数学2.3.3 直线与圆的位置关系优秀教学设计

这是一份数学2.3.3 直线与圆的位置关系优秀教学设计，共10页。




本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习直线与圆的位置关系


学生在初中的几何学习中已经接触过直线与圆的位置关系，本节在讨论了直线与圆的位置关系的基础上，着重探究弦长问题，进一步让学生体会数形结合的思想方法；另一方面，本节课对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。











重点：求弦长问题


难点：直线与圆的综合问题





多媒体























针对本节课的特点，在教法上，采用以教师为主导、学生为主体的教学方法；在教学过程中，注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们动手计算，采用一题多变的形式，让学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的题型及相应解题策略，教师在学生活动后，给予帮助，促进数学概念的建构，促进数学基本素养的形成；在教学手段上，运用黑板板书和多媒体展示，激发学生的创造力，活跃了气氛，加深了理解。注重提升学生逻辑推理、数学抽样、数学运算等数学核心素养。


课程目标
学科素养
A.已知直线与圆相交，能用代数法和几何法两种方法求弦长.


B.掌握直线与圆的综合问题.






1.数学抽象：求弦长中的弦长公式


2.逻辑推理：几何法求弦长


3.数学运算：求弦长


4.数学建模：直线与圆的弦长问题
教学过程
教学设计意图


核心素养目标
温故知新


1.直线与圆的位置关系


直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设圆心(a,b)到直线的距离是d,


d=|Aa+Bb+C|A2+B2,则有:


位置


关系
几何特征
代数特征


(方程联立)
公共点个数

相离
d>r
无实数解(Δ<0)
0

相切
d=r
一组实数解(Δ=0)
1

相交
d两组实数解(Δ>0)
2




二、典例解析


例1.已知直线l:x+y+2=0与圆C:x2+y2=9交于A,B两点.


(1)求线段AB的长


(2)求线段AB中点的坐标


解:(方法一)如图所示，设AB的中点为M，根据垂径定理


可知OM⊥AB,因此∆AMO是个直角三角形.


由点到直线的距离公式可知OM=212+12=2


又OA是圆的半径，因此OA=3


从而Rt∆AMO中，有AM=OA2-OM2=32-(2)2=7


因此AB=2AM=27





解:(方法二)设Ax1,y1,Bx2,y2,


则AB2=（x2-x1）2-（y2-y1）2因为Ax1,y1,Bx2,y2都是直线x+y+2=0上的点，所以x1+y1+2=0x2+y2+2=0


第二式减去第一式可得x2-x1+y2-y1=0


因此y2-y1= - （x2-x1），从而


AB2=（x2-x1）2+- （x2-x1）2=2（x2-x1）2


又因为从方程组x+y+2=0x2+y2=9


中消去y ，整理可得2x2+4x-5=0，


而且x1,x2是这个方程的两个根，


因此由韦达定理可知x1+x2=-2x1x2=-52


所以（x2-x1）2=（x2-x1）2 -4x1x2=（-2）2 -4×(-52)=14


因此AB2=2×14=28,从而可知AB=27


（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，且线段AB的中点坐标为x0,y0，


则 x0=x2+x12，y0=y2+y12，由（1）中的方法二可知x0=x2+x12=-22= -1


又因为直线l的方程可以化为y=-x-2,所以y0=y2+y12=-x1-2+(-x2-2)2= -x2+x12 -2= -1


因此所求中点坐标为（-1,-1）





求直线与圆相交时的弦长有三种方法


(1)交点法:将直线方程与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,根据两点间的距离公式 |AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2求解.


(2)弦长公式:





如图所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k2|x1-x2|=1+1k2|y1-y2|(直线l的斜率k存在且不为0).


(3)几何法:如图,直线与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有|AB|22+d2=r2,即|AB|=2r2-d2.


通常采用几何法较为简便.








2.若涉及直线和圆相交的问题,除了借助平面几何知识进行分析,还经常利用联立方程,用解方程组的思路来讨论有关弦长和垂直等问题.





跟踪训练1 已知点P1(-5+1,0),P2(5+1,0),P3(1,1)均在圆C上.


(1)求圆C的方程;


(2)若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长;


(3)设过点(-1,0)的直线l与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线l,使得以MN为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.


解:(1)∵点P1(-5+1,0),P2(5+1,0),P3(1,1)均在圆C上,∴圆心C的横坐标为1,


设圆C的方程为(x-1)2+(y-b)2=r2,


则(5)2+b2=r2,(1-b)2=r2,解得b=-2,r=3.


∴圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=9.


(2)圆C的圆心坐标为(1,-2),半径为3,


圆心到直线3x-y+1=0的距离为d=|3+2+1|10=3105.∴直线3x-y+1=0被圆C截得的弦AB的长为29-31052=6155.





