以，


因为，


所以．


异面直线与所成角的余弦值为．