高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试课时练习，共65页。试卷主要包含了设分别为椭圆的左、右两个焦点，圆C过点，，且圆心在直线上等内容，欢迎下载使用。
 圆锥曲线的方程（解答题）
1．设分别为椭圆的左、右两个焦点．
（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，求椭圆的方程和焦点坐标；
（2）若直线与椭圆C有两个不同的交点，求m的取值范围．
2．已知抛物线y2＝2px经过点M(4，－4)，双曲线的右焦点恰为抛物线的焦点，且双曲线的离心率为2，求抛物线与双曲线的方程．
3．已知离心率为2的双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，且面积为(为坐标原点)．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）求实数的值．
4．已知，以线段为直径的圆恒与轴相切，动点的轨迹记为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设直线经过点与曲线交于，两点，问：在轴上是否存在一点，使得直线，的倾斜角互补？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．已知，分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若过点的直线与曲线交于不同两点、，当时，求直线的方程．
6．圆C过点，，且圆心在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程．
7．已知双曲线的两个焦点为，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为，求直线的方程
8．（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；
（2）已知椭圆的离心率，求的值．
9．设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设左、右顶点分别为、，点在椭圆上（异于点、），求的值；
（3）过点作一条直线与椭圆交于两点，过作直线的垂线，垂足为．试问：直线与是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由．
10．已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）若直线和曲线C相交于E，F两点，求．
11．已知点和点，动点满足．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过点作x轴的垂线，垂足为，求的中点的轨迹方程．
12．在平面直角坐标系中，平面上的动点到点的距离与它到直线的距离相等．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与点的轨迹交于两个不同点、．若点，且，求直线的方程．
13．已知抛物线（）的焦点为，且经过点．
（1）求抛物线的方程，及其准线方程；
（2）设直线过点，且与抛物线交于、两点，为坐标原点，若的面积为8，求直线的方程；
（3）过点的直线与抛物线交于不同的两点、，若，求直线的斜率的取值范围．
14．已知抛物线过点，
（1）求物线的方程；
（2）为坐标原点，A､B为抛物线C上异于原点的不同两点，直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点．
15．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值．
16．设抛物线的顶点到焦点的距离为1．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点的直线分别与抛物线交于，两点(不同于点)，以为直径的圆恰好经过点，证明：直线经过定点，并求出该定点坐标．
17．已知直线l：过抛物线E：的焦点，且与E交于A，B两点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）以为直径的圆与x轴交于C，D两点，若，求k的取值范围．
18．已知抛物线y2=2px(p>0)上的点T(3，t)到焦点F的距离为4．
（1）求t，p的值；
（2）设抛物线的准线与x轴的交点为M，是否存在过点M的直线l交抛物线于A，B两点(点B在点A的右侧)，使得直线AF与直线OB垂直？若存在，求出△AFB的面积，若不存在，请说明理由．
19．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点．
（1）将表示为的函数；
（2）若，求的周长．
20．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为、，实轴长为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，求线段长度．
21．已知双曲线过点，，它的渐近线方程为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设和为该双曲线的左、右焦点，点在此双曲线上，且，求的余弦值．
22．已知双曲线的焦点为，且该双曲线过点．
（1）求双曲线的标准方程及其离心率、渐近线方程；
（2）若双曲线上的点满足，求的面积．
23．已知椭圆：和椭圆：的离心率相同，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于，两点，且恰为弦的中点，则当点变化时，试问的面积是否为常数，若是，求出此常数，若不是，请说明理由．
24．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程 ；
（2）过点 F 的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴 于P点，设，试判断是否为定值？请说明理由．
25．已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为，过点作直线交椭圆于点，（与，均不重合）．当点与椭圆的上顶点重合时，．
（1）求椭圆的方程
（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
26．已知椭圆的一个顶点，过左焦点且垂直于x轴的直线截椭圆C得到的弦长为2，直线与椭圆C交于不同的两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当的面积为时，求实数k的值．
27．已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于，两点，且（为坐标原点），求的取值范围．
28．已知椭圆上的任意一点到它的两个焦点，的距离之和为，且它的焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆内，求m的取值范围．
29．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于､两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
30．已知椭圆：()的左右焦点分别为，焦距为2，且经过点．直线过右焦点且不平行于坐标轴，与椭圆有两个不同的交点，，线段的中点为．
（1）点在椭圆上，求的取值范围；
（2）证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
