数学选择性必修 第一册2.3.4 圆与圆的位置关系优质学案设计

这是一份数学选择性必修 第一册2.3.4 圆与圆的位置关系优质学案设计，共9页。学案主要包含了创设问题情境，探究新知，典例解析等内容，欢迎下载使用。




1.理解圆与圆的位置关系的种类.


2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.


3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.


4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.





重点：圆与圆的位置关系及判定方法


难点：综合应用圆与圆的位置关系解决问题





知识梳理


圆与圆位置关系的判定


1.几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两个圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:





2.代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F1>0),


C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F2>0),


联立方程x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,


则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:


1.判断


（1）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( )


（2）若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.( )


（3）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切. ( )








一、创设问题情境，探究新知


1. 在日常生活中，可以见到很多有关圆与圆的位置关系的形象，如图所示，





前面我们已经借助直线与圆的方程研究了他们之间的位置关系，那么能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系呢？





2. 判断圆C1: x2+y2=2与圆C2:(x-2)2+y2=1的位置关系，并说明理由。











二、典例解析


例1(1)圆O1:x2+y2-2x=0与圆O2:x2+y2-2y=0的位置关系是( )


A.外离 B.相交 C.外切 D.内切


(2)圆O1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆O2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系为 .


判断两圆的位置关系常用两种方法


几何法和代数法,但一般情况下用几何法,即用两圆半径和圆心距之间的关系来刻画,此种方法形象直观,关键是明确圆心和半径,再套用圆与圆位置关系的关系式进行求解或判断.


跟踪训练1 已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,当m为何值时,


分别满足下列情况:


(1)圆C1与圆C2外切; (2)圆C1与圆C2内含.





例2 已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.


(1)判断两圆是否相交,若相交,求出公共弦所在的直线方程,若不相交,请说明理由;


(2)求公共弦的长度.








跟踪训练2 (1)若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0,则( )


A.E=-4,F=8B.E=4,F=-8


C.E=-4,F=-8D.E=4,F=8


(2)圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在的直线被圆C3:(x-1)2+(y-1)2=254所截得的弦长为 .








例3(1)对于任意实数λ,曲线(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0恒过定点 .


(2)求过直线x+y+4=0与圆x2+y2+4x-2y-4=0的交点且与直线y=x相切的圆的方程.








1.当经过两圆的交点时,圆的方程可设为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,然后用待定系数法求出λ即可.


2.当给出的方程结构中参数比较分散时,要注意将含参数的合并在一起,进而讨论过定点或交点问题.


跟踪训练3 求圆心在直线x-y-4=0上,且过圆x2+y2-4x-6=0和圆x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程.








1.圆(x-3)2+(y+2)2=1与圆x2+y2-14x-2y+14=0的位置关系是( )


A.外切 B.内切 C.相交 D.外离


2.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是( )


A.x+y+3=0B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0


3.若圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值为 .


4.圆C1:x2+y2-2x-8=0与圆C2:x2+y2+2x-4y-4=0的公共弦长为 .


5.已知圆C1:x2+y2+4x+1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0,求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的


圆的方程.


6.已知集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=a2},若A∩B中有且仅有一个元素,求a的值.

















参考答案：


知识梳理


1.答案:(1)× (2)√ （3）×


学习过程


例1解析:(1)两圆的标准方程为(x-1)2+y2=1和x2+(y-1)2=1,对应圆心坐标为O1(1,0),半径为1,和圆心坐标O2(0,1),半径为1,则圆心距离|O1O2|=2,则0<|O1O2|<2,即两圆相交,故选B.


(2)两圆的圆心分别为O1(-2,2),O2(2,5),半径分别为r1=1,r2=4,


所以|O1O2|=(-2-2)2+(2-5)2=5=r1+r2,所以两圆相外切.


答案:(1)B (2)外切


跟踪训练1 解:易得圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆心C1(m,-2),半径r1=3;


圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,圆心C2(-1,m),半径r2=2.


(1)如果圆C1与圆C2外切,则(m+1)2+(m+2)2=3+2,


所以m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.


(2)如果圆C1与圆C2内含,则(m+1)2+(m+2)2<3-2,


所以m2+3m+2<0,解得-2

例2 解:(1)相交.将两圆方程配方化为标准方程,则


C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,


∴|r1-r2|<|C1C2|

将两圆方程相减,得公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0.


∴圆C1的圆心坐标为(1,-5),半径为r1=52,


圆C2的圆心坐标为(-1,-1),半径为r2=10.


∴|C1C2|=25,r1+r2=52+10,


|r1-r2|=|52-10|,


(2)方法一:由(1)知圆C1的圆心(1,-5)到直线x-2y+4=0


的距离为d=|1-2×(-5)+4|1+(-2)2=35,


∴公共弦长为l=2r12-d2=250-45=25.


