北师大版八年级（下）期末数学试卷解析版

北师大版八年级（下）期末数学试卷
一、选择题
1．（3分）区环卫科正开展“垃圾分类”知识宣传活动，下列图标（不包含文字）是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x＝1 C．x≠﹣1 D．x＝﹣1
3．（3分）已知a＜b，下列式子不成立的是（　　）
A．a+1＜b+1 B．3a＜3b
C．﹣2a＞﹣2b D．如果c＜0，那么＜
4．（3分）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（　　）
A．a（x+y）＝ax+ay
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
5．（3分）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
6．（3分）如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．若OD＝8，OP＝10，则PE的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
7．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（3分）等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．（3分）化简的结果为（　　）
A．﹣ B．﹣y C． D．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（　　）

A．60° B．70° C．75° D．80°
二.填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）当实数a＜0时，6+a　 　6﹣a（填“＜”或“＞”）．
12．（4分）因式分解：1﹣2x+x2＝　 　．
13．（4分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：　 　．
14．（4分）已知△ABC的各边长度分别为3cm、4cm、5cm，则连结各边中点的三角形的周长为　 　．
15．（4分）点A（3，4）向上平移2个单位，再向左平移3个单位后与点B重合，那么点B的坐标为　 　．
16．（4分）已知：x+＝3，则x2+＝　 　．
17．（4分）如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转30°得到Rt△AED，AB与DE交于点F，则△ADF的面积为　 　．

三.解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．
19．（6分）先化简再求值（1﹣）÷，其中x＝．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．

四.解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，方格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．现将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A1B1C1，请在方格上画出△A1B1C1，并求出线段A1C的长．

22．（8分）为改善生态环境，防止水土流失，某村拟在荒坡地上种植960棵树，由于青年团员的支援，每日比原计划多种20棵，结果在时间相同的情况下多种了240棵树，原计划每天种植多少棵树？
23．（8分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

五.解答题（三）（本答题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）三水某工厂最近准备复工复产，需要面向社会招聘A，B两个工种的工人共150人．现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，且B工种的人数比A工种人数多出的数量不超过54人．请回答以下问题：
（1）若设A工种工人人数为x，那么B工种工人人数为　 　；
（2）请利用不等式的知识求出招聘的所有方案；
（3）若A，B两个工种的工人的月工资分别是5000和8000元，怎样招聘可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额是多少？
25．（10分）如图①所示，△ABC是等边三角形，点D和点E分别在边AB和AC上（D，E均不在所在线段的端点上），且AD＝AE，点M，P，N分别是线段DE，DC，BC上的中点，连接PM，PN．
（1）请说明PM＝PN．并求出∠MPN的大小；
（2）把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN的最大面积．



参考答案
一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的请把答题卡.上对应题目所选的选项涂黑.每小题3分，共30分）
1．（3分）区环卫科正开展“垃圾分类”知识宣传活动，下列图标（不包含文字）是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、C、D都不是中心对称图形，B是中心对称图形．
故选：B．
2．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x＝1 C．x≠﹣1 D．x＝﹣1
解：根据题意可得x﹣1≠0；
解得x≠1；
故选：A．
3．（3分）已知a＜b，下列式子不成立的是（　　）
A．a+1＜b+1 B．3a＜3b
C．﹣2a＞﹣2b D．如果c＜0，那么＜
解：A、不等式两边同时加上1，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
B、不等式两边同时乘以3，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
C、不等式两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，故本选项正确，不符合题意；
D、不等式两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
4．（3分）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（　　）
A．a（x+y）＝ax+ay
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
解：A、是多项式乘法，故选项错误；
B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故选项错误；
C、提公因式法，故选项正确；
D、右边不是积的形式，故选项错误．
故选：C．
5．（3分）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
解：①当3为底时，其它两边都为6，
3、6、6可以构成三角形，
周长为15；
②当3为腰时，
其它两边为3和6，
∵3+3＝6＝6，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有15．
故选：B．
6．（3分）如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．若OD＝8，OP＝10，则PE的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
解：∵PD⊥OA，
∴∠PDO＝90°，
∵OD＝8，OP＝10，
∴PD＝＝6，
∵∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD＝6．
故选：B．
7．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360，
解得：n＝6．
即这个多边形为六边形．
故选：C．
8．（3分）等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
解：如图，
∵等边三角形ABC，AD、BE分别是中线，
∴AD、BE分别是角平分线，
∴∠1＝∠2＝∠ABC＝30°，
∴∠3＝∠1+∠2＝60°．
故选：D．

