选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.2 空间中的平面与空间向量精品学案

这是一份选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.2 空间中的平面与空间向量精品学案，共20页。学案主要包含了情境导学，探究新知等内容，欢迎下载使用。




1.理解平面的法向量的定义并能在空间直角坐标系中正确地求出某一平面的法向量.


2.会用向量语言表达线面、面面的垂直、平行关系


3.理解并会用三垂线定理及其逆定理.





重点：会用向量语言表达线面、面面的垂直、平行关系


难点：用向量运算解决空间中线面、面面的垂直、平行的判定





1.平面的法向量


如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·AP=0}.








点睛：空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:


①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.


2.空间中直线、平面平行的向量表示


点睛：1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量μ1∥μ2.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.


2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.











一、情境导学


牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝。在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口。牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大。如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢?





二、探究新知


问题1：我们已经知道空间中的直线，根据它的方向向量和一个点可以描述这条直线的位置，那么，对于空间中的平面，能否引进类似的向量来描述其位置？





1.平面的法向量


如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直,则称n为平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记作n⊥α.


思考1：一个平面的法向量是否唯一?


2.平面的法向量的求法


在空间直角坐标系下,求平面的法向量的一般步骤:


(1)设平面的法向量为n=(x,y,z);


(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);


(4)解方程组,取其中的一组解,即得平面的一个法向量.


(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组n·a=0,n·b=0;


1.点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面ABC的一个法向量为( )


A.(bc,ac,ab) B.(ac,ab,bc)


C.(bc,ab,ac) D.(ab,ac,bc)





问题2：如果 v是直线l的一个方向向量， n是平面α的一个法向量,分别探讨n∥v与n⊥v时，直线l与平面α的关系；


如果n1是平面α1的一个法向量， n2是平面α2的一个法向量，分别探讨论n1⊥n2与n1∥n2时，平面α1与平面α2的关系。











3.用空间向量处理平行或垂直关系


(1)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则n∥v⇔l⊥α;n⊥v⇔l∥α,或l⊂α.


(2)如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,则


n1⊥n2⇔α1⊥α2;n1∥n2⇔α1∥α2,或α1与α2重合.


点睛：解答这类问题的关键:一是要清楚直线的方向向量,平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系;二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法.在把向量问题转化为几何问题时,要注意两者的区别,直线的方向向量和平面平行,则直线可能在平面内,也可能与平面平行.


2.判断


(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.( )


(2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直.( )


(3)两个平面的法向量平行,则这两个平面平行或重合;两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.( )





问题3：已知AB是平面α的一条斜线且B为斜足（即 A B不垂直于且AB∩α=B），设其中A,是A在平面α内的射影，而l是平面α内的一条直线，如图所示，判断下列命题是否成立，并用空间向量证明：


（1）当l⊥A,B时, l⊥AB;


（2）当l⊥AB时, l⊥A,B.














4.三垂线定理及三垂线定理的逆定理


三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.


三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.


思考：三垂线定理及其逆定理有何区别与联系?





例1如图,已知空间直角坐标系中的三棱锥O-ABC中O0,0,0，Aa,0,0,B0,b,0,C0,0,c，


其中abc≠0 ，求平面ABC的一个法向量.














通过此类例题的解答,在求平面的法向量时要注意:


(1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量.


(2)取特值:在求n的坐标时,可令x,y,z中一个为特殊值得另两个值,得到平面的一个法向量.


(3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.


跟踪训练1 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.AB=AP=1,AD=3,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.














延伸探究 本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.








例2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:


(1)FC1∥平面ADE;


(2)平面ADE∥平面B1C1F.











证明线面、面面平行问题的方法


(1)用向量法证明线面平行:①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内,如(1)中,FC1⊄平面ADE一定不能漏掉.


(2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.当然要注意当法向量坐标中有0时,要使用n1=λn2这一形式.


跟踪训练2 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=12 AD=1,问在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?若存在,求出E点的位置;若不存在,请说明理由.











例3 如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.


求证:AB1⊥平面A1BD.








延伸探究 本例中增加条件,E,F分别是BC,BB1的中点,求证:EF⊥平面ADE.











1.用坐标法证明线面垂直的常用方法:


方法一:基向量法


(1)建立空间直角坐标系.


(2)将直线的方向向量用坐标表示.


(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量.


(4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.


方法二:坐标法


(1)建立空间直角坐标系.


(2)将直线的方向向量用坐标表示.


(3)求出平面的法向量.


(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.


2.对于容易建系的几何载体要尽量用坐标法处理有关垂直问题,如果只用基向量法解决涉及的线性运算和数量积运算比较复杂.而建系后只需一切交给坐标即可.


跟踪训练3 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.


求证:EF⊥平面B1AC.











例4 如图,空间四边形ABCD中,点A在平面BCD内的射影 O1是△BCD的垂心,


求证:B在平面ACD内的射影O2必是△ACD的垂心.








1.三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直,在引用时要清楚以下问题:


(1)从条件上看,三垂线定理的条件是“和射影垂直”;其逆定理的条件是“和斜线垂直”.显然本例中三垂线定理和三垂线定理的逆定理都充分利用了.


