数学选择性必修 第一册1.2.1 空间中的点、直线与空间向量优秀教案

这是一份数学选择性必修 第一册1.2.1 空间中的点、直线与空间向量优秀教案，共14页。教案主要包含了情境导学，探究新知，达标检测，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。




本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节主要学空间中的点、直线与空间向量。在向量坐标化的基础上，将空间中点、直线的位置关系，转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决立体几何问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。











1.教学重点：点的位置向量与直线的方向向量的概念及其应用


2.教学难点：用直线的方向向量解决两条直线所成的角，判断两直线平行与垂直





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教学中主要突出创设问题情景和问题引导，通过生活中的手势语言类比运用向量语言表示立体几何要素，进而在将向量坐标化，让学生初步体会空间向量坐标化的基本思想，并以此来激发学生的探究心理。教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。注意在探究问题时留给学生充分的时间， 使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。


课程目标
学科素养
A. 理解位置向量、方向向量的概念


B.能利用直线的方向向量解决两条直线所成的角问题.


C.初步了解两条异面直线的距离的定义.
1.数学抽象：点的位置向量、直线的方向向量


2.逻辑推理：用直线的方向向量解决两条直线所成的角


3.直观想象：点的位置向量、直线的方向向量


4.数学运算：求解异面直线所成的角，直线的平行与垂直判断
教学过程
教学设计意图


核心素养目标
一、情境导学


在交通繁忙的路口，交警常常借助专用的手势，作为 “语言” 来指挥交通。在不同领域有不同的“语言”,研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行。同学们,你们知道是如何提炼的吗?提炼出来后又将如何运用呢?





二、探究新知


问题1：（1）如图所示的，四面体A-BCD中，怎样借助空间


向量来描述A，B，C在空间中是不同的点？


（2）一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？


一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以有向量OP 唯一确定，此时，OP通常称为点P的位置向量。特别地，空间直角坐标系中的任意一点都有它的位置向量唯一确定，从而也就有它的坐标唯一确定。





问题2：（1）如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AB = v ，如果只借助v，能不能确定直线AB在空间中的位置？


（2）一般地,怎样借助空间向量来刻画空间中直线的位置？





一般地如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与 l平行或重合，则称 v为直线L的一个方向向量，此时也称 v与直线 l平行，记作v∥l





1.点的位置向量、直线的方向向量


位置向量
一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量唯一确定,此时,通常称为点P的位置向量

方向向量
一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l

思考：空间一条直线的方向向量唯一吗?


提示:不唯一.


2.空间中两条直线所成的角


设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,


则θ=或θ=π-,


特别地,sin θ=sin,cs θ=|cs|;l1⊥l2⇔= π2 ⇔v1·v2=0.








1.已知直线a,b的方向向量分别是m=(1,k,1),n=(k,k+2,2),若a⊥b,


则k= .


解析:∵a⊥b,∴m⊥n,即m·n=0.∴k+k2+2k+2=0,


即k2+3k+2=0,∴k=-2或k=-1.


答案:-1或-2


3.两条异面直线的距离


一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,A∈l1,B∈l2,AB⊥l1,AB⊥l2,则称AB为l1与l2的公垂线段.并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离.


思考：怎样在空间直角坐标系中求两条异面直线的公垂线段的长度?


提示:利用向量共线、向量垂直的条件建立方程组,求出公垂线段对应的向量,准确找出公垂线段在图中的位置,运用向量求出公垂线段的长度.








例1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，


求证:直线BD1与直线CE不平行


证明：以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1,1,0,D1（0,0,1）, C0,1,0,E0,12,1,


所以BD1= -1,-1,1, CE =0,-12,1,


又因为0-1≠-12-1,所以BD1与CE不平行，


因为BD1为直线BD1的一个方向，CE向量为直线CE的一个方向，向量,当时BD1 ∥ CE必有BD1 ∥ CE由上可知直线与直线不平行











解决直线的位置关系,可用直线对应的方向向量的坐标来刻画,对于此类问题应注意先要进行宏观判断,再合理地选取坐标公式.


若直线l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为u2=(a2,b2,c2).


(注:下面的λ,k∈R).


1.如果l1∥l2,那么u1∥u2⇔u1=λu2⇔(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2);


2.如果l1⊥l2,那么u1⊥u2⇔u1·u2=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.


跟踪训练1已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是( )


A.a∥c, b∥c B.a∥b, a⊥c


C.a∥c, a⊥b D.以上都不对


答案:C


例2 如图,在三棱锥O-ABC中,OA, OB,OC两两垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA=2, 求直线AE与BC所成角的余弦值的大小.


解：（方法一）





根据已知可得OA，OB， OC不共面，且OA=1, OB=OC=2


OA ∙OB=OB ∙ OC=OC ∙ OA=0


又因为AE=OE-OA =12OC-OA, BC=OC-OB


所以AE2=(12OC-OA)(12OC-OA)=2， BC2=(OC-OB)(OC-OB)=8，所以cs=AE ∙BCAEBBC=12


因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为π3.


解：（方法二）因为OA，OB,OC两两互相垂直，


所以能以O为原点, OA，OB，OC的方向分别


为x轴,y轴,z轴正方向，建立如图所示直角坐标


系，由OB=OC=2OA=2,





可知A1,0,0, B0,2,0,E （0,0,1）, C0,0,2, ，


所以AE=(-1,0,1),OE =(0,0,1) , 因此


所以cs=AE ∙BCAEBBC=1×22×(-2)2+22=12


因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为π3.


解：（方法三）设OB的中点为F，连接EF，AF.由E，F分别为OC，OB中点可知EF为∆OBC的中位线，从而EF ∥ BC，





因此直线AE与BC所成角的大小等于直线AE与EF所成角的大小.又易知OA=OE=OF=1，而且OA,OE,OF两两垂直，


因此AE=EF=AF= 2.