31．已知椭圆的长轴长为8，一条准线方程为与椭圆共焦点的双曲线其离心率是椭圆的离心率的2倍．
（1）分别求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）过点M(4，1)的直线l与双曲线交于P，Q两点，且M为线段PQ的中点，求直线l的方程．
32．已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为2的直线与椭圆交于、两点，求直线的方程；
33．椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点重合，短轴的一个端点与两焦点围成的三角形面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于两点，且坐标原点在以为直径的圆上，求直线的斜率．
34．已知椭圆过点，且椭圆的右顶点到直线的距离为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点且与直线平行的直线与椭圆交于两点，求的面积(为坐标原点)．
35．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离的比是常数
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点作与坐标轴不垂直的直线交动点的轨迹于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
36．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．
（1）求圆心P的轨迹方程；
（2）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．
37．设椭圆的方程为，斜率为的动直线交椭圆于、两点，以线段的中点为圆心，为直径作圆．
（1）求圆心的轨迹方程，并描述轨迹的图形；
（2）若圆经过原点，求直线的方程；
（3）证明：圆内含或内切于圆．
38．如图，设点，的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为．

（1）求的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为，点､是轨迹为上不同于，的两点，且满足，，求的面积．
39．已知点与的距离和它到直线的距离的比是常数．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）在（1）的条件下，抛物线的焦点与点关于轴上某点对称，且抛物线与椭圆在第四象限交于点，过点作抛物线的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积．
40．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P，Q两点．
①求证：以PQ为直径的圆经过原点O；
②若△OPQ的面积为求直线l的方程．
41．已知圆，点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，设为的中点，且的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）不过原点的直线与曲线交于、两点，已知，直线，的斜率，，成等比数列，记以，为直径的圆的面积分别为，，试探就是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由．
42．设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积为，直线方程：，直线与直线分别相交于两点，交轨迹与点
（1）求点的轨迹方程．
（2）求证：三点共线
（3）求证：以为直径的圆过定点．
43．已知动点(其中)到定点的距离比点到轴的距离大1．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线交曲线于､两点，其中为坐标原点
①求证：；
②设､分别与椭圆相交于点､，证明：原点到直线的距离为定值．
44．2020年9月下旬，中国海军为应对台湾海峡的局势，派出3艘舰艇在台湾附近某海域进行实弹演习．某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如下图A，B，C，且OA=OB=OC=3，假想敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早(注：信号传播速度为C处舰艇保持静默．
（1）建立适当的坐标系，并求假想敌舰所有可能出现的位置的轨迹方程；
（2）在A，B两处舰艇对假想敌舰攻击后，C处敌舰派出无人机到假想敌舰处观察攻击效果，则无人机飞行的距离最少是多少？

45．已知椭圆的离心率为，点分别是的左､右､上､下顶点，且四边形的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知是的右焦点，过的直线交椭圆于两点，记直线的交点为，求证：点在定直线上，并求出直线的方程．

















专题12 圆锥曲线的方程（解答题）
1．设分别为椭圆的左、右两个焦点．
（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，求椭圆的方程和焦点坐标；
（2）若直线与椭圆C有两个不同的交点，求m的取值范围．
【试题来源】江苏省扬州市邗江中学2020-2021学年高二（2019级新疆班）上学期期中
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由题意，，又是椭圆上的点，所以，
解得．．椭圆方程为．焦点坐标为．
（2）联立直线与椭圆C直线的方程，
消去y整理得，要使直线与椭圆C有两个不同的交点，则需，解得，
所以m的取值范围为．
2．已知抛物线y2＝2px经过点M(4，－4)，双曲线的右焦点恰为抛物线的焦点，且双曲线的离心率为2，求抛物线与双曲线的方程．
【试题来源】吉林省长春市长春外国语学校2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】 ，
【解析】由抛物线y2＝2px经过点M(4，－4)得，，
解得，所以抛物线焦点为，
因为双曲线的右焦点恰为抛物线的焦点，故，
又由双曲线的离心率为2，可得，，
所以抛物线方程为，双曲线方程为，
故答案为和．
3．已知离心率为2的双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，且面积为(为坐标原点)．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）求实数的值．
【试题来源】四川省西昌市2020-2021学年高二上学期期中考试（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，即，，
故双曲线的渐近线方程为
（2）因为抛物线的准线方程为，由得；，
同理可得，，即解得．
4．已知，以线段为直径的圆恒与轴相切，动点的轨迹记为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设直线经过点与曲线交于，两点，问：在轴上是否存在一点，使得直线，的倾斜角互补？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【试题来源】河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考（文）
【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）设，则的中点为，
