山东省济宁市嘉祥县第一中学2020-2021高二上学期期中考试数学试题

2020-2021学年度第一学期学分认定考试
高二数学试题
一､单选题：共12个小题，每小题5分，满分40分.每个小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意要求.
1. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知{}是空间向量的一个基底，则与向量，可构成空间向量基底的是（　　）
A. B. C. D.
3. 若直线与圆两个交点关于直线对称，则，的值分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知双曲线C：的一个焦点和抛物线的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程为　　
A. B. C. D.
6. 在正四面体中，，为的中点，为的中点，则用表示为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置中放一个单位正方体礼盒，现以点D为坐标原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则正确的是（ ）

A. 的坐标为 B. 的坐标为
C. 长为 D. 的长为
8. 已知椭圆两焦点，P为椭圆上一点，若，则的的内切圆半径为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：共4个小题，每小题5分，满分20分，每个小题均有四个选项，其中有部分符合题意要求的，全选对得5分，部分选对得3分，错选､多选得0分.
9. 设几何体是棱长为a的正方体，与相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若是直线方向向量，平面，则是平面的一个法向量；
B. 坐标平面内过点的直线可以写成；
C. 直线过点，且原点到的距离是，则的方程是；
D. 设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为.
11. 若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则r可以取值（ ）
A. B. 5 C. D. 6
12. 双曲线C：右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线C的离心率为；
B. 若，则的面积为；
C. 的最小值为2；
D. 双曲线与C的渐近线相同.
三､填空题：共4个小题，每小题5分，满分20分.
13. 坐标平面内过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为___________.
14. 已知向量且与互相垂直，则k的值是________.
15. 已知双曲线 一个焦点是 ，椭圆 的焦距等于 ，则 ________．
16. 如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是___________.

四､解答题：共6个小题，满分60分
17. 已知曲线下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.
①若写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程､顶点坐标､焦点坐标､及的取值范围；
②若写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线只有一个公共点的直线方程；
③若请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论如何变化，这两点都不在曲线上.
18. 已知直角坐标平面内的两点.
（1）求线段中垂线所在直线的方程；
（2）求以向量为方向向量且过点的直线l的方程；
（3）一束光线从点B射向轴，反射后的光线过点A，求反射光线所在的直线方程.
19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，为的中点，，.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
20. 古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆.
（1）求圆的方程；
（2）若点，当在上运动时，记的最大值和最小值分别为和，求的值.
（3）过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程.
21. 坐标平面内的动圆与圆外切，与圆内切，设动圆的圆心的轨迹是曲线，直线.
（1）求曲线的方程；
（2）当点在曲线上运动时，它到直线的距离最小？最小值距离是多少？
（3）一组平行于直线的直线，当它们与曲线相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？
22. 椭圆的左､右焦点分别为､.经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A､B两点(其中点A在轴上方)，的周长为8.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，把平面沿x轴折起来，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面，与y轴负半轴和x轴所确定的半平面互相垂直.
① 当时，求的周长；
② 当时，求异面直线和所成角的余弦值.



2020-2021学年度第一学期学分认定考试
高二数学试题
一､单选题：共12个小题，每小题5分，满分40分.每个小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意要求.
1. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：抛物线化为标准方程，则，所以准线方程为，故答案为D．
考点：抛物线的性质．
2. 已知{}是空间向量的一个基底，则与向量，可构成空间向量基底的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由基底的意义知共面的三个向量不能构成空间向量基底，即可判断出结论．
【详解】由于向量，，2都与向量，为共面向量，因此A，B，C不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查正确如何理解空间向量的基底的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3. 若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的值分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
由圆的对称性可得过圆的圆心且直线与直线垂直，从而可求出.
【详解】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，
故直线与直线垂直，
且直线过圆心，
所以，，
所以，.
故选：C.
【点睛】关键点睛：根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质是解题的关键.
4. 比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出四个椭圆的离心率，离心率的范围在，根据离心率越小越接近于圆可得答案.
【详解】A. 由，得，，离心率为；
B. ，得，，离心率为；
C. ，得，，离心率为；
D. ，得，，离心率为，
因为，所以更接近于圆.
故选：B.
5. 已知双曲线C：的一个焦点和抛物线的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程为　　
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出双曲线的焦点坐标与抛物线的焦点坐标，然后求解即可．
【详解】抛物线的焦点，双曲线C：的一个焦点和抛物线的焦点相同，可得，
可得，解得，
所以双曲线C的渐近线方程：
故选B．
【点睛】本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
6. 在正四面体中，，为的中点，为的中点，则用表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量加法和减法的运算，用表示出.
【详解】
，
∴.
故选：D
【点睛】本小题主要考查根据基底表示向量，属于基础题.
7. 如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置中放一个单位正方体礼盒，现以点D为坐标原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则正确的是（ ）