所以∆AEF是等边三角形,从而∠AEF=π3,


因此直线AE与BC所成角的大小为π3


求解异面直线夹角方法,常用的就是建系后利用向量的坐标处理,除此之外还要注意其他方法的要领.


(1)传统法:作出与异面直线所成角相等的平面角,进而构造三角形求解.这种方法灵活技巧性强,强调对夹角定义的挖掘.





(2)向量法:在两异面直线a与b上分别取点A,B和C,D,则AB与CD可分别为a,b的方向向量,则cs θ=|AB·CD||AB||CD| .这一方法思路简单,不需构造,但计算量一般较大.


运用向量法常用两种途径:


①基底法


在一些不适合建立坐标系的题型中,我们经常采用取定基底的方法,这是小技巧.在由公式cs=a·b|a||b|求向量a,b的夹角时,关键是求出a·b及|a|与|b|,一般是把a,b用基向量表示出来,再求有关的量.


②坐标法


根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单.


跟踪训练2 如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA= 3 ,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.





解:以O为坐标原点,OA,OB的方向为x轴,y轴的正方向.建立如图所示的空间直角坐标系,


则O(0,0,0),O1(0,1,3),A(3,0,0),A1(3,1,3),B(0,2,0),


∴A1B=(-3,1,-3),O1A=(3,-1,-3).


∴|cs|=|A1B·O1A||A1B||O1A| =|(-3,1,-3)·(3,-1,-3)|7×7=17.


∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为17.





例3 如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,


E,F分别为AC,DC的中点.


求证:EF⊥BC.





证明:由题意,以点B为坐标原点,在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,


在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,


易得B(0,0,0),A0,-1,3,D(3,-1,0),C(0,2,0),


因而E0,12,32,F32,12,0,，所以EF=32,0,-32,BC=(0,2,0),


则EF·BC=0,所以EF⊥BC,即EF⊥BC.








证明两直线垂直的基本步骤


建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.对于几何体为三棱锥的情况一定要注意建系的重要性,要使已知数据和所用的点更多地落在坐标平面或坐标轴上为标准.本例中要充分抓住平面ABC和平面BCD互相垂直这一条件.


跟踪训练3 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN= 14 CC1.求证:AB1⊥MN.








证明:设AB中点为O,作OO1∥AA1.以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.





由已知得A-12,0,0,B12,0,0,C0,32,0,N0,32,14,B112,0,1,


∵M为BC中点,∴M14,34,0.


∴MN=-14,34,14,AB1=(1,0,1),∴MN·AB1=-14+0+14=0,


∴MN⊥AB1,即AB1⊥MN.








金题典例：如图,已知▱ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离.





错解: 如图,因为∠ACD=90°,


所以AC·CD=0,同理AC·BA=0.


因为AB与CD的夹角为60°,


所以AB与CD的夹角为60°.


因为BD=BA+AC+CD,


所以|BD|2=|BA|2+|AC|2+|CD|2+2BA·AC+2BA·CD+2AC·CD=3+2cs=4.


所以|BD|=2,即B,D间的距离为2.








错因分析： 由异面直线AB与CD成60°角得到BA,CD所成的角为60°,这是错误的.混淆了异面直线所成的角与向量的夹角的定义,从而致误.


向量的夹角与向量的方向有关系,且向量的夹角的范围为0≤θ≤π;异面直线的夹角与直线的方向没有关系,异面直线的夹角的范围是0<θ≤π2,.两者的范围不一样.


正解:因为∠ACD=90°,所以AC·CD=0,同理AC·BA=0.


因为AB与CD的夹角为60°,


所以BA与CD的夹角为60°或120°,


因为BD=BA+AC+CD,


所以|BD|2=|BA|2+|AC|2+|CD|2+2BA·AC+2BA·CD+2AC·CD=3+2cs.


当BA与CD所成的角为60°时,|BD|2=3+2cs=4,所以|BD|=2,即B、D间的距离为2;当BA与CD所成的角为120°时,|BD|2=3+2cs=2,所以|BD|=2.


综上可得,B,D间的距离为2或2.



创设问题情境，引导学生体会运用向量语言，实现将空间几何问题转化为向量语言，进而实现代数化的基本思想，提升数形结合思想。










































































由问题引导，让学生感受到运用向量语言表示立体几何要素，实现立体几何向量化。











































































































通过对立体几何的向量表示的学习，进而使向量坐标化，让学生感受，用代数方法解决立体几何问题。发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素养。
































































































































通过典型例题的分析和解决，让学生感受空间向量坐标运算在解决空间几何中的应用。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。



























































































































































通过典例解析，进一步让学生体会空间向量坐标在解决立体几何中的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养。



三、达标检测


1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是( )


A.(2,2,6) B.(-1,1,3) C.(3,1,1) D.(-3,0,1)


解析:∵A,B在直线l上,∴AB=(1,1,3),与AB共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量.


答案:A


2.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m等于( )


A.-2B.2C.10 D.6


解析:因为a⊥b,故a·b=0,即-2×3+2×(-2)+m=0,解得m=10.


答案:C


3.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a,b所成的角是 .


解析:∵AB·CD=(AC+CD+DB)·CD=|CD|2=1,


∴cs=AB·CD|AB||CD| =12.所以=π3.


答案:π3


4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上的动点,


求证:A1E⊥BD.


证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).





设E(0,a,b)(0≤b≤a),A1E=(-a,a,b-a),


BD=(-a,-a,0),A1E·BD=a2-a2+(b-a)·0=0,


∴A1E⊥BD,即A1E⊥BD.



通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养。












四、小结





五、课时练



通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。