由题意得，整理得，即曲线的方程为．
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，．联立整理得，
所以，，假设存在点，由直线，的倾斜角互补可得，所以，
即，
所以，所以恒成立，
所以只需，此时点．当直线的斜率不存在时，符合题意．
综上，存在点，使得直线，的倾斜角互补．
5．已知，分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若过点的直线与曲线交于不同两点、，当时，求直线的方程．
【试题来源】安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高二上学期第二次月考（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，
因为是的中点，可得，，
又由，可得，
所，故点的轨迹的方程为．
（2）当直线与轴垂直时，，，此时，不符合题意；
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
设圆心到直线的距离为，由于，即，解得，
所以，解得，故直线的方程为．
【名师点睛】求解轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立的关系式或；
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
（4）代入法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且在某已知曲线上时，可采用代入．
6．圆C过点，，且圆心在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程．
【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求得线段垂直平分线的方程，与直线方程联立，求得圆心的坐标，由求得半径，由此求得圆的方程．（2）设出点坐标，由此求得点坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程．
【解析】（1）直线的斜率，所以的垂直平分线m的斜率为1．
的中点的横坐标和纵坐标分别为，．
因此，直线m的方程为．即．
又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点．
联立方程组，解得，所以圆心坐标为，
又半径，则所求圆的方程是．
（2）设线段的中点，，
M为线段的中点，则，解得，
代入圆C中得，
即线段中点M的轨迹方程为．
7．已知双曲线的两个焦点为，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为，求直线的方程
【试题来源】江西省上高二中2020-2021学年高二上学期第二次月考（文）
【答案】（1）；（2）与．
【解析】（1）由已知及点在双曲线上得
解得；所以，双曲线的方程为．
（2）由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为
由得．设，，
所以且，即且①．
因为，．
所以．
到直线的距离．
所以，
即，，，
所以，适合①式．故直线的方程为与．
8．（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；
（2）已知椭圆的离心率，求的值．
【试题来源】江苏省扬州中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）双曲线的焦点，设所求的双曲线方程为，
可得，解得，所求双曲线的标准方程为；
（2）椭圆方程可化为，因为，所以，
可知椭圆的焦点坐标在轴上，即，
由，得，解得，所以的值为．
9．设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设左、右顶点分别为、，点在椭圆上（异于点、），求的值；
（3）过点作一条直线与椭圆交于两点，过作直线的垂线，垂足为．试问：直线与是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由．
【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】（1）；（2）；（3）是，．
【解析】（1）由题意可知，，又，所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2），设，因为点在椭圆上，所以，
，又，．
（3）设直线的方程为，，则，
联立方程可得，
所以，所以 ，
又直线的方程为，令，
则
，所以直线恒过，
同理，直线恒过， 即直线与交于定点．
【名师点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，解题思路如下：
（1）根据题中所给的条件，结合椭圆中的关系，建立方程组求得椭圆方程；
（2）根据斜率坐标公式，结合点在椭圆上，整理求得斜率之积，可以当结论来用；
（3）将直线与椭圆方程联立，结合根与系数关系，结合直线方程，求得其过的定点．
10．已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）若直线和曲线C相交于E，F两点，求．
【试题来源】贵州省贵阳市第二中学2020-2021学年度高二10月月考卷
【答案】（1），曲线是一个椭圆，除去左右顶点；（2）．
【解析】（1）由题意可知，，化简得，
即曲线C的方程为，曲线是一个椭圆，除去左右顶点．
（2）联立消去得，整理得，
设，，则，，
所以．
11．已知点和点，动点满足．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过点作x轴的垂线，垂足为，求的中点的轨迹方程．
【试题来源】重庆市万州沙河中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，则，，
由得，所以，即，
所以动点P的轨迹方程．
（2）设，则，因为点在圆上，所以，
即．所以的中点的轨迹方程是．
12．在平面直角坐标系中，平面上的动点到点的距离与它到直线的距离相等．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与点的轨迹交于两个不同点、．若点，且，求直线的方程．
【试题来源】重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期（期中）半期
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依据题意动点到的距离等于到直线的距离，
由抛物线定义知点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以点的轨迹的方程为；-
（2）由于过点的直线与点的轨迹交于两个不同点、，则直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，
联立，整理得，则，
由根与系数关系得，，，
则，
解得．所以，直线的方程为，即．
13．已知抛物线（）的焦点为，且经过点．
（1）求抛物线的方程，及其准线方程；
（2）设直线过点，且与抛物线交于、两点，为坐标原点，若的面积为8，求直线的方程；
（3）过点的直线与抛物线交于不同的两点、，若，求直线的斜率的取值范围．
【试题来源】上海市五爱高级中学2021届高三上学期期中
【答案】（1），；（2）；（3）．
【解析】（1）由已知可知，抛物线方程，准线方程；
（2）设，设直线的方程与抛物线方程联立
，得，，
，
解得，所以直线方程为；
（2）设直线方程，，
得，，解得，
且，，，，

，解得或，
综上可知或，因为，
所以直线的斜率的取值范围是.
