高中数学人教A版( 2019 )选择性必修第二册内容测试(基础过关)
展开基础过关卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
一、单项选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.已知等差数列{an}中,a2=1,a3+a5=4,则该数列公差为( )
A.B.1C.D.2
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=( )
A.B.C.2D.9
3.已知1,a1,a2,9四个实数成等差数列,1,b1,b2,b3,9五个数成等比数列,则b2(a2﹣a1)等于( )
A.8B.﹣8C.±8D.
4.函数f(x)=1﹣x+x4的导数记为f′(x),则f′(﹣1)等于( )
A.﹣2B.﹣3C.﹣4D.﹣5
5.等差数列{an},前n项和为Sn,a1>0,a2012,a2013是方程x2﹣(λ2+λ+1)x﹣(λ2+1)=0的两根,则满足Sn>0的n的最大正整数为( )
A.4023B.4024C.4025D.4026
6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是( )
A.6B.4C.3D.2
7.函数f(x)的定义域为(a,b),其导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在区间(a,b)内极小值点的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
8.已知数列{an}是等比数列,且公比q不为1,Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论中一定正确的为( )
A.= B.2S8≠S4+S12
C.= D.=Sn(S3n﹣S2n)(n∈N*)
9.设定义在(0,+∞)的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足,则关于x的不等式的解集为( )
A.(3,6)B.(0,3)C.(0,6)D.(6,+∞)
10.已知f(x)=ex﹣e﹣x,f'(x)是f(x)的导函数,则f'(2)=( )
A.0B.e2+e﹣2C.e2﹣e﹣2D.1
11.已知a,b为正实数,若直线y=x﹣a与曲线y=ln(x+b)相切,则的取值范围为( )
A.(0,)B.(0,1)C.(0,+∞)D.[1,+∞)
12.已知函数f(x)=+2bx+c的两个极值分别为f(x1)和f(x2),若x1和x2分别在区间(﹣2,0)与(0,2)内,则的取值范围为( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(,+∞)B.
C.D.
二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分。)
13.在等差数列{an}中,a2=1,a4=3,则a3= .
设曲线y=ax3+x在(1,a)处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行,则实数a的值为 .
数列{an}是等差数列,3a5=8a12>0,数列{bn}满足,设Sn为{bn}的前n项和,则当Sn取得最大值时,n的值等于 .
16.已知f1(x)=sinx+csx,且f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x)=fn﹣1′(x),…(n∈N*,n≥2),则f1()+f2()+…+f2015()= .
三、解答题:(本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
18.确定函数f(x)=cs2x+4csx,x∈(0,2π)的单调区间.
19.已知数列{an}为等差数列,且公差为d.
(1)若a15=8,a60=20,求a105的值;
(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.
20.已知曲线f(x)=x3﹣2x2+x.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在(2,2)处的切线方程;
(Ⅱ)求曲线y=f(x)过原点O的切线方程.
21.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a8=4,a13=14.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求Sn的最小值及相应的n的值;
(3)在公比为q的等比数列{bn}中,b2=a8,b1+b2+b3=a13,求q+q4+q7+…+q3n+4.
22.已知数列{an}满足an+2+an=2an+1(n∈N**),数列{bn}满足(n∈N)*),且a1=b1,a3=5,a5+a7=22.
(1)求an及bn;
(2)令cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和Sn.
23.已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx(a∈R).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)求证:若f(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立,则a=1;
(3)设a<0,对任意的0<x1<x2≤1,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤4()成立,求实数a的取值范围.
一、单项选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.已知等差数列{an}中,a2=1,a3+a5=4,则该数列公差为( )
A.B.1C.D.2
【解答】解:∵等差数列{an}中,a2=1,a3+a5=4,
∴,
解得d=,,
∴该数列公差为.
故选:A.
【知识点】等差数列的通项公式
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=( )
A.B.C.2D.9
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,由题意可知,q≠1.
∴,
则==1+q3=1+8=9.
故选:D.
【知识点】等比数列的前n项和
3.已知1,a1,a2,9四个实数成等差数列,1,b1,b2,b3,9五个数成等比数列,则b2(a2﹣a1)等于( )
A.8B.﹣8C.±8D.
【解答】解:设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
则有1+3d=9,1•q4=9,
解之可得d=,q2=3,
∴b2(a2﹣a1)=1×q2×=8.
故选:A.
