初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明精品课后练习题

这是一份初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明精品课后练习题，共17页。试卷主要包含了5 相似三角形判定定理的证明，5，，5）×3÷2＝3，75cm2．等内容，欢迎下载使用。

一．选择题


1．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（ ）





A．B．C．D．


2．如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（ ）





A．21B．28C．34D．42


3．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（ ）





A．2aB．aC．3aD．a


4．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）





A．15B．20C．25D．30


5．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：


①△ANH≌△GNF；


②∠AFN＝∠HFG；


③FN＝2NK；


④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个


6．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD＝AB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD＝AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE，其中正确的个数有（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个


二．填空题


7．如图，在△ABC中，D是AB中点，DE∥BC，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为 ．





8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E．若AC＝8，BC＝6，则线段DE的长度为 ．





9．把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连结BE交AC于点F．则＝ ．





10．已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为 ．





11．如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C，D．AC与BD相交于点E，CD2＝CE•CA，分别延长AB，DC相交于点P，PB＝BO，CD＝2．则BO的长是 ．








12．如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ．





13．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，AF与CE相交于点G，BG与AC相交于点H．下列结论：①△ACF≌△CDE；②CG2＝GH•BG；③若DF＝2CF，则CE＝7GF；④S四边形ABCG＝BG2．其中正确的结论有 ．（只填序号即可）





三．解答题


14．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．


（1）求证：BF＝CF；


（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．





15．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．


（1）求证：BD2＝AD•CD；


（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．





16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线EG与⊙O相切于点E，EG∥BC，连接AE交BC于点D．