14．已知抛物线过点，
（1）求物线的方程；
（2）为坐标原点，A､B为抛物线C上异于原点的不同两点，直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点．
【试题来源】河北省邯郸市联盟校2020-2021学年高二上学期期中
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为抛物线过点，
所以，解得，所以抛物线的方程为．
（2）设点､的坐标分别为，
所以，由题意有，得，
①当直线的斜率不存在时，此时，直线的方程为，
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程，消去后整理为，可得，得，
直线的方程为，可化为，
由①②知直线过定点．
【名师点睛】定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．
15．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值．
【试题来源】甘肃省兰州一中2020-2021学年高三年级第一学期10月月考（文）
【答案】（1）（2）
【解析】（1）已知抛物线过点，且
则，所以，故抛物线的方程为；
（2）设，，联立，得，
，得，，，
又，则，
，
或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，
又，综上：的值为-8．
16．设抛物线的顶点到焦点的距离为1．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点的直线分别与抛物线交于，两点(不同于点)，以为直径的圆恰好经过点，证明：直线经过定点，并求出该定点坐标．
【试题来源】河北省保定市2021届高三上学期10月摸底考试
【答案】（1）；（2）证明见解析，定点．
【解析】（1）由题意得，，抛物线的方程为；
（2）设直线方程为，，
联立得，
以为直径的圆过点，，均存在且不为0，
，，同理，
，即，
，，
验证，
，直线经过定点．
17．已知直线l：过抛物线E：的焦点，且与E交于A，B两点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）以为直径的圆与x轴交于C，D两点，若，求k的取值范围．
【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由抛物线的方程可得焦点在轴上，
再由直线过抛物线的焦点，
令，所以，可得焦点坐标为，所以抛物线的方程为；
（2）设，，，，联立直线与抛物线的方程，
整理可得，可得，
因为过抛物线的焦点，所以以为直径的圆的圆心为，，
半径为，所以，
解得，即或，所以的取值范围为．
【名师点睛】本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合，属于中档题．求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合根与系数关系求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解．
18．已知抛物线y2=2px(p>0)上的点T(3，t)到焦点F的距离为4．
（1）求t，p的值；
（2）设抛物线的准线与x轴的交点为M，是否存在过点M的直线l交抛物线于A，B两点(点B在点A的右侧)，使得直线AF与直线OB垂直？若存在，求出△AFB的面积，若不存在，请说明理由．
【试题来源】辽宁省抚顺市2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】（1），p=2；（2）存在，△AFB的面积．
【解析】（1）由题意及抛物线的定义得，则p=2，所以抛物线的方程为，
因为点T在抛物线上，故，解得．
（2）由（1）易得M(-1，0)，F(1，0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设存在直线l满足题意，设其方程为x=my-1(m≠0)，
将其代入得，
由Δ=16m2-16>0，得m>1或m0，
所以满足条件的直线l的方程为．
此时
，
又点F到直线l的距离，
所以△AFB的面积．
【名师点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
（3）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
19．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点．
（1）将表示为的函数；
（2）若，求的周长．
【试题来源】北京市汇文中学2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1），整理得，
则，
，其中；
（2）由，则，解得，
经检验，此时，所以，
由抛物线的定义，有，
又，所以的周长为．
【名师点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式；（2）利用；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可．
20．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为、，实轴长为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，求线段长度．
【试题来源】福建省厦门一中2020-2021学年高二（10月份）月考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）双曲线的焦点为、，实轴长为，则，，而，双曲线的标准方程；
（2）设点，，，，点恰好为线段的中点，
即有，，又，
两式相减可得，，
直线的斜率为，其方程为，即，
由，即，可得，
则．
21．已知双曲线过点，，它的渐近线方程为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设和为该双曲线的左、右焦点，点在此双曲线上，且，求的余弦值．
【试题来源】江苏省南京市江宁区东山外国语学校2020-2021学年高二（10月份）月考
【答案】（1）；（2） ．
【解析】（1）设双曲线的方程为，
代入点，，可得，所求求双曲线的标准方程为.