(2)从功能上看,三垂线定理用于解决已知共面垂直,证明异面垂直的问题;逆定理正好相反.解决垂心问题需要两次垂直的证明,都能用上定理和其逆定理的框架结构.


2.三垂线定理及其逆定理应用中的三个环节


用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的关键在于构造三垂线定理的基本图形,创设应用定理的环境.构造三垂线定理基本图形时要抓住下面三个环节:(1)确定投影面;(2)作出垂线;(3)确定射影.





跟踪训练4 如图,BC是Rt△ABC的斜边,过点A作△ABC所在平面α的垂线AP,连接PB,PC,过点A作AD⊥BC于点D,连接PD,那么图中的直角三角形共有( )


A.4个 B.6个 C.7个 D.8个











1.若直线l的方向向量a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则( )


A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α斜交


2.若直线l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为1,12,2,则m为( )


A.-4B.-6C.-8D.8


3.若平面α,β的法向量分别为a=(2,-1,0),b=(-1,-2,0),则α与β的位置关系是( )


A.平行 B.垂直


C.相交但不垂直 D.无法确定


4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的度数( )


A.逐渐变大 B.逐渐变小


C.不变 D.先变大再变小





5.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).下列结论正确的序号为 .


①AP⊥AB;②AP⊥AD;


③AP是平面ABCD的一个法向量;④AP∥BD.


6.如图所示,在空间图形P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,CD∥AB,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,且PB=4PM,∠PBC=30°,求证:CM∥平面PAD.














参考答案：


知识梳理


学习过程


思考1：提示:不唯一,一个平面的法向量有无数多个.


1.解析:设法向量为n=(x,y,z),


则AB·n=0,AC·n=0,则-ax+by=0,-ax+cz=0,


令x=bc,则n=(bc,ac,ab).答案:A


2.判断:答案:(1)√ (2)√ (3)√


问题3：证明：设v∥l，则由AA, ⊥α，且l⊂α，可知AA, ⊥v，即AA, ∙v=0


如果,l⊥A,B，则 v ⊥A,B, v ∙A,B=0，又因为AB =AA,+ A,B=-A,A+ A,B，


所以AB ∙v=(-A,A+ A,B) ∙v=-A,A ∙v+ A,B ∙v=0


因此 l⊥AB .


如果l⊥AB,则v ⊥AB, v ∙AB=0,又因为A,B =A,A+ AB,


所以A,B ∙v= (A,A+ AB) ∙v= A,A ∙v + AB∙v=0


因此l⊥A,B.


思考：提示:联系:都是一面四线,三种垂直关系.


区别:①从条件或结论上看,三垂线定理是“线与射影垂直⇒线与斜线垂直”,而逆定理恰好相反;②从作用上看,三垂线定理是“共面直线垂直⇒异面直线垂直”,而逆定理恰好相反.


例1





解：由已知可得


CE=OB-OA=0,b,0- a,0,0=-a,b,0


AC=OC-OA=0,0,c- a,0,0=-a,0,C


设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),则n∙AB=-ax+by=0n∙AC=-ax+cy=0


将x看成常数，可解得y=abx , z=acx ,


令x=bc,则y=ac,z=ab,因此n=(bc,ac,ab)为平面ABC的一个法向量.





跟踪训练1解:因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,


所以AB,AD,AP两两垂直.


如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,


则A(0,0,0),D(0,3,0),E0,32,12,B(1,0,0),C(1,3,0),


于是AE=0,32,12,AC=(1,3,0).


设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量,


则n·AC=0,n·AE=0,即x+3y=0,32y+12z=0,所以x=-3y,z=-3y,


令y=-1,则x=z=3.


所以平面ACE的一个法向量为n=(3,-1,3).





延伸探究 解:如图所示,建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,3,0),所以PC=(1,3,-1),


即直线PC的一个方向向量.


设平面PCD的法向量为n=(x,y,z).因为D(0,3,0),所以PD=(0,3,-1).


由n·PC=0,n·PD=0,即x+3y-z=0,3y-z=0,所以x=0,z=3y,令y=1,则z=3.


所以平面PCD的一个法向量为(0,1,3).





例2 证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,


则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),


所以FC1=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1).


设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,


则n1⊥DA,n1⊥AE,


即n1·DA=2x1=0,n1·AE=2y1+z1=0,得x1=0,z1=-2y1.


令z1=2,则y1=-1,所以n1=(0,-1,2).


因为FC1·n1=-2+2=0,所以FC1⊥n1.


又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE.





(2)C1B1=(2,0,0),设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量.


由n2⊥FC1,n2⊥C1B1,


得n2·FC1=2y2+z2=0,n2·C1B1=2x2=0,解得x2=0,z2=-2y2.


令z2=2,得y2=-1,所以n2=(0,-1,2).


因为n1=n2,即n1∥n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.


