人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试优秀练习

这是一份人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试优秀练习，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12道小题）


1. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是( )





A．(2,4) B．(－1，－2)


C．(－2，－4) D．(－2，－1)





2. （2020·内江）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（ ）





A. 30B. 25C. 22．5D. 20





3. （2020·重庆B卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA:OD=1:2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）


A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:5








4. （2020·绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2︰5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（ ）





A．20cmB．10cmC．8cmD．3.2cm





5. （2020·铜仁）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（ ）


A．3B．2C．4D．5





6. （2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）





A．15B．20C．25D．30





7. (2019•贺州)如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于





A．5B．6


C．7D．8





8. (2019•贵港)如图，在中，点，分别在，边上，，，若，，则线段的长为





A．B．


C．D．5





9. (2019•重庆)下列命题是真命题的是


A．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3


B．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9


C．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3


D．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9





10. （2020·云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（ ）





A．B．C．D．





11. （2020•丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（ ）





A．1B．2C．5D．





12. （2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）





A．B．5C．D．10





二、填空题（本大题共7道小题）


13. (2019•百色)如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若点，


，，，则的面积为__________．








14. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ▲ ．








15. (2019•永州)如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2=__________．








16. (2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是______．





17. (2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为__________．








18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4， CD⊥AB，垂足为D， E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_________．








19. (2019•泸州)如图，在等腰中，，，点在边上，，点在边上，，垂足为，则长为__________．








三、解答题（本大题共5道小题）


20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2：


(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；


(2)以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2.




















21. 如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G.


(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；


(2)请连接FG，如果α＝45°，AB＝4eq \r(2)，AF＝3，求FG的长．




















22. 已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形．


(1)求证：△DFB是等腰三角形；


(2)若DA＝eq \r(7)AF，求证CF⊥AB.




















23. (2019•广东)如图，在中，点是边上的一点．





(1)请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；(不要求写作法，保留作图痕迹)


(2)在(1)的条件下，若，求的值．

















24. （2020·南京）如图，在△ABC和△A’B’C’中，D、D’分别是AB、A’B’上一点，＝.





(1)当＝＝时，求证：△ABC∽△A’B’C’.


证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.





(2)当＝＝时，判断△ABC与△A’B’C’是否相似，并说明理由.

















人教版 九年级数学 第27章 相似 综合训练-答案


一、选择题（本大题共12道小题）


1. 【答案】C 解析：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以－2，故点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是(－2，－4)．





2. 【答案】 D


【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．


根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20，因此本题选D．








3. 【答案】C


【解析】本题考查了相似三角形的性质， ∵△ABC与△DEF位似，且，∴，因此本题选C．





4. 【答案】A


【解析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形的对应边之比等于相似比，所以8︰（投影三角形的对应边长）=2︰5，则投影三角形的对应边长是20 cm．因此本题选A．





5. 【答案】A【解析】相似三角形的周长之比等于相似比，所以△FHB和△EAD的相似比为30∶15=2∶1，所以FH∶EA=2∶1，即6∶EA=2∶1，解得EA=3.因此本题选A．





6. 【答案】 B


【解析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，


∵四边EFGH是正方形，


∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，


∴△AEF∽△ABC，


∵AD是△ABC的高，


∴∠HDN＝90°，


∴四边形EHDN是矩形，


∴DN＝EH＝x，


∵△AEF∽△ABC，


∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），


∵BC＝120，AD＝60，


∴AN＝60﹣x，


∴，


解得：x＝40，


∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．因此本题选B．





7. 【答案】B


【解析】∵，∴，


∴，即，解得：，故选B．





8. 【答案】C


【解析】设，，∴，


∵，∴，


∴，∴，


∴，，


∵，，∴，


∵，∴，


∴，


设，，∴，


∴，∴，∴，


故选C．





9. 【答案】B


【解析】A、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；


B、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；


C、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；


D、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题，


故选B．





10. 【答案】 B．


【解析】利用平行四边形的性质可得出点O为线段BD的中点，结合点E是CD的中点可得出线段OE为△DBC的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE∥BC，OE＝BC，进而可得出△DOE∽△DBC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO与△BCD的面积的比为1：4．





11. 【答案】C


【解析】∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，


∵∠BGP＝∠BG＝90°，BG＝BG，∴△BPG≌△BCG，∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，


∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FGx.∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，


∴BG＝xx，∴BC2＝BG2+CG2，


∴，因此本题选D．





12. 【答案】A


【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H．





又因为DF⊥BC，所以DF∥AH∥EG，四边形DEGF是矩形．所以△BDF∽△BAH，DF＝EG，所以＝，因为D为AB中点，所以＝，所以＝．设DF＝EG＝x，则AH＝2x．因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因为EG⊥BC，所以∠C＋∠CEG＝90°，所以∠B＝∠CEG，又因为∠BHA＝∠CGE＝90°，AB＝CE，所以△ABH≌△CEG，所以CG＝AH＝2x．同理可证△BDF∽△ECG，所以＝，因为BD＝AB＝CE，所以＝EG＝x．在Rt△BDF中，由勾股定理得BD＝＝＝x，所以AD＝x，所以CE＝AB＝2AD＝x．因为DE∥BC，所以＝＝，所以AE＝AC＝CE＝x．


