人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.1 圆的标准方程一等奖教案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.1 圆的标准方程一等奖教案，共10页。教案主要包含了探究新知，典例解析，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。




本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习圆的标准方程。


在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用。在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。


同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。











重点：掌握圆的定义及标准方程


难点：根据条件求圆的标准方程





多媒体























在本节课的教学中，引导学生回顾确定直线的几何要素——两点（或者一点和斜率）的基础上，类比得到圆的几何要素——圆心位置和半径大小。由直线方程类比得到从圆心坐标和半径大小入手探究圆的标准方程。这一过程提升逻辑推理、数学抽样等数学素养。在求解圆的标准方程中，注意几何法与代数法的比较，提升学生数学运算素养。


课程目标
学科素养
A. 掌握圆的定义及标准方程.


B.能根据圆心、半径写出圆的标准方程,并能解决一些简单的实际问题.


C.会用待定系数法求圆的标准方程


D.能借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题.
1.数学抽象：圆的定义及标准方程


2.逻辑推理：圆的标准方程的推导


3.数学运算：待定系数法求圆的标准方程


4.数学建模：由圆的几何条件写出圆的标准方程
教学过程
教学设计意图


核心素养目标
问题导学


我们知道，平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径，在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，平面直角坐标系中的一个圆，是否也可以用方程来表示呢？





如图所示，设平面直角坐标系中的☉C的圆心坐标为C（1,2）,且半径为2


（1）判断点A（3,2） 是否在圆☉C上；


（2）设M（x , y）是平面坐标系中任意一点，那么M在在☉C上的主要条件是什么？此时是x，y要满足什么关系式？


二、探究新知


1.圆的标准方程


一般地,如果平面直角坐标系中☉C的圆心为C(a,b),半径为r(r>0),设M(x,y)为平面直角坐标系中任意一点,则点M在☉C上的充要条件是|CM|=r,即(x-a)2+(y-b)2=r,两边平方,得(x-a)2+(y-b)2=r2,通常称为圆的标准方程.





1.判断


(1)(x-a)2+(y-b)2=r2一定表示圆的方程.( )


(2)函数y=b-r2-(x-a)2(r>0)的图像是以(a,b)为圆心,半径为r的位于直线y=b下方的半圆弧.( )


答案:(1)× (2)√


2.在平面直角坐标系中,圆是函数的图像吗?


提示:根据函数知识,对于平面直角坐标系中的某一曲线,如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数的图像,否则,不是函数的图像.对于平面直角坐标系中的圆,垂直于x轴的直线与其至多有两个交点,因此圆不是函数的图像.


2.点与圆的位置关系


点M(x0,y0)与☉C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断方法


位置关系
利用距离判断
利用方程判断

点M在圆上
|CM|=r
(x0-a)2+(y0-b)2=r2

点M在圆外
|CM|>r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2

点M在圆内
|CM|(x0-a)2+(y0-b)2
3.点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是( )


A.在圆外 B.在圆内


C.在圆上 D.不确定


答案:B


三、典例解析


例1(1)圆心在点C(2,1),半径长是3的圆的标准方程为 .


(2)圆心在点C(8,-3),且过点P(5,1)的圆的标准方程为 .


(3)已知两点A(-1,-3),B(3,a),以线段AB为直径的圆经过原点,则该圆的标准方程为 .


解析:(3)∵A(-1,-3),B(3,a),则以线段AB为直径的圆的圆心C1,a-32,半径r=|AB|2=(3+1)2+(3+a)22=16+(3+a)22,故圆的方程为(x-1)2+y-a-322=16+(3+a)24,①


因为以线段AB为直径的圆经过原点,


故(0,0)代入①成立,解得a=-1.


故圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5.


答案:(1)(x-2)2+(y-1)2=3；(2)(x-8)2+(y+3)2=25


(3)(x-1)2+(y+2)2=5


1.确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,因此用直接法求圆的标准方程时,要首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程.


2.确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”,“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.


跟踪训练1 (1)以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )


A.(x+1)2+(y+2)2=100 B.(x-1)2+(y-2)2=100


C.(x+1)2+(y+2)2=25 D.(x-1)2+(y-2)2=25


(2)与y轴相切,且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为 .