（2）设，，则，
又由双曲线的几何性质知，
即有，
又，，.
【名师点睛】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点的情况下求它的标准方程，并依此求的余弦值．解题的关键是结合双曲线的定义在焦点三角形中利用余弦定理，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
22．已知双曲线的焦点为，且该双曲线过点．
（1）求双曲线的标准方程及其离心率、渐近线方程；
（2）若双曲线上的点满足，求的面积．
【试题来源】江苏省扬州市邗江中学2020-2021学年高二（2019级新疆班）上学期期中
【答案】（1），，；（2）4．
【解析】（1）设双曲线的方程为，由，，且该双曲线过点，所以，
，又，，
双曲线的标准方程为；所以双曲线的离心率，
双曲线的渐近线方程为．
（2）由，得，
．
23．已知椭圆：和椭圆：的离心率相同，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于，两点，且恰为弦的中点，则当点变化时，试问的面积是否为常数，若是，求出此常数，若不是，请说明理由．
【试题来源】江苏省2021届高三新高考高考模拟样卷
【答案】（1）；（2）的面积为常数．
【解析】（1）由题意知，且，，
即，，所以椭圆的方程为．
（2）是．①当直线的斜率不存在时，必有，此时，．
②当直线的斜率存在时，设其斜率为，点，则：，
直线与椭圆联立，得，
设，，则，
即，又，所以，


．综上，的面积为常数．
24．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程 ；
（2）过点 F 的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴 于P点，设，试判断是否为定值？请说明理由．
【试题来源】江苏省徐州市铜山区大许中学2020-2021学年高三上学期第二次调研考试
【答案】（1）；（2）是定值-4，理由见解析．
【解析】（1）由题可得，
又，所以，，因此椭圆方程为，
（2）由题可得直线斜率存在，设直线的方程为，
由消去，整理得，
设，， 则，
又，，则，，
由可得，所以，同理可得，
所以
，所以，为定值-4．
25．已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为，过点作直线交椭圆于点，（与，均不重合）．当点与椭圆的上顶点重合时，．
（1）求椭圆的方程
（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【试题来源】海南省2021届高三年级第一次模拟考试
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）当点与椭圆的上顶点重合时，有，
所以．①
因为离心率，②
由①②解得，，所以的方程为．
（2）由题意，设直线的方程为，
联立方程组得，
设，，则，．
由（1）得，，所以，，
．
【名师点睛】定值问题：在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明．（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数．
26．已知椭圆的一个顶点，过左焦点且垂直于x轴的直线截椭圆C得到的弦长为2，直线与椭圆C交于不同的两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当的面积为时，求实数k的值．
【试题来源】黑龙江省实验中学2020-2021学年高二上学期期中考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题可得，，所以．椭圆；
（2）设，则由消y，
得，
因为直线恒过椭圆内一点，所以恒成立．
由根与系数的关系，得，

，
即，解得．
27．已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于，两点，且（为坐标原点），求的取值范围．
【试题来源】黑龙江省实验中学2020-2021学年高二上学期期中考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为为椭圆的右焦点，
点在上，且轴，所以，
又椭圆的离心率为，所以，因此，
所以椭圆的方程为；
（2）设，，由，得，
所以，，
故，
由，得，即，
整理得，解得；
又因，整理得，解得或；
综上，的取值范围是．
【名师点睛】本题考查椭圆中直线与椭圆相交弦所在直线的斜率问题，此类问题一般联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系建立关系求解，注意需要考虑方程有解的问题，即需要满足，往往容易忽略这个问题．
28．已知椭圆上的任意一点到它的两个焦点，的距离之和为，且它的焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆内，求m的取值范围．
【试题来源】宁夏石嘴山市第三中学2021届高三补习班上学期期中（文）
【答案】（1）；（2）或．．
【分析】（1）由椭圆求得，再结合求得，可得椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立消去后整理，首先有，设两交点为，应用根与系数关系得，求出中点坐标，由点在圆内得不等式，可解得的范围．
