高中人教B版 (2019)2.3.3 直线与圆的位置关系优秀学案及答案

这是一份高中人教B版 (2019)2.3.3 直线与圆的位置关系优秀学案及答案，共8页。学案主要包含了典例解析等内容，欢迎下载使用。




1.能熟练地解二元方程组,并能运用解方程或方程组来解决直线与圆的位置关系问题


2.能根据给定的直线的方程、圆的方程用代数法和几何法两种方法来判断直线与圆的位置关系.


3.掌握求圆的切线方程的方法.





重点：直线与圆的位置的判断


难点：求圆的切线方程





知识梳理


1.直线与圆的位置关系


直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设圆心(a,b)到直线的距离是d,


d=|Aa+Bb+C|A2+B2,则有:


1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是( )


A.相切 B.相交但直线不过圆心


C.直线过圆心D.相离








问题探究


在日常生活中可以见到很多有关直线与圆位置关系的形象，如图所示，


我们已经知道在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，一个点是否在直线上或圆上，只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可，那么能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢？








初中几何中曾介绍过，直线与圆有两个公共点时称直线与圆相交，且称直线为圆的割线，直线与圆只有一个公共点时称直线与圆相切，并称直线为圆的切线，称公共点为切点，直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离。








温故知新


判断直线l: y=-x+b与圆x2+y2=12的位置关系，并说明理由。











二、典例解析


例1求实数m的取值范围,使直线x-my+3=0与圆x2+y2-6x+5=0分别满足:


相交;②相切;③相离.














直线与圆的位置关系的判断方法


(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.


(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.


(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.





跟踪训练1(1)(多选)已知ab≠0,O为坐标原点,点P(a,b)是圆x2+y2=r2外一点,过点P作直线l⊥OP,直线m的方程是ax+by=r2,则下列结论正确的是( )


A.m∥lB.m⊥l C.m与圆相离 D.m与圆相交


(2)已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系.


例2. 过点M(1,2)是圆x2+y2=5上一点，求圆的过点M的切线方程.














求圆的切线方程的三种方法


(1)几何法:设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量,此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出切线方程.


(2)代数法:设出切线方程后与圆的方程联立消元,利用判别式等于零,求出未知量,若消元后的方程为一元一次方程,则说明要求的切线中,有一条切线的斜率不存在,可直接写出切线方程.


(3)设切点坐标:先利用切线的性质解出切点坐标,再利用直线的两点式写出切线方程.


跟踪训练2. 过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求切线的方程.





1.直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=9的位置关系为( )


A.相切 B.相交


C.相离 D.相离或相切


2.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )


A.相离 B.相切


C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心


3.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是( )


A.[-3,-1]B.[-1,3]


C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)


4.由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则该切线长的最小值为( )


A.1B.22C.7D.3


5.(多选)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是( )


A.1B.2 C.3 D.4


6.过点P(2,3)且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线的方程为 .














参考答案：


知识梳理


1. 解析:∵圆心(0,0)到直线y=x+1的距离d=|0-0+1|2=22<1,


∴直线与圆x2+y2=1相交,又(0,0)不在y=x+1上,∴直线不过圆心.


答案:B


学习过程


例1解:圆的方程化为标准形式为(x-3)2+y2=4,


故圆心(3,0)到直线x-my+3=0的距离为d=6m2+1,圆的半径为r=2.


①若相交,则d22,故m的取值范围为(-∞,-22)∪(22,+∞);


②若相切,则d=r,即6m2+1=2,所以m=±22;


③若相离,则d>r,即6m2+1>2,所以-22

跟踪训练1(1) 解析:∵直线OP的斜率为ba,∴直线l的斜率为-ab,


∴直线l的方程为ax+by=a2+b2,故m∥l;


又P(a,b)在圆外,∴a2+b2>r2,


圆心(0,0)到直线ax+by=r2的距离d=|r2|a2+b2

答案：AD


(2)解:方法一(代数法)


由方程组(x-7)2+(y-1)2=36,x-2y+5=0消去y后整理,


得5x2-50x+61=0.


∵Δ=(-50)2-4×5×61=1 280>0,


∴该方程组有两组不同的实数解,即直线l与圆C相交.


方法二(几何法)


圆心(7,1)到直线l的距离为


d=|1×7-2×1+5|12+(-2)2=25.


∵d

例2. 解:(方法一)设切线方程是y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,


所以切线方程为y-2=-12(x-1)


因此所求方程为：x+2y-5=0.


由于直线与圆相切,故|2-k|k2+1=5,解得k=-12,


解:(方法二)圆的圆心为O，而且OM是与切线垂直的，


如图所示，


因为KOM=2-01-0=2所以切线的斜率为- 12


从而可知切线的点斜式方程为y-2=-12(x-1)


因此所求方程为x+2y-5=0








跟踪训练2.解:由于(2-1)2+(4+3)2=50>1,故点M在圆外.


当切线斜率存在时,设切线方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,


所以切线方程为24x-7y-20=0.


又当切线斜率不存在时,直线x=2与圆相切.


由于直线与圆相切,故|k+3+4-2k|k2+1=1,解得k=247,


达标检测


1. 答案:C


2. 解析:直线y=kx+1恒过定点(0,1),由定点(0,1)在圆x2+y2=2内,知直线y=kx+1与圆x2+y2=2一定相交.又直线y=kx+1不过圆心(0,0),则位置关系是相交但直线不过圆心,故选C.


答案:C


3.解析:圆(x-a)2+y2=2的圆心(a,0)到直线x-y+1=0的距离为d,


则d≤r=2,即|a+1|2≤2,解得-3≤a≤1.


答案:C


4.解析:圆心C(3,0)到y=x+1的距离d=|3-0+1|2=22.所以切线长的最小值为(22)2-12=7.


答案:C


5.解析:圆C的方程为x2+y2-4x=0,


则圆心为C(2,0),半径r=2.设两个切点分别为A,B,


则由题意可得四边形PACB为正方形,


故有|PC|=2r=22,


∴圆心到直线y=k(x+1)的距离小于或等于PC,


即|2k-0+k|k2+1≤22,解得k2≤8,可得-22≤k≤22,


∴实数k的取值可以是1,2.


答案:A B


6.解：P(2,3)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外,


∴过点P(2,3)与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线有两条.当斜率存在时,设切线的斜率为k,


∴|k-2+3-2k|k2+1=1,∴k=0,∴切线方程为y=3;


则切线方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,


当斜率不存在时,切线方程为x=2.


答案:x=2或y=3


位置


关系
几何特征
代数特征


(方程联立)
公共点个数
相离
d>r
无实数解(Δ<0)
0
相切
d=r
一组实数解(Δ=0)
1
相交
d两组实数解(Δ>0)
2