解析:(1)∵AB为直径,


∴AB的中点(1,2)为圆心, 12|AB|=12(5+3)2+(5+1)2=5为半径,


∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25.


(2)∵圆心坐标为(-5,-3),又与y轴相切,


∴该圆的半径为5,∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25.


答案:(1)D (2)(x+5)2+(y+3)2=25


例2 已知在平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,


这四点能否在同一个圆上,为什么?


分析先确定出过其中三点的一个圆的方程,再验证第四个点是否在这个圆上,即可得出答案.


解:能.设经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.①


把A,B,C的坐标分别代入①,得


a2+(b-1)2=r2,(a-2)2+(b-1)2=r2,(a-3)2+(b-4)2=r2,解此方程组,得a=1,b=3,r2=5.





变式 试求过三点A(0,1),B(2,1),C(3,4)的圆的方程,并且判断点(3,6)与所求圆的关系.


解:所求方程同例题中的结论(x-1)2+(y-3)2=5.


经判断,因为点(3,6)代入圆方程左边可得(3-1)2+(6-3)2=13>5,


因此点(3,6)在该圆外.


判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法和代数法两种:


(1)对于几何法,主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小;


(2)对于代数法,主要把点的坐标代入圆的标准方程,左端与r2比较.


例3. 赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早保存最好的巨大石拱桥，如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析结合的方法，用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径。





解：作出示意图，如图所示，其中AB表示跨度，O为AB中点,OC为圆拱高，





以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，


根据已知条件有Ba2,0,C(0,b)


可以看出圆弧所在圆的圆心在y轴的负半轴上，因此可设圆心的坐标为(0,t)半径为r，则因为B,C都在圆上，


所以(a2)2+t2=r2(b-t)2=r2


由此可解得r=4b2+a28b


感兴趣的同学可以从网上查得a与b的值，然后算出r





金题典例 求经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程.


解:方法一:待定系数法


设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,


则有a2+b2=r2,(1-a)2+(1-b)2=r2,2a+3b+1=0,解得a=4,b=-3,r=5.


∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.


方法二:几何法


由题意知OP是圆的弦,其垂直平分线为x+y-1=0.


∵弦的垂直平分线过圆心,


∴由2x+3y+1=0,x+y-1=0,得x=4,y=-3,


即圆心坐标为(4,-3),半径为r=42+(-3)2=5.


∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.


(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤


(2)几何法即是利用平面几何知识,求出圆心和半径,然后写出圆的标准方程.


(3)有时待定系数法和几何法交叉使用,体现数形结合的数学思想.





归纳总结









通过对初中平面几何圆的定义的回顾，类比直线方程，开门见山，提出建立圆的方程问题。




































































通过对圆的方程的推导，让学生进一步熟悉坐标法的基本思想，发对展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。
















































































在典例分析和练习中让学生熟悉圆的标准方程的基本方法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养



















































































在典例分析和练习中让学生掌握运用圆的方程解决综合问题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养



三、达标检测


1.圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程是( )


A.(x+3)2+(y+1)2=5B.(x+3)2+(y+1)2=25


C.(x-3)2+(y-1)2=5D.(x-3)2+(y-1)2=25


答案:D


2.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a满足( )


A.|a|<1B.a<13


C.|a|<15D.|a|<113


解析:依题意有(5a)2+144a2<1,所以169a2<1,


所以a2<1169,即|a|<113,故选D.


答案:D


3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是( )


A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1


C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1


解析:方法一:直接法


设圆的圆心为C(0,b),则(1-0)2+(2-b)2=1,


∴b=2,∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.


方法二:数形结合法


作图(如图),根据点(1,2)到圆心的距离为1易知,


圆心为(0,2),故圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.


答案:A





4.圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+y-3=0对称的圆的标准方程是 .


解析:设圆心A(3,-1)关于直线x+y-3=0对称的点B的坐标为(a,b),


则b+1a-3·(-1)=-1,a+32+b-12-3=0,解得a=4,b=0,


故所求圆的标准方程为(x-4)2+y2=1.


答案:(x-4)2+y2=1


5.求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.


解:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,


根据已知条件可得


(1-a)2+(-1-b)2=r2,(-1-a)2+(1-b)2=r2,a+b-2=0,


解此方程组得a=1,b=1,r=2,


所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.



通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。



四、小结





五、课时练



通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。