A. 的坐标为 B. 的坐标为
C. 的长为 D. 的长为
【答案】D
【解析】
【分析】
根据坐标系写出各点的坐标分析即可.
【详解】由所建坐标系可得：，，，
.
故选：D.
【点睛】本题考查空间直角坐标系的应用，考查空间中距离的求法，考查计算能力，属于基础题.
8. 已知椭圆两焦点，P为椭圆上一点，若，则的的内切圆半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由余弦定理得，
得到，可求得面积，再由可得答案.
详解】，，
由题意得，，由余弦定理得，
得，，
设内切圆的半径为，则，
所以.
故选：B.
【点睛】椭圆的焦点三角形常常考查椭圆定义，三角形中的正余弦定理，内角和定理，面积公式等等，覆盖面广，综合性较强，因此受到了命题者的青睐，特别是面积和张角题型灵活多样，是历年高考的热点.
二､多选题：共4个小题，每小题5分，满分20分，每个小题均有四个选项，其中有部分符合题意要求的，全选对得5分，部分选对得3分，错选､多选得0分.
9. 设几何体是棱长为a的正方体，与相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，找出各坐标，根据向量数量积的坐标求法逐项判断即可．
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，∴，，，，，，．∴，A对；，B错；，C对；，对．
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中根据几何体的结构特征建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若是直线方向向量，平面，则是平面的一个法向量；
B. 坐标平面内过点的直线可以写成；
C. 直线过点，且原点到的距离是，则的方程是；
D. 设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为.
【答案】BD
【解析】
【分析】
A选项，当时，，不能作为平面的法向量；B选项，设过点的直线方程一般式为，可得，代入直线得；C选项，直线斜率存在和不存在两种情况；
D选项，求出二次函数的图象与坐标轴的三个交点，再利用圆的标准方程性质可判断.
【详解】对于A，当时，，不能作为平面的法向量，故A错误；
对于B，设过点的直线方程一般式为，可得，即，代入直线方程得
提取公因式得，故B正确；
对于C，当直线斜率不存在时，即，检验原点到的距离是2，所以符合；
当直线斜率存在时，设为k，则方程为：，即，利用原点到直线的距离，解得，所以，故直线的方程是或，故C错误；
对于D，由题知，二次函数的图象与坐标轴的三个交点为，，，设过这三个点的圆的方程为，
令的两根为2019，-2020，由韦达定理知，
令的其中一个根为，所以另一个根为1，即圆过点(0，1)，故D正确.
故选：BD.
【点睛】易错点睛：本题考查直线与圆的问题，直线方程有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式的直线方程时要注意讨论斜率是否存在；截距式要注意讨论截距是否为0；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化成一般式.
11. 若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则r可以取值（ ）
A. B. 5 C. D. 6
【答案】ABC
【解析】
【分析】
首先求得圆心到直线的距离为5，从而得到若圆上恰有一个点到直线的距离等于1，则或，分析题意，得到结果.
【详解】圆心到直线的距离，半径为，
若圆上恰有一个点到直线的距离等于1，
则或，
故当圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，
所以，
故选：ABC.
【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，圆上点到直线距离与半径比较，属于简单题目.
12. 双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线C的离心率为；
B. 若，则的面积为；
C. 的最小值为2；
D. 双曲线与C的渐近线相同.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由题知，双曲线方程，，再利用双曲线离心率，双曲线渐近线方程，点到直线的距离可以分别判断选项.
【详解】选项A，因为，所以，则离心率为，故A正确；
选项B，若，又点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在上，即，点到渐近线的距离为，则，所以的面积为，故B正确；
选项C，的最小值就是点F到渐近线的距离，故C错误；
选项D，它们的渐近线都是，渐近线相同，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是要熟记渐近线方程和离心率公式，考查学生的分析问题能力和运算求解能力，属于中档题.
三､填空题：共4个小题，每小题5分，满分20分.
13. 坐标平面内过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为___________.
【答案】或.
【解析】
【分析】
按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果.
【详解】当直线在在两坐标轴上截距相等且为0时，直线方程为；
当直线在在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线的方程为，
又直线过点，则，解得，所以直线的方程为；
所以直线l的方程为或.
故答案为：或.
【点睛】易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式，只适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线，表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线，考查学生分类讨论思想，属于基础题.
14. 已知向量且与互相垂直，则k的值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量垂直数量积等于零即可求解.
【详解】由向量，
则，，
因为与互相垂直，
所以，即，
解得.
故答案为：
【点睛】本题考查了空间向量坐标运算以及空间的向量积，属于基础题.
15. 已知双曲线 的一个焦点是 ，椭圆 的焦距等于 ，则 ________．
【答案】5
【解析】
【详解】
【分析】
因为双曲线的焦点是，所以双曲线的标准方程是 ，即 ，，即 ，所以椭圆方程是 ，因为焦距，所以 ，即，解得，故填：5.
16. 如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是___________.