【知识点】等差数列的性质、等比数列的性质
4.函数f(x)=1﹣x+x4的导数记为f′(x),则f′(﹣1)等于( )
A.﹣2B.﹣3C.﹣4D.﹣5
【解答】解:f′(x)=﹣1+4x3,
∴f′(﹣1)=﹣1﹣4=﹣5,
故选:D.
【知识点】导数的运算
5.等差数列{an},前n项和为Sn,a1>0,a2012,a2013是方程x2﹣(λ2+λ+1)x﹣(λ2+1)=0的两根,则满足Sn>0的n的最大正整数为( )
A.4023B.4024C.4025D.4026
【解答】解:∵等差数列{an},首项a1>0,a2012,a2013是方程x2﹣(λ2+λ+1)x﹣(λ2+1)=0的两根,
∴a2012+a2013=λ2+λ+1>0,a2012•a2013=﹣(λ2+1)<0,
∴a2012>0,a2013<0.
假设a2012<0<a2013,则d>0,而a1>0,可得a2012=a1+2011d>0,矛盾,故不可能.
再根据S4024=2012(a2012+a2013 )>0,
而S4025=4025a2013<0,
因此使前n项和Sn>0成立的最大自然数n为4024.
故选:B.
【知识点】等差数列的性质
6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是( )
A.6B.4C.3D.2
【解答】解:由等差数列的性质可得:====7+.
只有n=1,2,3,6,9,18时,为整数,可得为整数的正整数n的个数是6.
故选:A.
【知识点】等差数列的性质
7.函数f(x)的定义域为(a,b),其导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在区间(a,b)内极小值点的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
【解答】解:从f′(x)的图象可知f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减,
根据极值点的定义可知在(a,b)内只有一个极小值点.
故选:D.
【知识点】函数的图象与图象的变换、导数的运算
8.已知数列{an}是等比数列,且公比q不为1,Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论中一定正确的为( )
A.=
B.2S8≠S4+S12
C.=
D.=Sn(S3n﹣S2n)(n∈N*)
【解答】解:当q=﹣1,且n若为偶数,则有Sn=0,∴S4=S8=S12=0,此时,A,B,C不一定成立.
故选:D.
【知识点】等比数列的前n项和
9.设定义在(0,+∞)的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足,则关于x的不等式的解集为( )
A.(3,6)B.(0,3)C.(0,6)D.(6,+∞)
【解答】解:∵,
∴(x﹣3)3f(x﹣3)﹣27f(3)<0,
∴(x﹣3)3f(x﹣3)<27f(3),
∵定义在(0,+∞)的函数f(x),
∴3<x,
令g(x)=x3f(x),
∴不等式(x﹣3)3f(x﹣3)<27f(3),
即为g(x﹣3)<g(3),①
g′(x)=(x3f(x))′=3x2f(x)+x3f′(x),
∵,
∴xf′(x)>﹣3f(x),
∴xf′(x)+3f(x)>0,
∴x3f(x)+3x2f(x)>0,
∴g′(x)>0,
∴g(x)单调递增,
又因为由上可知g(x﹣3)<g(3),
∴<x﹣3<3,
∴3<x<6.
故选:A.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
10.已知f(x)=ex﹣e﹣x,f'(x)是f(x)的导函数,则f'(2)=( )
A.0B.e2+e﹣2C.e2﹣e﹣2D.1
【解答】解:函数的导数为f′(x)=ex+e﹣x,
则f′(2)=e2+e﹣2,
故选:B.
【知识点】导数的运算
11.已知a,b为正实数,若直线y=x﹣a与曲线y=ln(x+b)相切,则的取值范围为( )
A.(0,)B.(0,1)C.(0,+∞)D.[1,+∞)
【解答】解:函数的导数为y′==1,x=1﹣b,切点为(1﹣b,0),
代入y=x﹣a,得a+b=1,
∵a、b为正实数,∴a∈(0,1),
则=,
令g(a)=,则g′(a)=>0,
则函数g(a)为增函数,
∴∈(0,).
故选:A.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
12.已知函数f(x)=+2bx+c的两个极值分别为f(x1)和f(x2),若x1和x2分别在区间(﹣2,0)与(0,2)内,则的取值范围为( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(,+∞)B.
C.D.
【解答】解:函数的两个极值分别为f(x1)和f(x2),
∴f′(x)=x2+ax+2b=0的两个根为x1,x2,
∵x1,x2分别在区间(﹣2,0)与(0,2)内,
所以:化为:.