在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝＝x．因△DEF的面积为1，所以DE·DF＝1，即×x·x＝1，解得x＝，所以DE＝×＝，因为AD＝BD，AE＝CE，所以BC＝2DE＝，因此本题选D．





二、填空题（本大题共7道小题）


13. 【答案】18


【解析】∵与是以坐标原点为位似中心的位似图形，


若点，，∴位似比为，


∵，，


∴，


∴的面积为：，


故答案为：18．





14. 【答案】


【解析】由图形易证△ABC与△DEF相似，且相似比为，所以周长比为．故答案为：．





15. 【答案】


【解析】∵点F是△ABC的重心，∴BF=2EF，∴BE=3EF，


∵FG∥BC，∴△EFG∽△EBC，


∴，()2，


∴S1∶S2，故答案为：．





16. 【答案】(－4，－8)或(4，8)


【解析】∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，∴△A1B1C1和△ABC的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．





17. 【答案】或


【解析】∵点在矩形的内部，且是等腰三角形，


∴点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上；


①当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，如图1所示，





∵，，


∴，


∴∽，


∵四边形是矩形，点的坐标为，


∴点横坐标为﹣4，，，，


∵∽，


∴，即，


解得：，


∴点．


②点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，


过点作于，如图2所示，





∵，∴，


∴∽，


∵四边形是矩形，点的坐标为，


∴，，，


∴，∴，


∵∽，


∴，即：，


解得：，，


∴，


∴点，


综上所述：点的坐标为：或，


故答案为：或．





18. 【答案】


【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．已知∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4，由勾股定理，得AB＝5．CD⊥AB，由三角形的面积，得CD＝＝．易得△ABC∽△ACD∽△CBD，由相似三角形对应边成比例，得AD＝＝，BD＝＝．过点E作EG∥AB交CD于点G，由平行线分线段成比例，得DG＝CD＝，EG＝，所以，即，所以DF＝，故答案为．








19. 【答案】


【解析】如图，过作于，则∠AHD=90°，





∵在等腰中，，，


∴，，


∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠CAD，


∴，


∴CH=AC–AH=15–DH，


∵，∴，


又∵∠ANH=∠DNF，∴，


∴，∴，


∵，CE+BE=BC=15，∴，


∴，


∴，


∴，故答案为：．





三、解答题（本大题共5道小题）


20. 【答案】


解：(1)正确图形如解图．


(2)正确图形如解图．





解图





21. 【答案】


解：(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM等．(写出两对即可)


以下证明△AMF∽△BGM.


由题知∠A＝∠B＝∠DME＝α，而∠AFM＝∠DME＋∠E，


∠BMG＝∠A＋∠E，∴∠AFM＝∠BMG，∴△AMF∽△BGM.


(2)当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC，∵M为AB中点，


∴AM＝BM＝2eq \r(2).


由△AMF∽△BGM得，AF·BG＝AM·BM，∴BG＝eq \f(8,3).


又AC＝BC＝4eq \r(2)cs45°＝4，∴CG＝4－eq \f(8,3)＝eq \f(4,3)，CF＝4－3＝1，∴FG＝eq \r(（\f(4,3)）2＋12)＝eq \f(5,3).





22. 【答案】


(1)证明：∵AB为直径，


∴∠ACB＝90°，


∵△AEF是等边三角形，


∴∠EAF＝∠EFA＝60°，


∴∠ABC＝30°，


∴∠FDB＝∠EFA－∠B＝60°－30°＝30°，(2分)


∴∠ABC＝∠FDB，


∴FB＝FD，


∴△BDF是等腰三角形．(3分)


(2)解：设AF＝a，则AD＝eq \r(7)a，





解图


如解图，连接OC，则△AOC是等边三角形，


由(1)得，BF＝2－a＝DF，


∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a，


在Rt△ADC中，DC＝eq \r(（\r(7)a）2－1)＝eq \r(7a2－1)，


在Rt△DCE中，tan30°＝eq \f(CE,DC)＝eq \f(1－a,\r(7a2－1))＝eq \f(\r(3),3)，


解得a＝－2(舍去)或a＝eq \f(1,2)，(5分)


∴AF＝eq \f(1,2)，


在△CAF和△BAC中，


eq \f(CA,AF)＝eq \f(BA,AC)＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°，


∴△CAF∽△BAC，


∴∠CFA＝∠ACB＝90°，


即CF⊥AB.(6分)





23. 【答案】


(1)如图所示：





(2)∵，


∴．


∴．





24. 【答案】


解：(1) ＝＝ ∠A＝∠A’.


(2)如图，过点D、D’分别作DE∥BC，D’E’∥B’C’,DE交AC于点E，D’E’交A’C’于点E’.





∵DE∥BC，


∴△ADE∽△ABC.


∴＝＝.


同理＝＝.


又＝，


∴＝，


∴＝.


同理 ＝.


∴＝，即＝.


∴＝.


又＝＝，


∴＝＝，


∴△DCE∽△D’C’E’.


∴∠CED＝∠C’E’D’.


∵DE∥BC，


∴∠CED＋∠ACB＝180°.


同理 ∠C’E’D’＋∠A’C’B’＝180°.


∴∠ACB＝∠A’C’B’.


又＝


∴△ABC∽△A’B’C’.