【答案】
【解析】
【分析】
取的中点，连接，根据数形结合分析可知，根据的位置关系求的最大值.
【详解】取的中点，连接，
，，
,
由图象可知，
当三点共线时，等号成立，
所以点到原点的最大距离是.

【点睛】本题考查动点和定点距离的最大值，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，本题的关键是分析三点的位置关系.
四､解答题：共6个小题，满分60分
17. 已知曲线下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.
①若写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程､顶点坐标､焦点坐标､及的取值范围；
②若写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线只有一个公共点的直线方程；
③若请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论如何变化，这两点都不在曲线上.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
选择①得到抛物线方程为：，根据抛物线的几何性质可得答案；
选择②得到抛物线方程为：，讨论直线斜率不存在和存在两种情况分别求.
选择③得到曲线的方程为：，即讨论和时的情况可得答案.
【详解】选择①；
因为所以该曲线方程为：，
该曲线是抛物线，其对称轴方程是､顶点坐标为､焦点坐标为､的取值范围是､的取值范围是；
选择②；
因为所以该曲线的方程为：.该曲线是抛物线，
当过点(-1，0)的直线斜率不存在时，此时直线与曲线没有交点，不符合题意；
当过点(-1，0)直线斜率存在时，设为，因此直线方程可设为：，
两个方程联立得：消去x可得：.
当时，此时，此时符合经过点(-1，0)且与曲线只有一个公共点；
当时，只需，解得，此时方程为：.
综上所述：符合题意的直线方程为：.
选择③；
因为所以曲线的方程为：，即.
当时，；
当时，
当时，，
因此符合题意这两个点可为.
【点睛】劣构问题的主要特点是:
（1）问题的构成部分存在未知或某种程度的不可知、可操控的参数、变量很少，目标界定含糊不清或缺少限定；（2）有多种解决方法、途径和多种评价解决方法的标准，甚至无解；（3）因为不同的情境使然，没有原型的案例可供参考；（4）不能确定哪些概念、规则和原理对形成瞭解决方案来说是必须的，并将它们组织起来；（5）没有一般性的规则或原理可套用，在确定恰当的行动方面没有明确的方法；（6）需要学习者对问题作出判断，并说明理由.
18. 已知直角坐标平面内的两点.
（1）求线段的中垂线所在直线的方程；
（2）求以向量为方向向量且过点的直线l的方程；
（3）一束光线从点B射向轴，反射后的光线过点A，求反射光线所在的直线方程.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据中点公式，得的中点坐标，再根据斜率公式求得，进而可得中垂线的斜率，然后根据点斜式即可求得直线方程.
（2）易知直线l的斜率为，再利用点斜式求得方程即可.
（3）根据对称知识，可得点关于轴的对称点的坐标，进而可推出反射光线的点斜式方程.
【详解】（1）由，∴线段的中点坐标为
又，∴线段的中垂线的斜率为，
∴由直线方程的点斜式可得线段的中垂线所在直线方程为，
即.
（2）由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线l的斜率为，
由直线方程的点斜式得直线l的方程为，
即.
（3）设关于轴的对称点为，则点，所以，则直线，即反射光线所在的直线方程为.
【点睛】关键点睛：本题考查直线方程的求解，解题的关键是掌握直线的点斜式方程，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.
19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，为的中点，，.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
(1) 将线面平行转化为线线平行证明；作辅助线,取的中点，连，,证明即可；
（2）根据题目可知PA、PB、PD两两垂直，可建立空间直角坐标系，利用平面法向量求解出二面角的余弦值，进一步求解出正弦值.
【详解】（1）证明：如图，取的中点，连， ，

∵，，
∴
∵在直角梯形中，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴
∵平面，平面，，
∴平面，
（2）∵平面，，
∴， ，两两垂直，以为原点，
，，向量方向分别为轴，轴，
轴建立如图所示空间直角坐标系.
各点坐标如下：，，，，
设平面的法向量为
由，，
有,取，则，，
即
设平面的法向量为
由，，有，
取 ，则，，即
所以
故二面角的正弦值为.