跟踪训练2 解:存在点E使CE∥平面PAB.以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,


∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),





设E(0,y,z),则PE=(0,y,z-1), PD=(0,2,-1),


∵PE∥PD,∴y(-1)-2(z-1)=0,①


∵AD=(0,2,0)是平面PAB的法向量,


又CE=(-1,y-1,z),CE∥平面PAB,∴CE⊥AD,∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0.


∴y=1,代入①得z=12,∴E是PD的中点,


∴当点E为PD中点时,CE∥平面PAB.


例3 证明:如图所示,取BC的中点O,连接AO.


因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.


因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO⊂平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.


取B1C1的中点O1,以O为坐标原点,OB,OO1,OA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,


建立空间直角坐标系Oxyz,


则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,3),B1(1,2,0).


所以AB1=(1,2,-3),BA1=(-1,2,3),BD=(-2,1,0).


因为AB1·BA1=1×(-1)+2×2+(-3)×3=0,


AB1·BD=1×(-2)+2×1+(-3)×0=0,


所以AB1⊥BA1,AB1⊥BD,即AB1⊥BA1,AB1⊥BD.


又因为BA1∩BD=B,所以AB1⊥平面A1BD.





即EF⊥EA,EF⊥ED,又EA∩ED=E,EA,ED⊂平面ADE,


∴EF⊥平面ADE.


延伸探究: 证明:建系同例3:点E与点O重合.由E(0,0,0),A(0,0,3),D(-1,1,0),F(1,1,0),


得EF=(1,1,0),EA=(0,0,3),ED=(-1,1,0),


∵EF·EA=0,EF·ED=0,


∴EF⊥EA,EF⊥ED,


跟踪训练3 证明:方法一 设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,


则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2).


∴EF=(-1,-1,1). AB1=(0,2,2), AC=(-2,2,0).


而EF·AB1=0,EF·AC=0,


∴EF⊥AB1,EF⊥AC,即EF⊥AB1,EF⊥AC.


又AB1∩AC=A,AB1⊂平面B1AC,AC⊂平面B1AC,


∴EF⊥平面B1AC.








方法二 设AB=a,AD=c,AA1=b,


则EF=EB1+B1F=12(BB1+B1D1)=12(AA1+BD)=12(AA1+AD-AB)=12(-a+b+c),


∵AB1=AB+AA1=a+b,


∴EF·AB1=12(-a+b+c)·(a+b)


=12(b2-a2+c·a+c·b)=12(|b|2-|a|2+0+0)=0.∴EF⊥AB1,即EF⊥AB1,


同理,EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1,AB1⊂平面B1AC,B1C⊂平面B1AC,


∴EF⊥平面B1AC.


例4





分析应用三垂线定理一定要分清斜线与射影,并注意第三条垂线要与射影在同一平面内.


证明:连接DO1,BO1,AO2,CO2.


∵O1是△BCD的垂心,∴DO1⊥BC.


又AO1⊥平面BCD,∴BC⊥AD(三垂线定理).


∵BC是平面ACD的斜线,BO2⊥平面ACD,CO2是BC在平面ACD内的射影,


∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理).


同理,AO2⊥CD.∴O2是△ACD的垂心.


跟踪训练4 解析:∵AP⊥平面α,∴PD在平面α内的射影为AD,


∵AD⊥BC,由三垂线定理可得,PD⊥BC,


∴△ABC,△ABD,△ACD,△PBD,△PCD,△PAB,△PAD,△PAC均为直角三角形,共8个.


故选D.





达标检测


1. 解析:∵n=-2a,∴a∥n,即l⊥α.


答案:B


2.解析:∵l∥α,平面α的法向量为1,12,2,


∴(2,m,1)·1,12,2=0.∴2+12m+2=0.∴m=-8.


答案:C


3. 解析:a·b=-2+2+0=0,∴a⊥b,∴α⊥β.答案:B


4. 解析:由题意可得,AC⊥BC.∵PA⊥平面ABC,


由三垂线定理的逆定理可得,BC⊥PC.


∴∠PCB=90°,即∠PCB的度数保持不变.故选C.


答案:C


5.答案:①②③


6.证明:建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,


∵∠PBC=30°,PC=2,


∴BC=23,PB=4,


∴D(1,0,0),C(0,0,0),A(4,23,0),P(0,0,2),


∵PB=4PM,


∴PM=1,M0,32,32,


∴CM=0,32,32,DP=(-1,0,2),DA=(3,23,0),


设平面PAD的一个法向量n=(x,y,z),则n·DP=0,n·DA=0,





即-x+2z=0,3x+23y=0,令x=1,解得y=-32,z=12,


故n=1,-32,12,


又∵CM·n=0,32,32·1,-32,12=0,


∴CM⊥n,又CM⊄平面PAD,


∴CM∥平面PAD.


位置关系
向量表示
线线


平行
设μ1,μ2分别是直线l1,l2的方向向量,则


l1∥l2⇔μ1∥μ2⇔∃λ∈R,使得μ1=λμ2.
线面


平行
设μ是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,


l⊄α,则l∥α⇔μ⊥n⇔μ·n=0.
面面


平行
设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则


α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2.