（1）求证：AE平分∠BAC；


（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，且DE＝3，DF＝2，求AF的长．





17．如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．


（1）求证：直线CD是⊙O的切线．


（2）求证：CD•BE＝AD•DE．








参考答案


一．选择题


1．解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，


∴点O为线段BD的中点．


又∵点E是CD的中点，


∴线段OE为△DBC的中位线，


∴OE∥BC，OE＝BC，


∴△DOE∽△DBC，


∴＝（）2＝．


故选：B．


2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AB∥CF，AB＝CD，


∴△ABE∽△DFE，


∴，


∵DE＝3，DF＝4，


∴AE＝6，AB＝8，


∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，


∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．


故选：C．


3．解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，


∴△ACD∽△BCA，


∴＝（）2，即＝，


解得，△BCA的面积为4a，


∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，


故选：C．


4．解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，


∵四边EFGH是正方形，


∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，


∴△AEF∽△ABC，


∵AD是△ABC的高，


∴∠HDN＝90°，


∴四边形EHDN是矩形，


∴DN＝EH＝x，


∵△AEF∽△ABC，


∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），


∵BC＝120，AD＝60，


∴AN＝60﹣x，


∴＝，


解得：x＝40，


∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．


故选：B．


5．解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，


∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，


∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，


∴AD＝4，AH＝2，


∠BAD＝90°，


∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，


∵∠ANH＝∠GNF，


∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；


∴∠AHN＝∠HFG，


∵AG＝FG＝2＝AH，


∴AF＝FG＝AH，


∴∠AFH≠∠AHF，


∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；


∵△ANH≌△GNF，


∴AN＝AG＝1，


∵GM＝BC＝4，


∴＝＝2，


∵∠HAN＝∠AGM＝90°，


∴△AHN∽△GMA，


∴∠AHN＝∠AMG，


∵AD∥GM，


∴∠HAK＝∠AMG，


∴∠AHK＝∠HAK，


∴AK＝HK，


∴AK＝HK＝NK，


∵FN＝HN，


∴FN＝2NK；故③正确；


∵延长FG交DC于M，


∴四边形ADMG是矩形，


∴DM＝AG＝2，


∵S△AFN＝AN•FG＝2×1＝1，S△ADM＝AD•DM＝×4×2＝4，


∴S△AFN：S△ADM＝1：4故④正确，


故选：C．





6．解：∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ADC＝120°，DE平分∠ADC，


∴∠ADE＝∠DAE＝60°＝∠AED，


∴△ADE是等边三角形，


∴AD＝AE＝AB，


∴E是AB的中点，


∴DE＝BE，


∴∠BDE＝∠AED＝30°，


∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，


∴S▱ABCD＝AD•BD，故①正确；


∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，


∴∠CDB＝∠BDE，


∴DB平分∠CDE，故②正确；


∵Rt△AOD中，AO＞AD，


∴AO＞DE，故③错误；


∵O是BD的中点，E是AB的中点，


∴OE是△ABD的中位线，


∴OE∥AD，OE＝AD，


∴△OEF∽△ADF，


∴S△ADF＝4S△OEF，且AF＝2OF，


∴S△AEF＝2S△OEF，


∴S△ADE＝6S△OFE，故④错误；


故选：B．





二．填空题


7．解：∵DE∥BC，


∴△ADE∽△ABC，


∵D是AB的中点，


∴＝，


∴＝


∵△ADE的周长为6，


∴△ABC的周长为12，


故答案为：12．


8．解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，


∴AB＝＝＝10，


∵DE垂直平分AB，


∴∠DEA＝90°，AE＝＝5，


∴∠DEA＝∠C，


又∵∠A＝∠A，


∴△AED∽△ACB，


∴，


即


∴DE＝．


故答案为：．


9．解：连接CE，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，E是AD的中点，


∴AC＝AD，CE＝AD＝AE，


∴∠ACE＝∠CAE＝30°


∵∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，


∴AB＝AC＝AD，∠BAC＝∠ACE，


∴AB∥CE，


∴△ABF∽△CEF，


∴，


∴，





故答案为．


10．解：对角线所分得的三个三角形相似，


根据相似的性质可知＝，


解得x＝2.5，


即阴影梯形的上底就是3﹣2.5＝0.5（cm）．


再根据相似的性质可知＝，


解得：y＝1，


所以梯形的下底就是3﹣1＝2（cm），


所以阴影梯形的面积是（2+0.5）×3÷2＝3.75（cm2）．


故答案为：3.75cm2．





11．解：连结OC，如图，





∵CD2＝CE•CA，


∴，


而∠ACD＝∠DCE，


∴△CAD∽△CDE，


∴∠CAD＝∠CDE，


∵∠CAD＝∠CBD，


∴∠CDB＝∠CBD，


∴BC＝DC；


设⊙O的半径为r，


∵CD＝CB，


∴，


∴∠BOC＝∠BAD，


∴OC∥AD，


∴，


∴PC＝2CD＝4，


∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，


∴△PCB∽△PAD，


∴，即，


∴r＝4（负根已经舍弃），


∴OB＝4，


故答案为4．


12．解：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，


∴∠BEP＝∠CPQ．


又∠B＝∠C＝90°，


∴△BPE∽△CQP．


∴．


设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．


∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），


整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，


所以当x＝6时，y有最大值为4．


故答案为4．


13．解：∵ABCD为菱形，


∴AD＝CD，


∵AE＝DF，


∴DE＝CF，


∵∠ADC＝60°，


∴△ACD为等边三角形，


∴∠D＝∠ACD＝60°，AC＝CD，


∴△ACF≌△CDE（SAS），故①正确；


过点F作FP∥AD，交CE于P点．


∵DF＝2CF，


∴FP：DE＝CF：CD＝1：3，


∵DE＝CF，AD＝CD，


∴AE＝2DE，


∴FP：AE＝1：6＝FG：AG，


∴AG＝6FG，


∴CE＝AF＝7GF，故③正确；


过点B作BM⊥AG于M，BN⊥GC于N，


∵∠AGE＝∠ACG+∠CAF＝∠ACG+∠GCF＝60°＝∠ABC，


即∠AGC+∠ABC＝180°，


∴点A、B、C、G四点共圆，


∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∠CGB＝∠CAB＝60°，


∴∠AGB＝∠CGB＝60°，


∴BM＝BN，又AB＝BC，


∴△ABM≌△CBN（HL），


∴S四边形ABCG＝S四边形BMGN，


∵∠BGM＝60°，


∴GM＝BG，BM＝BG，


∴S四边形BMGN＝2S△BMG＝2××＝BG2，故④正确；


∵∠CGB＝∠ACB＝60°，∠CBG＝∠HBC，


∴△BCH∽△BGC，


∴，


则BG•BH＝BC2，


则BG•（BG﹣GH）＝BC2，


则BG2﹣BG•GH＝BC2，


则GH•BG＝BG2﹣BC2，


当∠BCG＝90°时，BG2﹣BC2＝CG2，此时GH•BG＝CG2，


而题中∠BCG未必等于90°，故②不成立，


故正确的结论有①③④，


故答案为：①③④．





三．解答题


14．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AD∥BC，AD＝BC，


∴△EBF∽△EAD，


∴＝＝，


∴BF＝AD＝BC，


∴BF＝CF；


（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AD∥CF，


∴△FGC∽△DGA，


∴＝，即＝，


解得，FG＝2．


15．证明：（1）∵DB平分∠ADC，


∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，


∴△ABD∽△BCD


∴


∴BD2＝AD•CD


（2）∵BM∥CD


∴∠MBD＝∠BDC


∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°


∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA


∴BM＝MD＝AM＝4


∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，


∴BD2＝48，


∴BC2＝BD2﹣CD2＝12


∴MC2＝MB2+BC2＝28


∴MC＝2


∵BM∥CD


∴△MNB∽△CND


∴，且MC＝2


∴MN＝





16．解：（1）连接OE．


∵直线EG与⊙O相切于E，


∴OE⊥EG，


∵EG∥BC，


∴OE⊥BC，


∴，


∴∠BAE＝∠CAE．


∴AE平分∠BAC；





（2）如图，∵AE平分∠BAC，


∴∠1＝∠4，


∵∠1＝∠5，


∴∠4＝∠5，


∵BF平分∠ABC，


∴∠2＝∠3，


∵∠6＝∠3+∠4＝∠2+∠5，即∠6＝∠EBF，


∴EB＝EF，


∵DE＝3，DF＝2，


∴BE＝EF＝DE+DF＝5，


∵∠5＝∠4，∠BED＝∠AEB，


∴△EBD∽△EAB，


∴，即，


∴AE＝，


∴AF＝AE﹣EF＝．





17．证明：（1）连接OD，


∵AD平分∠BAC，


∴∠CAD＝∠BAD，


∵OA＝OD，


∴∠BAD＝∠ADO，


∴∠CAD＝∠ADO，


∴AC∥OD，


∵CD⊥AC，


∴CD⊥OD，


∴直线CD是⊙O的切线；


（2）连接BD，


∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，


∴∠ABE＝∠BDE＝90°，


∵CD⊥AC，


∴∠C＝∠BDE＝90°，


∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，


∴△ACD∽△BDE，


∴＝，


∴CD•BE＝AD•DE．