高中数学1.2.3 直线与平面的夹角精品导学案

这是一份高中数学1.2.3 直线与平面的夹角精品导学案，共13页。




1.掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念.


2.理解最小角定理及公式cs θ=cs θ1cs θ2,并能利用这一公式解决相关问题.


3.会利用空间向量求直线与平面所成的角问题.





重点：利用空间向量求直线与平面所成的角问题.


难点：线面角的概念





1.直线与平面所成的角


(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角。若一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；若一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.


(2)利用向量方法求直线与平面所成角


若直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,


则有sin θ=|cs|=|a·n||a||n|


特别提醒：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.








一、情境导学


日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象，例如如图1所示，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面呈一定角度；如图2所示，地球仪的地轴（即旋转轴）与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面呈一定角度，那么怎样来刻画直线与平面所成的角呢？





二、探究新知


问题1：如图所示，设l是平面α的一条斜线，m是平面α内的任意一条直线. 能否将m与l所成的角定义为直线l与平面α所成的角？如果不能，该怎样规定直线l与平面α所成的角？








1.直线与平面所成的角











1.判断


(1)直线与平面所成的角就是该直线与平面内的直线所成的角. ( )


(2)若直线与平面相交,则该直线与平面所成角的范围为0,π2. ( )


2.直线与平面的夹角的取值范围是什么?斜线与平面的夹角的取值范围是什么?








问题2：如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足， A'为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A'M ⊥OM


记∠OAA'=θ1，∠A'OM=θ2, ∠A OM =θ


（1）从直观上判断θ1与θ2的大小关系；


（2）说明AM⊥OM是否成立，探究θ1，θ2，θ三者之间的等量关系











2.最小角定理


(1)线线角、线面角的关系式


如图,设OA是平面α的一条斜线段,O为斜足,B为A在


平面α内的射影,OM是平面α内的一条射线.θ是OA与


OM所成的角,θ1是OA与OB所成的角,θ2是OB与OM所成的角.


则有cs θ=cs θ1cs θ2.


(2)最小角定理


平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.





3. 已知平面α内的角∠APB=60°,射线PC与PA,PB所成角均为135°,则PC与平面α所成角的余弦值是( )


A.-63 B.63 C.33 D.-33


4.将公式cs θ=cs θ1cs θ2中角的余弦值换成正弦值是否成立?





问题3：如果 v是直线l的一个方向向量， n是平面α的一个法向量,设直线l与平面α所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与的关系





3.用空间向量求直线与平面的夹角


如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,设直线l与平面α所成角的大小为θ,则有


(1)θ=π2-,θ=-π2;


(2)cs θ=sin,sin θ=|cs|.





5.判断：直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角.( )





例1 已知ABCD-A'B'C'D'是正方体，求B'D'与平面A'BCD'所成角的大小。























求线面角


1.利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小.其基本步骤可归纳为“一作,二证,三计算”.


2.找射影的两种方法:(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上;(2)利用已知垂直关系得出线面垂直,确定射影.


3.本例中找出点E在平面BCD中的射影是解决问题的核心,对于几何体中缺少棱长等数据信息,可根据几何体的特征进行假设,这样处理不影响角度问题.


跟踪训练1


如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=3,BC=1,AD=AA1=3.


(1)证明:AC⊥B1D;


(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.











例2 正四面体ABCD,CD在平面α内,点E是线段AC的中点,在该四面体绕CD旋转的过程中,直线BE与平面α所成的角θ不可能是 ( )





A.0B.π6C.π3D.π2








反思感悟 1.最小角定理是立体几何的重要定理之一,指与平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于直线与平面内其他直线的夹角.图形语言表示如下:


线线角≥线面角


2.本例中先明确直线BE与CD所成角的余弦值是突破口,再利用线线角≥线面角这一结论,即可做出判断.





跟踪训练2 PA、PB、PC是由P点出发的三条射线,两两夹角均为60°,则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( )


A.12B.22C.33D.32








1.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cs= - 12 ,则l与α所成的角为( )


A.30° B.60°C.120° D.150°


2.AB⊥平面α于点B,BC为AC在α内的射影,CD在α内,若∠ACD=60°,∠BCD=45°,则AC和平面α所成的角为( )


A.90° B.60° C.45° D.30°


3.在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=12PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为( )


A.216B.833C.21060D.21030


4.等腰直角△ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α成30°角,则斜边上的中线CM与平面α所成的角为 .


5.如图所示,ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,


求CS与平面ABCD所成的角的正弦值.
































