高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数本章综合与测试课后复习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数本章综合与测试课后复习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A卷——学考合格性考试滚动检测卷


(时间：100分钟，满分100分)





一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)


1．复数i－2的虚部是( )


A．i B．－2


C．1 D．2


解析：选C i－2＝－2＋i，因此虚部是1.故选C.


2．复数(2＋i)2等于( )


A．3＋4i B．5＋4i


C．3＋2i D．5＋2i


解析：选A (2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.故选A.


3．以－eq \r(5)＋2i的虚部为实部，以eq \r(5)i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )


A．2－2i B．－eq \r(5)＋eq \r(5)i


C．2＋i D.eq \r(5)＋eq \r(5)i


解析：选A 设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知，复数－eq \r(5)＋2i的虚部为2；复数eq \r(5)i＋2i2＝eq \r(5)i＋2×(－1)＝－2＋eq \r(5)i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.


4．已知i为虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a等于( )


A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)


C．－2 D．2


解析：选D (1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(2a＋1)i，


因为它为纯虚数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a＝0，,2a＋1≠0，))解得a＝2.故选D.


5．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋y的值为( )


A．1 B.eq \r(2)


C.eq \r(3) D．2


解析：选D 依据复数相等的条件，得x＝y＝1，故x＋y＝2.故选D.


6．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )


A．－2 B．4


C．3 D．－4


解析：选B z＝1－(3－4i)＝－2＋4i.故选B.


7．i是虚数单位，复数eq \f(7－i,3＋i)＝( )


A．2＋i B．2－i


C．－2＋i D．－2－i


解析：选B eq \f(7－i,3＋i)＝eq \f(7－i3－i,3＋i3－i)＝eq \f(20－10i,10)＝2－i.故选B.


8．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )


A．1或3 B．1


C．3 D．2


解析：选A 依题意可得 eq \r(m－32＋m－12)＝2，解得m＝1或3.故选A.


9．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )


A．1 B．2


C．－2 D．－1


解析：选A z1－z2＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,x－y＝0，)) ∴x＝y＝1，则xy＝1.故选A.


10．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )


A．1 B．2


C．－2 D．－2或1


解析：选C z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，


由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a－2＝0，,a2－3a＋2≠0，))解得a＝－2.故选C.


11．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )





A．A B．B


C．C D．D


解析：选B 因为x＋yi的共轭复数为x－yi.故选B.


12．若z＝4＋3i，则eq \f(\x\t(z),|z|)＝( )


A．1 B．－1


C.eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)i D.eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i


解析：选D |z|＝ eq \r(42＋32)＝5，eq \x\t(z)＝4－3i，则eq \f(\x\t(z),|z|)＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i.故选D.


13．已知z1＝3－4i，z2＝－1＋2i，则复数z＝z1＋z2在复平面内对应的点位于( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


解析：选D z＝z1＋z2＝3－4i＋(－1＋2i)＝2－2i，z在复平面内对应的点的坐标为(2，－2)，位于第四象限．故选D.


14．复数z＝1＋i，eq \x\t(z)为z的共轭复数，则z·eq \x\t(z)－z－1＝( )


A．－2i B．－i


C．i D．2i


解析：选B 依题意得z·eq \x\t(z)－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.故选B.


15．已知i为虚数单位，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))2 021等于( )


A．－i B．－1


C．i D．1


解析：选C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))2 021＝i 2 021＝i505×4＋1＝i.故选C.


16．已知复数z＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，则eq \x\t(z)＋|z|＝( )


A．－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i B．－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i


C.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i D.eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i


解析：选D 因为z＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，所以eq \x\t(z)＋|z|＝－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i＋ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2)＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i.故选D.


17．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( )


A．1－3i B．－2＋11i


C．－2＋i D．5＋5i


解析：选D ∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i，又∵f(z)＝z，∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.故选D.


18．若a为实数，且eq \f(2＋ai,1＋i)＝3＋i，则a＝( )


A．－4 B．－3


C．3 D．4


解析：选D eq \f(2＋ai,1＋i)＝eq \f(2＋ai1－i,1＋i1－i)＝eq \f(a＋2,2)＋eq \f(a－2,2)i＝3＋i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋2,2)＝3，,\f(a－2,2)＝1，))解得a＝4.故选D.


19．已知eq \x\t(z)是复数z的共轭复数，z＋eq \x\t(z)＋z·eq \x\t(z)＝0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是( )


A．圆 B．椭圆


C．双曲线 D．抛物线


解析：选A 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则eq \x\t(z)＝x－yi，


代入z＋eq \x\t(z)＋z·eq \x\t(z)＝0，得x＋yi＋x－yi＋x2＋y2＝0，


即x2＋y2＋2x＝0，整理得(x＋1)2＋y2＝1.


∴复数z在复平面内对应的点的轨迹是圆．故选A.


20．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是( )


A．等腰三角形 B．直角三角形


C．等边三角形 D．等腰直角三角形


解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△OAB为直角三角形．故选B.


二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中横线上)


21．(2019·北京东城区二模)复数eq \f(5i,1－i)的实部为______ ；虚部为________．


解析：eq \f(5i,1－i)＝eq \f(5i1＋i,1－i1＋i)＝－eq \f(5,2)＋eq \f(5,2)i.实部为－eq \f(5,2)，虚部为eq \f(5,2).


答案：－eq \f(5,2) eq \f(5,2)


22．(2019·江苏淮安模拟)已知复数z＝(m2－2)＋(m－1)i对应的点位于第二象限，则实数m的范围为______．


解析：∵复数z＝(m2－2)＋(m－1)i对应的点(m2－2，m－1)位于第二象限，∴m2－2＜0，且 m－1＞0，


∴1＜m＜eq \r(2).