【解析】（1）由题意，，又，即，
所以，所以椭圆方程为，
（2）设，中点为，
由得，，，
，所以，，
因为中点不在已知圆内，所以，解得或，
综上有或．
29．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于､两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【试题来源】福建省福清西山学校高中部2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】（1）；（2）证明见解析，直线过定点．
【解析】（1）抛物线的焦点为，则．
椭圆的离心率，则．
故椭圆的标准方程为．
（2）显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为．
当直线的斜率存在且不为时，设，，
则有，，
两式相减得．
由线段的中点为，则，
故直线的斜率．
因为直线是线段的垂直平分线，故直线，即．
令，此时，于是直线过定点．
当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点．
综上所述，直线过定点．
【名师点睛】定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．
30．已知椭圆：()的左右焦点分别为，焦距为2，且经过点．直线过右焦点且不平行于坐标轴，与椭圆有两个不同的交点，，线段的中点为．
（1）点在椭圆上，求的取值范围；
（2）证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
【试题来源】福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为焦距，则，所以左焦点，右焦点
则
所以，所以，所以椭圆方程为．
设点，则
因为，所以的取值范围为
（2）设直线的方程为()
联立消去得
其中：，，不妨设，，为线段的中点
则，所以，
所以所以为定值．
【名师点睛】直线与椭圆相交中的定值问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点，，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立方程组并消元后应用根与系数关系得，代入中可化简得定值．
31．已知椭圆的长轴长为8，一条准线方程为与椭圆共焦点的双曲线其离心率是椭圆的离心率的2倍．
（1）分别求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）过点M(4，1)的直线l与双曲线交于P，Q两点，且M为线段PQ的中点，求直线l的方程．
【试题来源】江苏省镇江市2020-2021学年高二上学期期中
【答案】（1）；；（2）
【解析】（1）椭圆的长轴长为，则，
一条准线方程为，则，解得，
所以，所以椭圆的标准方程为，
离心率，设双曲线的标准方程为，
则，又离心率为，则，解得，
所以，所以双曲线的标准方程为．
（2）设，， ，
两式作差可得，
，即，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即．
32．已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为2的直线与椭圆交于、两点，求直线的方程；
【试题来源】内蒙古通辽市开鲁县第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知，，
又，解得，所以椭圆的方程为．
（2）法一：设，PQ方程为，
与椭圆方程联立，得，所以
因为，，即，解得
所以直线的方程为即．
法二：设直线的方程为，则由可得，
即，
因为，所以，
所以直线的方程为即．
【名师点睛】求直线方程常用待定系数法，先定式，后定量．先定式，指的是根据已知从直线的5种形式里选择恰当的一种作为直线的方程，再通过联立直线与曲线方程，利用根与系数的关系，表示方程，解方程求出待定系数．
33．椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点重合，短轴的一个端点与两焦点围成的三角形面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于两点，且坐标原点在以为直径的圆上，求直线的斜率．
【试题来源】湖南省常德市临澧县第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为抛物线的焦点为，由题意得，
又椭圆短轴的一个端点与两焦点围成的三角形面积为，所以，
解得，，所以椭圆的方程为；
（2）由题意设过点的直线方程为，
设，由，得，
则，
，解得或，
因为坐标原点在以为直径的圆上，所以，即，
即，所以，
即，解得．适合，所以直线的斜率是 ．
【名师点睛】易错点是由坐标原点在以为直径的圆上，转化为，由，求得斜率，而忽视要满足．．
34．已知椭圆过点，且椭圆的右顶点到直线的距离为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点且与直线平行的直线与椭圆交于两点，求的面积(为坐标原点)．