(3)存在直线l满足题意.理由如下,


设M(x1,y1),N(x2,y2),


由题意,知OM⊥ON,且OM,ON 的斜率均存在,


②当直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y=k(x+1),


代入(x-1)2+(y+2)2=9,


得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0,


∴kOM·kON=-1,则y1x1·y2x2=-1,即x1x2+y1y2=0.


①当直线l的斜率不存在时,可得直线l的方程为x=-1,则M(-1,5-2),N(-1,-5-2),满足x1x2+y1y2=0,∴直线l:x=-1满足条件;


则x1+x2=-2k2+4k-21+k2,x1x2=k2+4k-41+k2,


由x1x2+y1y2=0,得x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=0,


即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0,


∴(1+k2)·k2+4k-41+k2-k2·2k2+4k-21+k2+k2=0,解得k=1,


∴直线l的方程为y=x+1.


综上可知,存在满足条件的直线l:x=-1和l:y=x+1.


例2 已知实数x,y满足y=3-x2,求m=y+1x+3及b=2x+y的取值范围.


分析y=3-x2可化为x2+y2=3(y≥0),即以(0,0)为圆心,半径为3的半圆,m=y+1x+3=y-(-1)x-(-3),可看作半圆上的点与点(-3,-1)连线的斜率;b可看作与半圆有公共点的直线2x+y-b=0在y轴上的截距.


解:y=3-x2表示以原点为圆心,半径为3的上半圆,m=y+1x+3表示过点A(-3,-1)和(x,y)的直线的斜率,如图①所示.





图① 图②





可知kAB≤m≤kAC.B点坐标为(3,0),


所以kAB=0-(-1)3-(-3)=3-36.


由图①可知,AC斜率存在,设直线AC的方程为y+1=kAC(x+3),即kACx-y+3kAC-1=0,


因为AC与半圆x2+y2=3(y≥0)相切,


所以|3kAC-1|1+kAC2=3,所以kAC=3+216.


所以m的取值范围是3-36,3+216.


由b=2x+y,知b表示直线2x+y-b=0在y轴上的截距,如图②所示.


可知直线b=2x+y一定位于两直线l1与l2之间.由直线l2与半圆相切,得b=15,由直线l1过D(-3,0),得b=-23.


故b的取值范围是[-23,15].


1.与圆有关的最值问题,可借助几何特征及几何法先确定达到最值的位置,再进行计算.有些与圆有关的最值问题涉及是否过圆心,有时注意考虑表达式中字母的几何意义,如两点间距离公式、斜率公式、在y轴上的截距等.


2.对于本题而言,解决的关键是理解m和b的几何意义,同时要借助分界线探求参数的取值范围.















通过对直线与圆的位置关系的回顾，提出直线与圆的弦长问题。



















































































通过对直线与圆的弦长问题的探究，理解代数法和几何法求弦长的具体应用。让学生进一步体会方程与曲线的关系，发对展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。






















































































































































































在典例分析和练习中让学生掌握直线与圆的最值问题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养




































三、达标检测


1.直线y=x-1上的点与圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点的距离的最小值为( )


A.22B.2-1 C.22-1D.1


解析:圆x2+y2+4x-2y+4=0的圆心为(-2,1),半径为1,


圆心到直线y=x-1的距离为d=|-2-1-1|2=22,


所以直线y=x-1上的点与圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点的距离


的最小值为22-1.


答案:C


2.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= .


解析:圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,


故圆心C(0,-1),半径r=2,


圆心到直线y=x+1的距离d=|0-(-1)+1|2=2,


所以弦长|AB|=2r2-d2=24-2=22.


答案:22


3.过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦长为 .


解析:设点A(3,1),易知圆心C(2,2),半径r=2.


当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦,


|CA|=(2-3)2+(2-1)2=2.


∴半弦长=r2-|CA|2=4-2=2.


∴最短弦长为22.


答案:22


4.已知直线l:mx+y-3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=4,则|CD|= .


解析:圆(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),半径r=2,


∵|AB|=4,∴直线l:mx+y-3=0过圆心(1,2),


∴m+2-3=0,∴m=1,


∴直线l:x+y-3=0,倾斜角为135°,


∵过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,


∴|CD|=|AB|sin45°=422=42.


答案:42


5.记x2+y2≤1表示的平面区域为W,点O为原点,点P为直线y=2x-2上的一个动点,若区域W上存在点Q,使得|OQ|=|PQ|,试求|OP|的最大值.


解:画出直线y=2x-2与平面区域W,如图所示,


易知|OQ|≤1,在△OQP中,|OQ|+|QP|>|OP|,当且仅当O,Q,P三点共线时,有|OQ|+|QP|=|OP|.所以当|OQ|=1时,|OP|取最大值2.






通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。



四、小结





五、课时练



通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。