方法二:设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程组x-2y+4=0,x2+y2+2x+2y-8=0,


解得x=-4,y=0或x=0,y=2,


∴|AB|=(-4-0)2+(0-2)2=25,即公共弦长为25.


(2)方法一:由(1)知圆C1的圆心(1,-5)到直线x-2y+4=0


的距离为d=|1-2×(-5)+4|1+(-2)2=35,


∴公共弦长为l=2r12-d2=250-45=25.


方法二:设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程组x-2y+4=0,x2+y2+2x+2y-8=0,


解得x=-4,y=0或x=0,y=2,


∴|AB|=(-4-0)2+(0-2)2=25,即公共弦长为25.


跟踪训练2 解析:(1)x2+y2-2x+F=0,①x2+y2+2x+Ey-4=0,②


②-①可得4x+Ey-F-4=0,即x+E4y-F+44=0,


由两圆的公共弦所在的直线方程为x-y+1=0,


得E4=-1,-F+44=1,解得E=-4,F=-8.


(2)由题意将两圆的方程相减,可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x+y-1=0.


又圆C3的圆心坐标为(1,1),


其到直线l的距离为d=|1+1-1|12+12=22,设圆C3的半径为r,由条件知,r2-d2=254-12=234,


所以弦长为2×232=23.


答案:(1)C (2) 23


例3(1)解析:曲线(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0可化为(x2+y2+6x-16)+λ(x2+y2-4x-6)=0,


∴x2+y2+6x-16=0且x2+y2-4x-6=0,


可得恒过定点(1,3)和(1,-3).


答案:(1,3)和(1,-3)


(2)解:设所求圆的方程为x2+y2+4x-2y-4+λ(x+y+4)=0.


联立y=x,x2+y2+4x-2y-4+λ(x+y+4)=0,


得x2+(1+λ)x+2(λ-1)=0.因为所求圆与直线y=x相切,


所以Δ=0,即(1+λ)2-8(λ-1)=0,解得λ=3,


故所求圆的方程为x2+y2+7x+y+8=0.


.跟踪训练3 解:方法一:设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0(λ≠-1),


即x2+y2-41+λx-4λ1+λy-6=0,


所以圆心坐标为21+λ,2λ1+λ.


又圆心在直线x-y-4=0上,


所以21+λ-2λ1+λ-4=0,即λ=-13.


所以所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-6=0.


方法二:由x2+y2-4x-6=0,x2+y2-4y-6=0,


得两圆公共弦所在直线的方程为y=x.


由y=x,x2+y2-4y-6=0,解得x1=-1,y1=-1,x2=3,y2=3.


所以两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点坐标分别为A(-1,-1),B(3,3),


线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y-1=-(x-1).由y-1=-(x-1),x-y-4=0,得x=3,y=-1,


即所求圆的圆心坐标为(3,-1),半径为(3-3)2+[3-(-1)]2=4.


所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.





达标检测


1. 解析:圆x2+y2-14x-2y+14=0变形为(x-7)2+(y-1)2=36,圆心坐标为(7,1),半径为r1=6,圆(x-3)2+(y+2)2=1的圆心坐标为(3,-2),半径为r2=1,所以圆心距d=(7-3)2+[1-(-2)]2=5=6-1=r1-r2,所以两圆内切.


答案:B


2.解析:AB的垂直平分线过两圆的圆心,把圆心(2,-3)代入,即可排除A,B,D.


答案:C


3.解析:两圆的圆心坐标分别为(-2,m),(m,-1),两圆的半径分别为3,2,


由题意得(m+2)2+(-1-m)2=3+2,解得m=2或-5.


答案:2或-5


4.解析:由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x-y+1=0,得点C1(1,0)到


直线l的距离为d=|1-0+1|12+(-1)2=2,圆C1的半径为r1=3,所以圆C1与圆C2


的公共弦长为2r12-d2=232-(2)2=27.


答案:27


5.解:由两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程为x-y=0.∵圆C1:(x+2)2+y2=3,圆C2:(x+1)2+(y+1)2=1,圆心C1(-2,0),C2(-1,-1),


∴两圆心连线所在直线的方程为y-0-1-0=x+2-1+2, 即x+y+2=0.


由x-y=0,x+y+2=0,得所求圆的圆心坐标为(-1,-1).又圆心C1(-2,0)到公共弦所在直线x-y=0的距离d=|-2-0|2=2,


∴所求圆的半径r=(3)2-(2)2=1,


∴所求圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=1.


6.解:由A∩B中有且仅有一个元素,可知两圆相切,


所以|O1O2|=5=|a|+2或5=||a|-2|,


解得a=±3或a=±7.


综上所述,a的值为±3或±7.





位置


关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1,r2


的关系
d>r1+r2
d=r1+r2
|r1-r2|<


dd=|r1-r2|
d<|r1-r2|
方程组解的个数
2
1
0
两圆的公共点的个数
2
1
0
两圆的位置关系
相交
外切或内切
外离或内含