【试题来源】四川省西昌市2020-2021学年高二上学期期中考试（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据点得，根据右顶点到直线的距离为4得；（2）求出直线的方程，与椭圆方程联立，设，，求出，利用可求出面积．
【解析】（1）由题得．
因为椭圆的右顶点到直线的距离为4．
所以，解得，负值已经舍去，
故椭圆的标准方程为．
（2）由题意知，
所以直线的方程为，
联立，消去并整理得，
设，，则，
从而
故的面积．
35．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离的比是常数
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点作与坐标轴不垂直的直线交动点的轨迹于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【试题来源】四川省西昌市2020-2021学年高二上学期期中考试（理）
【答案】（1）；（2）存在定点，使得三点共线．
【解析】（1）设，则，化简得
故动点的轨迹方程为．
（2）由题知且直线斜率存在，设为，则直线方程为，
由得，
设，则，
由椭圆的对称性知，若存在定点，则点必在轴上，
故假设存在定点，使得三点共线，则且，
又 ，
即，化简得，
将式代入上式得
，化简得，
故存在定点，使得三点共线．
36．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．
（1）求圆心P的轨迹方程；
（2）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．
【试题来源】河北省正定县弘文中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】（1）（2）或
【解析】（1）设，圆的半径为，
由题设，从而，故的轨迹方程为．
（2）设，由已知得，
又点在双曲线上，从而得．
由，得，此时，圆的半径，
由，得，此时，圆的半径，
故圆的方程为或．
【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题．求轨迹方程的常见方法有：①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入．本题（1）就是利用方法①求的轨迹方程的．
37．设椭圆的方程为，斜率为的动直线交椭圆于、两点，以线段的中点为圆心，为直径作圆．
（1）求圆心的轨迹方程，并描述轨迹的图形；
（2）若圆经过原点，求直线的方程；
（3）证明：圆内含或内切于圆．
【试题来源】江西省上高二中2020-2021学年高二上学期第一次月考（文）
【答案】（1）圆心的轨迹方程为，轨迹为线段；（2）；（3）证明见解析．
【分析】（1）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用判别式大于零，以及根与系数关系和中点坐标公式，可得圆心的轨迹方程，并确定轨迹图形；（2）利用弦长公式求得，以及圆的方程，代入原点，可求的值，进而可求得直线的方程；（3）利用两圆内切和内含的条件，结合两点间的距离公式，计算可得出结论成立．
【解析】（1）设斜率为的动直线的方程为，
联立椭圆方程，可得，
设、，则，
即，由根与系数关系得，，则中点，可得圆心的轨迹方程为，即轨迹为线段；
（2）由（1）可得，
可得圆的方程为，
若圆经过原点，可得，解得，
因此，直线的方程为；
（3）圆的圆心设为，半径为，
圆的圆心，半径为，
由，
可令，则，
可得，
可得圆内含或内切于圆．
38．如图，设点，的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为．

（1）求的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为，点､是轨迹为上不同于，的两点，且满足，，求的面积．
【试题来源】广东省深圳高级中学2021届高三上学期10月月考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知设点的坐标为，由题意知
，
化简得的轨迹方程为．
（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，，
则直线，斜率必存在且不为0，又由已知．
因为，，所以．
设直线的方程为，代入椭圆方程，得
，
设的坐标分别为，则．
又，
所以，得．
又，
所以，即的面积为定值．
39．已知点与的距离和它到直线的距离的比是常数．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）在（1）的条件下，抛物线的焦点与点关于轴上某点对称，且抛物线与椭圆在第四象限交于点，过点作抛物线的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积．
【试题来源】内蒙古赤峰市松山区2020-2021学年高三第一次统一模拟考试（文）
【答案】（1）；（2）切线方程为，面积为．
【解析】（1）由题意得，为轨迹的方程．
（2）焦点与点关于轴上某点对称，设轴上的点为
则，则，所以拋物线焦点为，故抛物线的方程为，
联立方程组，解得或(舍去)，
设抛物线在点处的切线为，
联立方程组，整理得，
由，解之得，所求的切线方程为．
即． 令，得；令，得．
故所求三角形的面积为.
