四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试数学（理科）试题（含解析）

四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则中元素的个数为（   ）A.  B.  C.  D. 2. 已知复数，是的共轭复数，则＝A.  B.  C. 1 D. －13. 我国古代数学算经史书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（   ）A. 104人 B. 108人 C. 112人 D. 120人4. 给出下列四个命题：①若样本数据的方差为，则数据的方差为；②“平面向量的夹角为锐角，则”的逆命题为真命题；③命题“，均有”的否定是“，均有”；④是直线与直线平行必要不充分条件．其中正确的命题个数是（   ）A.  B.  C.  D. 5. 甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同．现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步；可以判断丙参加的比赛项目是（   ）A. 跑步比赛 B. 跳远比赛 C. 铅球比赛 D. 无法判断6. 在正方体中，M，N，P分别为棱、、的中点（如图），用过点M，N，P的平面截去该正方体的顶点所在的部分，则剩余几何体的正视图为（   ）A.  B. C.  D. 7. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（   ）A.  B.  C.  D. 8. 已知实数满足，则的最大值为（   ）A  B.  C.  D. 9. 已知平面向量，，当时，的最小值是（    ）A.  B.  C.  D. 10. 已知四面体的四个顶点都在半径为的球面上，是球的直径，且，则四面体的体积为（   ）A.  B.  C.  D. 11. 已知函数，（均为非零整数），若函数，则的值为（   ）A.  B.  C.  D. 12. 为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点，则的内切圆半径为（   ）A  B.  C.  D. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 展开式中的系数是__________．14. 已知随机变量，若，则__________．15. 若，则最大值为_____________．16. 过点作直线交轴于点，过点作交轴于点，延长至点，使得，则点的轨迹方程为_______________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列中，，其前项的和为，且满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当时，．18. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，且，与交于点，底面，.（1）求证：无论为何值，在棱上总存在一点，使得平面；（2）当二面角为直二面角时，求的值．19. 已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是.（1）求男生闯过四关的概率；（2）设表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量的分布列和期望.20. 如图，是圆内一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点. （Ⅰ）当点在圆上运动时，点的轨迹是什么曲线？并求出其轨迹方程；（Ⅱ）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求的面积的最大值.21. 已知函数，.（1）当时，恒成立，试求实数的取值范围；（2）若数列满足：，，证明：.22. （选修4-4.坐标系与参数方程）在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.23. 已知函数的最小值为．（1）求的值以及此时的的取值范围；（2）若实数满足：，证明：． 
四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则中元素的个数为（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】分析：化简集合A，B，根据交集的定义计算即可.详解：集合，，则，元素个数有3个.故选B.点睛：与集合中元素有关问题的解法(1)确定集合的元素是什么，即是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2. 已知复数，是的共轭复数，则＝A.  B.  C. 1 D. －1【答案】C【解析】分析：根据复数的除法先求得复数，于是可得，然后再求即可．详解：由题意得，∴，∴．故选C．点睛：对复数考查以基础知识为主，考查的重点有两个：一是复数的四则运算，二是复数的基本概念．解题的关键是准确进行复数的运算、正确握复数的基本概念．3. 我国古代数学算经史书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（   ）A. 104人 B. 108人 C. 112人 D. 120人【答案】B【解析】【详解】解析：由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为，应选答案B．4. 给出下列四个命题：①若样本数据的方差为，则数据的方差为；②“平面向量的夹角为锐角，则”的逆命题为真命题；③命题“，均有”的否定是“，均有”；④是直线与直线平行的必要不充分条件．其中正确的命题个数是（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】分析：①根据方差的性质即可判断；②根据逆命题以及向量数量积的定义进行判断；③根据全称命题的否定是特称命题进行判断；④根据直线平行的等价条件进行判断.详解：①若样本数据的方差为，则数据的方差为，故①正确；②命题的逆命题为：“若，则平面向量的夹角为锐角”，为假命题，当向量夹角为0度时，满足，故②错误；③命题“，均有”否定是“，均有”，故③正确；④当时，直线方程分别化为：，此时两直线平行，当时，若两直线平行，则，解得，综上是直线与直线平行的充分不必要条件，故④错误.故选B.点睛：四种命题的关系及真假判断(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．(2)判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题简化，对等价的简化命题进行判断．要判断一个命题是假命题，只需举出反例．