参考答案：


知识梳理


学习过程


1.答案:(1)× (2)×


2.提示:直线与平面的夹角的取值范围是0,π2,斜线与平面的夹角的取值范围是0,π2.


3. 解析:设PC与平面α所成的角为θ,由最小角定理知cs 45°=cs θcs 30°,∴cs θ=63.


答案:B


4.提示:不成立.只有在特定的条件下能相等.也只能是数值上的相等,不具有等式的一般性结论.


5.答案:×


例1








解：（方法一）以D为原点, DA，DC，DD'的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示直角坐标系，


则：A'1,0,1，B1,1,0,D'(0,0,1) ,B'(1,1,1)


所以A'B=(0,1,-1),A'D' =(-1,0,0) , D'B' =(1,1,0) ,


设平面A'BCD'的一个法向量为n=(x,y,z),


则 n∙A'B=y-z=0n∙A'D'=-x=0, 取z=1，可得n=(0,1,1),


又因为cs< D'B'，n>=D'B'∙nD'B'n=12×2=12


所以< D'B'，n>=π3.


从而可知B'D'与平面A'BCD'所成角的大小为：π2 - π3 = π6





（方法二）设A'B的中点为E,连接B'E, D'E,如图所示，


因为ABB'A'是正方形，


所以B'E⊥A'B.


又因为D'A'⊥面ABB'A'，且B'E⊂面ABB'A',


所以D'A'⊥B'E, 再根据D'A'∩ A'B=A',可知B'E⊥A'BCD'


因此B'D'在面A'BCD'内的射影为D'E，


所以∠B'D'E就是B'D'与平面A'BCD'所成的角，


因为正方体中有B'D'=2B'E，所以在Rt∆B'ED'中, sin∠B'D'E= 1 2,


又因为∠B'D'E是一个锐角，所以∠B'D'E=π6,


从而可知B'D'与平面A'BCD'所成角的大小为π6





跟踪训练1 (1)证明:以A为原点,以AB,AD,AA1的方向分别


为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,


则A(0,0,0),C(3,1,0),B1(3,0,3),


D(0,3,0),C1(3,1,3),D1(0,3,3).


易知AC=(3,1,0),B1D=(-3,3,-3),


∴AC·B1D=0,∴AC⊥B1D.





(2)解:设平面ACD1的法向量为m=(x,y,z),


AC=(3,1,0),AD1=(0,3,3),


则m·AC=0,m·AD1=0,即3x+y=0,3y+3z=0,令x=1,


则y=-3,z=3,


∴平面ACD1的一个法向量为m=(1,-3,3).


设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ,


∵B1C1=(0,1,0),


∴sin θ=|B1C1·m||B1C1||m|=217,


∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为217.


例2 解析:直线BE与CD所成角的余弦值为36,线面角是直线与平面内的直线所成角的最小值,即线线角≥线面角,则cs θ≥36,代入选项验证,得角θ不可能是π2.故选D.


答案:D








跟踪训练2 解析:设所求角为θ,根据最小角定理及公式可得cs 60°=cs 30°·cs θ,得cs θ=1232=33.


答案:C


达标检测


1. 解析:设l与α所成的角为θ且θ∈[0,90°],则sin θ=|cs|=12 .∴θ=30°.


答案:A


2.解析:设AC和平面α所成的角为θ,则cs 60°=cs θcs 45°,故cs θ=22,所以θ=45°.


答案:C


3.解析:以O为原点,射线OA,OB,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,


设AB=a,则OP=72a=142a,则D-24a,0,144a


,P0,0,142a,B0,22a,0,C-22a,0,0.


OD=-24a,0,144a,BC=-22a,-22a,0,PB=0,22a,-142a.


可求得平面PBC的法向量为n=-1,1,17,


∴cs=OD·n|OD||n|=21030,


设OD与平面PBC所成的角为θ,


则sin θ=21030,故选D.


答案:D





4.答案:45°


5.解: AS是平面ABCD的法向量,


设CS与AS的夹角为φ,CS与平面ABCD的夹角为θ.


∵CS=CB+BA+AS,


∴AS·CS=AS·(CB+BA+AS)=AS·AS=1.


|AS|=1,|CS|=(CB+BA+AS)2


=|CB|2+|BA|2+|AS|2 =3,


∴cs φ=AS·CS|AS|·|CS| =33.


∴sin θ=|cs φ|=33.


∴CS与平面ABCD所成角的正弦值为33.