40．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P，Q两点．
①求证：以PQ为直径的圆经过原点O；
②若△OPQ的面积为求直线l的方程．
【试题来源】江苏省南京市五校2020-2021学年高二上学期10月联合调研考试
【答案】（1）； （2）①证明见解析，②或．
【解析】（1）由题意椭圆C长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上，
可得，解得，，所以椭圆的方程为．
（2）①因为切点在第一象限，直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，即，且，，
因为直线与圆相切，所以，即，
联立，得，
设，，，，则有，，
所以
，
所以，
所以，即，即以为直径的圆过原点．
②由①可得，，，
所以，
点到直线的距离为，
可得，解得，或，
当时，，当时，，
所以，，或，，
则直线方程为或．
41．已知圆，点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，设为的中点，且的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）不过原点的直线与曲线交于、两点，已知，直线，的斜率，，成等比数列，记以，为直径的圆的面积分别为，，试探就是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由．
【试题来源】重庆市育才中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】（1）；（2）是定值；．
【解析】（1）设，，因为为的中点所以．
因为在圆上，所以
所以曲线的方程为所以．
（2）设直线的方程为，，
由得，
所以，．
由题设知，，
所以，所以，因为，所以．
则

．
42．设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积为，直线方程：，直线与直线分别相交于两点，交轨迹与点
（1）求点的轨迹方程．
（2）求证：三点共线
（3）求证：以为直径的圆过定点．
【试题来源】北京大兴区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【解析】（1）设，由题意，，
由已知有，化简得；
（2）设方程为，令得点，
由消元得，显然恒成立，
由，且，得，
代入直线方程得，因为，所以：，
所以直线为，令得点，，
联立方程，消去得
所以，，，，
因为有公共点，所以三点共线．
（3）设以为直径的圆上点，则，
所以圆方程为，
即，当时与无关，
所以以为直径的圆过定点．
43．已知动点(其中)到定点的距离比点到轴的距离大1．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线交曲线于､两点，其中为坐标原点
①求证：；
②设､分别与椭圆相交于点､，证明：原点到直线的距离为定值．
【试题来源】四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考（理）
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析．
【解析】（1）设由题意，
两边平方，整理得，所以所求点的轨迹方程为．
（2）①设过椭圆的右顶点的直线的方程为．
代入抛物线方程，得．
设､，则
所以．
所以．
②设､，直线的方程为，
代入，得．
于是，．
从而
因为，所以．代入，整理得．
所以原点到直线的距离为定值．
44．2020年9月下旬，中国海军为应对台湾海峡的局势，派出3艘舰艇在台湾附近某海域进行实弹演习．某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如下图A，B，C，且OA=OB=OC=3，假想敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早(注：信号传播速度为C处舰艇保持静默．
（1）建立适当的坐标系，并求假想敌舰所有可能出现的位置的轨迹方程；
（2）在A，B两处舰艇对假想敌舰攻击后，C处敌舰派出无人机到假想敌舰处观察攻击效果，则无人机飞行的距离最少是多少？

【试题来源】江苏省南京市五校2020-2021学年高二上学期10月联合调研考试
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设假想敌舰的位置，由题意可知，由圆锥曲线的定义可知，点的轨迹是双曲线的一支，可求出轨迹方程；（2）由题意可知，求无人机飞行的距离最少，即求点与轨迹上的点的距离最小，转化为两点间的距离最小．
【解析】建立以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系，
（1）设假想敌舰的位置，由题意可知，
由圆锥曲线的定义可知，该曲线是以，为焦点，4为实轴长的双曲线的左支，
即，，，，点的轨迹方程为，
（2）设方程上一点，，
由题意知，求出的最短距离即可，
，由，可得，．
【名师点睛】利用定义法求轨迹方程后，要注意验证是否要挖去不符合条件的点；利用双曲线方程进行参数设点求解问题，能减少运算量．
45．已知椭圆的离心率为，点分别是的左､右､上､下顶点，且四边形的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知是的右焦点，过的直线交椭圆于两点，记直线的交点为，求证：点在定直线上，并求出直线的方程．
【试题来源】山西省大同市大同一中2021届高三上学期期中质量检测（理）
【答案】（1）；（2）证明见解析，．
【解析】（1）设椭圆的半焦距长为，
根据题意，解得．故．
（2）由（1）知，设，
由①，②，
两式相除得，
又故，故，
于是③，
由于直线经过点，设直线的方程为，
代入整理，得，
把代入③，
，
得，
得到，故点在定直线上．