画出可行域,设Q(1,1),设可行域△ABC内部的点为P(a,b).
kAQ=,kBQ=﹣1.
∴的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(,+∞).
故选:A.
【知识点】利用导数研究函数的极值
二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分。)
13.在等差数列{an}中,a2=1,a4=3,则a3= .
【解答】解:由等差数列的性质可知,a2+a4=2a3=4,
∴a3=2
故答案为:2
【知识点】等差数列的通项公式
14.设曲线y=ax3+x在(1,a)处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行,则实数a的值为 .
【解答】解:根据题意,曲线y=ax3+x,其导数y′=3ax2+1,
则有y′|x=1=3a+1,
若曲线y=ax3+x在(1,a)处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行,则有3a+1=2,
解可得:a=;
故答案为:
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
15.数列{an}是等差数列,3a5=8a12>0,数列{bn}满足,设Sn为{bn}的前n项和,则当Sn取得最大值时,n的值等于 .
【解答】解:∵3a5=8a12>0,∴3a5=8(a5+7d),a5=﹣d>0,∴d<0.
又a16=a5+11d=﹣>0,a17=a5+12d=<0,n≥17时,an<0.
∴a1>a2>a3>…>a16>0>a17>a18>……,b1>b2>b3>…>b13>0>b14,
∵b15=a16a17a18>0,b16=a17a18a19<0,n≥16,bn<0.
n≤13时,Sn>0.
S14==7(b7+b8)>0.
∵a15+a18=﹣d×2+23d=d<0,
∴b14+b15=a16a17(a15+a18)>0.
故S15>S14,所以Sn中S15最大.
故答案为:15,
【知识点】等差数列的前n项和
16.已知f1(x)=sinx+csx,且f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x)=fn﹣1′(x),…(n∈N*,n≥2),则f1()+f2()+…+f2015()= .
【解答】解:f2(x)=f1′(x)=csx﹣sinx,
f3(x)=(csx﹣sinx)′=﹣sinx﹣csx,
f4(x)=﹣csx+sinx,
f5(x)=sinx+csx,
以此类推,可得出fn(x)=fn+4(x)
又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,
∴f1()+f2()+…+f2015()=f1()+f2()+f3()=﹣f4()=cs﹣sin=0,
故答案为:0.
【知识点】导数的运算
三、解答题:(本题共7小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
【解答】解:∵等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,
∴,
解得或,
当时,此数列的通项公式an=﹣1+(n﹣1)×2=2n﹣3.
当时,此数列的通项公式an=11+(n﹣1)×(﹣2)=﹣2n+13.
【知识点】等差数列的通项公式
18.确定函数f(x)=cs2x+4csx,x∈(0,2π)的单调区间.
【解答】解:函数的导数f'(x)=﹣2sin2x﹣4sinx=﹣4sinx(csx+1),
令f'(x)>0,sinx<0,
又x∈(0,2π),所以π<x<2π;
令f'(x)<0,sinx>0,
又x∈(0,2π),所以0<x<π.
故f(x)的单调增区间为(π,2π),单调减区间为(0,π).
【知识点】利用导数研究函数的单调性
19.已知数列{an}为等差数列,且公差为d.
(1)若a15=8,a60=20,求a105的值;
(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.
【解答】解:(1)等差数列{an}中,
∵a15=8,a60=20,
∴,解得a1=,d=,
∴a105=+104×=32.
(2)∵数列{an}为等差数列,且公差为d,且a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,
∴a2+a5=17,a2a5=52,
∴解得a2=4,a5=13.或a2=13,a5=4.
∵a5=a2+3d,
∴13=4+3d,或4=13+3d,
解得d=3,或﹣3.
【知识点】等差数列的通项公式
20.已知曲线f(x)=x3﹣2x2+x.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在(2,2)处的切线方程;
(Ⅱ)求曲线y=f(x)过原点O的切线方程.