5. 甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同．现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步；可以判断丙参加的比赛项目是（   ）A. 跑步比赛 B. 跳远比赛 C. 铅球比赛 D. 无法判断【答案】A【解析】分析：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论.详解：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛.故选：A点睛：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力.6. 在正方体中，M，N，P分别为棱、、的中点（如图），用过点M，N，P的平面截去该正方体的顶点所在的部分，则剩余几何体的正视图为（   ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】分析：根据剩余几何体的直观图，结合三视图得定义即可.详解：过点M，N，P的平面截去该正方体的顶点所在的部分，直观图如图：则该几何体的正视图为B.故选：B.点睛：本题主要考查空间三视图得识别，利用空间几何体的直观图是解决本题的关键.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值得变化情况，可得答案.详解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，由于.故选：A.点睛：程序框图的应用技巧(1)条件结构的应用：利用条件结构解决算法问题时，要引入判断框，根据题目的要求引入一个或多个判断框，而判断框内的条件不同，对应的下一个程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要逐个分析判断框内的条件．(2)在解决一些有规律的科学计算问题，尤其是累加、累乘等问题时，往往可以利用循环结构来解决．在循环结构中，需要恰当设置累加、累乘变量和计数变量；执行循环结构首先要分清是先执行循环体，再判断条件，还是先判断条件，再执行循环体．其次注意控制循环的变量是什么，何时退出循环．最后要清楚循环体内的程序是什么，是如何变化的．8. 已知实数满足，则的最大值为（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【详解】分析：设，代入化简即可得出结论.详解：设， 的最大值为12.故选：B.点睛：本题考查椭圆的参数方程，考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力.9. 已知平面向量，，当时，的最小值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】分析：由题意，在OB上取，在AB上取动点C，使，则，则即可所求答案.详解：如图，在中，已知，，在OB上取点D，使得，在AB上有动点C，使（），则，.故选C.点睛：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，训练了灵活解决问题和处理问题的能力.10. 已知四面体的四个顶点都在半径为的球面上，是球的直径，且，则四面体的体积为（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】分析：取AB中点为O，连接OD、OC，推导出OD=OC=OA=OB=BC=3，，，，可设，，取BO中点为G，连接DG、OG，则，，则平面DCG，过D作，交CG于H，则平面ABC，求出，由此能求出四面体ABCD的体积.详解：取AB中点为O，连接OD、OC，已知四面体的四个顶点都在半径为的球面上，是球的直径，且， OD=OC=OA=OB=BC=3，，，.已知四面体的四个顶点都在半径为的球面上，是球的直径，且，可设，，取BO中点为G，连接DG、OG，则，，则平面DCG，过D作，交CG于H，则平面ABC，，，四面体ABCD的体积.故选B.点睛：本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.11. 已知函数，（均为非零整数），若函数，则的值为（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】分析：由列出等式化简即，因为b为整数，得出a=-2，从而求出b与c的值.详解：由已知得，两式相减，化简得：，即，a，b，c均为非零整数且，得为整数，，，.故选：D.点睛：本题主要考查了函数的基本运算化简，以及对题意得充分理解.12. 为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点，则的内切圆半径为（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】分析：根据题意，由双曲线的标准方程可得a的值，设的内切圆半径为r，由直角三角形的性质分析可得，由双曲线的几何性质分析，由图形的对称性知2r-4=0，即可得答案.详解：根据题意，双曲线，其中，设的内切圆半径为r，，，由图形的对称性知，即.故选：A.点睛：本题考查了双曲线的几何性质、双曲线的定义，注意直角三角形的内切圆公式.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中的系数是__________．【答案】【解析】由题得的展开式的通项公式为令， 故，故的展开式中的系数是24, 故填24.14. 已知随机变量，若，则__________．【答案】【解析】分析：根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且依据正态分布对称性，即可求得答案.详解：随机变量服从正态分布曲线关于x=1对称，故答案为0.8.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，要熟练应用正态分布曲线的轴对称性解决问题.15. 若，则的最大值为_____________．【答案】【解析】分析：根据，，利用的正切与，可求得关于的关系式，利用基本不等式可求得的最大值，再由正切函数的单调性即可求得答案.详解： ， ， ， ， ， ，又在上单调递增，（当且仅当，即取等号，此时，即，此时）则的最大值.故答案为.点睛：本题考查两角差的正切函数及正切函数的单调性，考查基本不等式，考查综合分析与运算的能力.16. 过点作直线交轴于点，过点作交轴于点，延长至点，使得，则点的轨迹方程为_______________．【答案】【解析】分析：由题意可得点M为线段PN的中点，且FM是线段PN的垂直平分线，设点，点，由，可得点，设点，再由线段的中点坐标公式可得P的轨迹方程.