答案：(1，eq \r(2))


23．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2eq \r(m)i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．


解析：∵z＝(m－3)＋2eq \r(m)i表示的点在直线y＝x上，∴m－3＝2eq \r(m)，解得m＝9.


答案：9


24．若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝________.


解析：因为(3－4i)z＝4＋3i，所以z＝eq \f(4＋3i,3－4i)＝eq \f(4＋3i3＋4i,3－4i3＋4i)＝eq \f(25i,25)＝i.则|z|＝1.


答案：1


25．计算eq \f(－1＋\r(3)i3,1＋i6)＋eq \f(－2＋i,1＋2i)的值是________．


解析：原式＝eq \f(－1＋\r(3)i3,[1＋i2]3)＋eq \f(－2＋i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(－1＋\r(3)i3,2i3)＋eq \f(－2＋4i＋i＋2,5)＝eq \f(1,－i)＋i＝eq \f(i,－ii)＋i＝2i.


答案：2i


三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)


26．(本小题满分8分)已知复数z1＝2－3i，z2＝eq \f(15－5i,2＋i2)，


求：(1)z1z2；(2)eq \f(z1,z2).


解：z2＝eq \f(15－5i,2＋i2)＝eq \f(15－5i,3＋4i)＝eq \f(15－5i3－4i,3＋4i3－4i)


＝eq \f(25－75i,25)＝1－3i，


(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.


(2)eq \f(z1,z2)＝eq \f(2－3i,1－3i)＝eq \f(2－3i1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq \f(11＋3i,10)＝eq \f(11,10)＋eq \f(3,10)i.


27．(本小题满分8分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.


解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，


∴z1－2＝eq \f(1－i,1＋i)＝eq \f(1－i2,1＋i1－i)＝eq \f(1－2i－1,2)＝－i，


∴z1＝2－i.


设z2＝a＋2i(a∈R)，


则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.


又∵z1z2∈R，∴a＝4.


∴z2＝4＋2i.


28．(本小题满分9分)已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝eq \f(z,2＋i)，且|ω|＝5eq \r(2)，求ω.


解：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，


由ω＝eq \f(z,2＋i)，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．


依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i，


∴7x－y＝0.①


又|ω|＝5eq \r(2)，∴x2＋y2＝50.②


由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝7))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－7.))


∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.


B卷——面向全国卷高考滚动检测卷


(时间：120分钟，满分150分)


一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)


1．(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( )


A．1－i B．1＋3i


C．3＋i D．3＋3i


解析：选B (1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.故选B.


2．(2019·山西晋城二模)若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为( )


A．－2 B. 2


C. 3 D．－3


解析：选D ∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－6＝0，,m－2≠0，))解得m＝－3.故选D.


3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


解析：选C z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限．故选C.


4．(2019·广东华附、省实、广雅、深中联考)设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充要条件是( )


A．a∥b B．θ＝0


C．θ＝eq \f(π,2) D．θ＝π


解析：选B eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)等价于非零向量a与b同向共线．即θ＝0.故选B.


5．设i是虚数单位，复数(a＋i)·(1＋2i)为纯虚数，则实数a为( )


A．－2 B．2


C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)


解析：选B ∵复数(a＋i)(1＋2i)＝(a－2)＋(2a＋1)i为纯虚数，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2＝0，,2a＋1≠0，))解得a＝2.故选B.


6．(2019·湖南长沙一中一模)已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A(1,2)，B(－1,3)，则eq \f(z1,z2)的虚部为( )


A．1 B．－eq \f(1,2)i


C．i D．－eq \f(1,2)


解析：选D 由复数z1，z2在复平面上对应的点分别是A(1，2)，B(－1,3)，得z1＝1＋2i，z2＝－1＋3i，则eq \f(z1,z2)＝eq \f(1＋2i,－1＋3i)＝eq \f(1＋2i－1－3i,－1＋3i－1－3i)＝eq \f(5－5i,10)＝eq \f(1－i,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i.所以eq \f(z1,z2)的虚部为－eq \f(1,2).故选D.


7．(2019·宜宾高三第三次诊断性考试)欧拉公式：eix＝cs x＋isin x(i为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，＝( )


A．1 B．－1


C．i D．－i


解析：选B 由eix＝cs x＋isin x，得＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,2)＋isin\f(π,2)))2＝i2＝－1.故选B.


8．(2019·厦门二模)已知i为虚数单位，若eq \f(1,1－i)＝a＋bi(a，b∈R)，则ab＝( )


A．1 B.eq \r(2)


C.eq \f(\r(2),2) D．2


解析：选C i为虚数单位，eq \f(1,1－i)＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \f(1,1－i)＝eq \f(1＋i,2)＝a＋bi，根据复数相等得到eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,2)，))所以ab＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2).故选C.


9．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,4)，则“k＝－eq \f(1,2)”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不充分又不必要条件


解析：选C 由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得(1，k)·(2,4)＝0，解得k＝－eq \f(1,2)，所以“k＝eq \f(1,2)”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要条件．故选C.


10．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是( )


A．z对应的点在第一象限


B．z一定不为纯虚数


C.eq \x\t(z)对应的点在实轴的下方


D．z一定为实数


解析：选C ∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1＞0，


∴z对应的点在实轴的上方．又∵z与eq \x\t(z)对应的点关于实轴对称．∴C项正确．故选C.


二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)


11．设z是复数，则下列命题中的真命题是( )


A．若z2≥0，则z是实数


B．若z2