【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=x3﹣2x2+x得f′(x)=3x2﹣4x+1,
所以f′(2)=5,f(2)=2,可得切线方程为y﹣2=5(x﹣2),
整理得5x﹣y﹣8=0;
(Ⅱ)令切点为(m,n),因为切点在函数图象上,
所以n=m3﹣2m2+m,f′(m)=3m2﹣4m+1,
所以在该点的切线为y﹣(m3﹣2m2+m)=(3m2﹣4m+1)(x﹣m),
因为切线过原点,所以﹣(m3﹣2m2+m)=(3m2﹣4m+1)(0﹣m),
解得m=0或m=1,可得切点为(0,0),(1,0),
切线斜率为f′(0)=1,f′(1)=0,
所以切线方程为y=x或y=0.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
21.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a8=4,a13=14.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求Sn的最小值及相应的n的值;
(3)在公比为q的等比数列{bn}中,b2=a8,b1+b2+b3=a13,求q+q4+q7+…+q3n+4.
【解答】解:(1)∵a8=4,a13=14.
∴,解得a1=﹣10,d=2,
则数列{an}的通项公式an=﹣10+2(n﹣1)=2n﹣12.
(2)Sn==n(n﹣12)=n2﹣12n=(n﹣6)2﹣36,
∴当n=6时,Sn取得最小值,
最小值为﹣36,此时相应的n=6;
(3)∵b2=a8=4,b1+b2+b3=a13=14,
∴b1+b3=14﹣4=10,
设公比为q,
则,
则=,
即2q2﹣5q+2=0,
解得q=2或q=.
若q=2,则q+q4+q7+…+q3n+4===(8n+2﹣1),
若q=,则q+q4+q7+…+q3n+4===[1﹣()n+2].
【知识点】等差数列的前n项和
22.已知数列{an}满足an+2+an=2an+1(n∈N**),数列{bn}满足(n∈N)*),且a1=b1,a3=5,a5+a7=22.
(1)求an及bn;
(2)令cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和Sn.
【解答】解:(1)由数列{an}满足an+2+an=2an+1(n∈N**),
可得{an}等差数列,设公差为d,
数列{bn}满足=d,
即{bn}等比数列,
由题有可得,
即有an=2n﹣1;
由=2,而b1=a1=1,可得bn=2n﹣1;
(2)cn=anbn=(2n﹣1)•2n﹣1,
则前n项和Sn=1•1+3•2+5•22+…+(2n﹣1)•2n﹣1,
2Sn=1•2+3•22+5•23+…+(2n﹣1)•2n,
两式相减,得﹣Sn=1+2(2+22+…+2n﹣1)﹣(2n﹣1)•2n
=1+2•﹣(2n﹣1)•2n,
化简可得Sn=3+(2n﹣3)•2n.
【知识点】等比数列的性质、数列的求和
23.已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx(a∈R).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)求证:若f(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立,则a=1;
(3)设a<0,对任意的0<x1<x2≤1,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤4()成立,求实数a的取值范围.
【解答】解:(1)∵f'(x)=1﹣=(x>0),
若a≤0,则f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增,原函数无极值;
若a>0,则当x∈(0,a)时,f′(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数,
则f(x)的极小值为f(a)=a﹣1﹣alna;
证明:(2)由(1)知,当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
而f(1)=0,∴当x∈(0,1)时,f(x)<0,与f(x)≥0恒成立相矛盾,
∴a≤0不满足题意;
当a>0时,函数f(x)在(a,+∞)上是增函数,在(0,a)上是减函数,
∴f(x)≥f(a)=a﹣1﹣alna
∵f(1)=0,∴当a≠1时,f(a)<f(1)=0,此时与f(x)≥0恒成立相矛盾.
∴a=1;
解:(3)由(2)可知,
当a<0时,函数f(x)在(0,1]上是增函数,又函数y=在(0,1]上是减函数,
不妨设0<x1≤x2≤1,
则|f(x1)﹣f(x2)|=f(x2)﹣f(x1),
∴|f(x1)﹣f(x2)|≤4|﹣|,即f(x2)+4×≤f(x1)+4×.
设h(x)=f(x)+=x﹣1﹣alnx+,
则|f(x1)﹣f(x2)|≤4||等价于函数h(x)在区间(0,1]上是减函数.
∵h'(x)=1﹣=,∴x2﹣ax﹣4≤0在(0,1]上恒成立,
即a≥x﹣在(0,1]上恒成立,即a不小于y=x﹣在(0,1]内的最大值.
而函数y=x﹣在(0,1]是增函数,∴y=x﹣的最大值为﹣3.
∴a≥﹣3,
又a<0,∴a∈[﹣3,0).
【知识点】利用导数研究函数的最值、利用导数研究函数的极值
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