详解：由题意可得，定点，点M为线段PN的中点，且FM是线段PN的垂直平分线，设点，点，由，求得，，设点，再由线段的中点坐标公式可得： ，消去参数，可得.故答案为：.点睛：本题主要考查求点的轨迹方程的求法，把参数方程化为直角坐标方程.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列中，，其前项的和为，且满足．（1）求证：数列等差数列；（2）证明：当时，．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）考虑到当时，，从而可将条件中的式子转化为数列的一个递推公式，即可得证；（2）由（1）可知，从而放缩可得，再利用裂项相消法求和即可得证．试题解析：（1）当时，，，，从而构成以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）可知，，∴，∴当时，，从而．考点：1．等差数列的证明；2．裂项相消法求数列的和；3．放缩法证明不等式．18. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，且，与交于点，底面，.（1）求证：无论为何值，在棱上总存在一点，使得平面；（2）当二面角为直二面角时，求的值．【答案】（1）见解析；（2）1【解析】分析：（1）无论为何值，当为棱的中点时，总有平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可.详解：（1）无论为何值，当为棱的中点时，总有平面；证明如下：如图，连接，则是的中位线，有，在平面内，所以，平面；（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是.，设平面的法向量为，则，即解得：设平面的法向量为，则，即解得：因为二面角为直二面角，所以，即，得.点睛：运用空间向量解决立体几何问题的步骤(1)建系：根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系；(2)定坐标：确定点的坐标进而求出有关向量的坐标；(3)向量运算：进行相关的空间向量的运算；(4)翻译：将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的求解．19. 已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是.（1）求男生闯过四关的概率；（2）设表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量的分布列和期望.【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；（2）记女生四关都闯过为事件，则，的取值可能为0，1，2，3，4，利用相互独立事件的概率公式即可得出.详解：（1）记男生四关都闯过为事件，则；（2）记女生四关都闯过为事件，则，因为，，，，所以的分布如下：.点睛：本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式，随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力.20. 如图，是圆内一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点. （Ⅰ）当点在圆上运动时，点的轨迹是什么曲线？并求出其轨迹方程；（Ⅱ）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：由题意可得，根据椭圆的定义得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，求得的值，代入即可求得其轨迹方程；设的方程为，联立方程得，消去得，，根据韦达定理及换元后根据函数单调性即可求得面积的最大值．解析：（Ⅰ）由题意得               根据椭圆的定义得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，     轨迹方程为，（Ⅱ）由题意知（为点到直线的距离），设的方程为，联立方程得，消去得设，则， 则，  又，  令，由，得，，，易证在递增，，   面积的最大值.点睛：本题考查了点的轨迹问题，运用椭圆的定义求出轨迹方程，在求椭圆内三角形面积问题时先确定计算面积的方法，本题利用弦长公式求出三角形的边长，然后点到线的距离求出高，在计算过程中利用基本不等式求出结果．21. 已知函数，.（1）当时，恒成立，试求实数的取值范围；（2）若数列满足：，，证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）求出，构造函数，求导分类讨论即可；（2），所以，，由（1）知，在上单调递增，且，，即可证明.详解：（1）依题意，恒成立，即恒成立，亦即恒成立.令，则，令，则，在上单调递增，在上也单调递增，当时，，在上单调递增，恒成立，当时，在上单调递减，在上单调递增，而，所以在不恒成立，故实数的取值范围是；（2），所以，若，则，由（1）知，在上单调递增，且，即当时，，.点睛：利用导数证明不等式的方法(1)证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)＜0，即证明了f(x)＜g(x)．(2)证明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＞0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)＞0，即证明了f(x)＞g(x)．22. （选修4-4.坐标系与参数方程）在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.【答案】（1），（2）或或.【解析】试题分析：（1）写普通方程，则只需消去参数和根据极坐标变换公式即可轻松求得故曲线的普通方程为.直线的直角坐标方程为.（2）由题可知,所以联立和得 ，代入韦达定理即得答案解析：（1），故曲线的普通方程为.直线的直角坐标方程为.（2）直线的参数方程可以写为（为参数）.设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程可以得到 ，所以 或，解得或或.23. 已知函数的最小值为．（1）求的值以及此时的的取值范围；（2）若实数满足：，证明：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）利用绝对值三角不等式求最值得的值，根据等于号取法得此时的的取值范围；（2）利用基本不等式证明：，，两式相加即得.试题解析：（Ⅰ）依题意，得 ，故的值为4.当且仅当，即时等号成立，即的取值范围为.（Ⅱ）因为，故.因为，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，所以 ，故，当且仅当时等号成立.