【点睛】本题考查了线面平行的判定以及空间向量在立体几何中求二面角的应用，属于中档题目，解题中由于要计算各个点的空间坐标以及平面法向量的坐标，计算比较繁杂，对运算能力要求较高，需要准确计算.
20. 古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆.
（1）求圆的方程；
（2）若点，当在上运动时，记的最大值和最小值分别为和，求的值.
（3）过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）设点，由，利用两点之间距离公式可得,即为圆的方程.
（2）设得，利用两点之间距离公式化简可得，又，即可求得最大值和最小值，进而求得.
（3）设切点，利用点斜式求得直线方程为：，同理直线方程为：，由均过点，代入可得，，即点都在直线上，即直线的方程.
【详解】（1）设点，由，且得
，整理得,
所以圆的方程为
（2）由，设得
，
而，当时，取得最小值；，当时，取得最大值，所以.
（3）设切点，则，
直线方程为：，整理得，
同理可得直线方程为：，
由直线均过点，则，
即点都在直线上，所以直线的方程为.
【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的综合问题，常见的解题方法有：
（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形；
（2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
21. 坐标平面内的动圆与圆外切，与圆内切，设动圆的圆心的轨迹是曲线，直线.
（1）求曲线的方程；
（2）当点在曲线上运动时，它到直线的距离最小？最小值距离是多少？
（3）一组平行于直线的直线，当它们与曲线相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？
【答案】（1）；（2）点到直线的距离最小，距离最小为；（3）在同一直线，直线为：.
【解析】
【分析】
（1）利用两个圆外切与内切的性质可得，再利用椭圆的定义即可求得曲线的方程；
（2）设与平行的直线的方程为，代入，整理可得，当，直线与曲线相切，此时点到直线的距离最小，利用点到线距离公式求得最小值.
（3）设两个交点为，利用点差法化简得，即，整理得.
【详解】解：（1）设动圆的半径为，由题意可知，
则，根据椭圆的定义可知曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆，其中，即
所以曲线的方程为：.
（2）设与平行的直线的方程为，即，代入，
可得，整理得，
，
当时，此时直线与曲线相切，根据图形可知当时，
点到直线的距离最小，.
（3）这些直线被椭圆所截得的线段的中点在同一条直线上
设与平行的直线与曲线的两交点坐标为，中点，
，
两式作差得，整理可得：，即，整理得，
即所有弦的中点均在直线上.
【点睛】思路点睛：本题考查求椭圆的标准方程，椭圆上点到直线的最近距离，点差法的应用，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
22. 椭圆的左､右焦点分别为､.经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A､B两点(其中点A在轴上方)，的周长为8.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，把平面沿x轴折起来，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面，与y轴负半轴和x轴所确定的半平面互相垂直.
① 当时，求的周长；
② 当时，求异面直线和所成角余弦值.
【答案】（1）；（2）① ；② .
【解析】
【分析】
（1）根据的周长为，可得，即可求得，，结合，即可得的值，即可得椭圆的标准方程；
（2）① 当时，直线，可得，的值，求，，，的长度，由勾股定理可得的值，即可得的值，即可得的周长；② 建立空间直角坐标系，写出、 、 、 的坐标，求出、的坐标，利用向量的夹角公式即可求夹角的余弦值.
【详解】（1）因为的周长为，所以，
由题意得，
所以椭圆的方程为.
（2）① 当时，直线，
此时，，，，
折叠后，，，的长度不变，
但，
此时的周长为.
② 当时，直线，与联立求得，
(因为点A在x轴上方)以及，
再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则

，，，，，.
设异面直线和所成角为，
则，
所以异面直线和所成角的余弦值为.
【点睛】思路点睛：求异面直线所成的角的方法
一、定义法：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
二、向量法
建立空间直角坐标系，确定两直线的方向向量，则两直线所成的角满.