9．（3分）化简的结果为（　　）
A．﹣ B．﹣y C． D．
解：＝＝，
故选：D．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（　　）

A．60° B．70° C．75° D．80°
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
而BD为∠ABC的平分线，
∴∠DBC＝×70°＝35°，
∴∠BDC＝180°﹣70°﹣35°＝75°．
故选：C．
二.填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）当实数a＜0时，6+a　＜　6﹣a（填“＜”或“＞”）．
解：∵a＜0，
∴a＜﹣a，
在不等式两边同时加上6，得：6+a＜6﹣a．
故答案是：＜．
12．（4分）因式分解：1﹣2x+x2＝　（x﹣1）2　．
解：1﹣2x+x2＝（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2．
13．（4分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：　如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形　．
解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，
所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．
14．（4分）已知△ABC的各边长度分别为3cm、4cm、5cm，则连结各边中点的三角形的周长为　6cm　．
解：∵△ABC的各边长度分别为3cm、4cm、5cm，
∴连结各边中点的三角形的周长＝（3+4+5）＝6cm．
故答案为：6cm．
15．（4分）点A（3，4）向上平移2个单位，再向左平移3个单位后与点B重合，那么点B的坐标为　（0，6）　．
解：点P（3，4）向上平移2个单位，向左平移3个单位，得到点P'的坐标是（3﹣3，4+2），
即（0，6），
故答案为：（0，6）．
16．（4分）已知：x+＝3，则x2+＝　7　．
解：∵x+＝3，
∴（x+）2＝x2+2+＝9，
∴x2+＝7，
故答案为：7．
17．（4分）如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转30°得到Rt△AED，AB与DE交于点F，则△ADF的面积为　﹣1　．

解：如图，过点F作FN⊥AD于N，

∵∠C＝90°，AC＝BC＝，
∴AB＝AC＝2，∠CAB＝∠B＝45°，
∵将Rt△ABC绕点A顺时针旋转30°得到Rt△AED，
∴∠DAB＝30°，∠D＝∠B＝45°，AD＝AB＝2，
又∵FN⊥AD，
∴AN＝FN，DN＝FN，
∵AD＝AN+DN＝2，
∴FN+FN＝2，
∴FN＝﹣1，
∵△ADF的面积＝×AD×NF＝×2×（﹣1），
∴△ADF的面积＝﹣1，
故答案为：﹣1．
三.解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．
解：解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，
解不等式＞，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
所以不等式组的整数解为0、1．
19．（6分）先化简再求值（1﹣）÷，其中x＝．
解：原式＝×＝，
当x＝时，原式＝．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴ED＝BF，
又∵AD∥BC，
∴四边形BFDE是平行四边形．
四.解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，方格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．现将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A1B1C1，请在方格上画出△A1B1C1，并求出线段A1C的长．

解：如图所示：

线段A1C的长＝＝2．
22．（8分）为改善生态环境，防止水土流失，某村拟在荒坡地上种植960棵树，由于青年团员的支援，每日比原计划多种20棵，结果在时间相同的情况下多种了240棵树，原计划每天种植多少棵树？
解：设原计划每天种植x棵树，则实际每天种（x+20）棵树，
由题意可得：，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，并符合题意，
答：原计划每天种植80棵树．
23．（8分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC＝EF；

（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
五.解答题（三）（本答题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）三水某工厂最近准备复工复产，需要面向社会招聘A，B两个工种的工人共150人．现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，且B工种的人数比A工种人数多出的数量不超过54人．请回答以下问题：
（1）若设A工种工人人数为x，那么B工种工人人数为　（150﹣x）人　；
（2）请利用不等式的知识求出招聘的所有方案；
（3）若A，B两个工种的工人的月工资分别是5000和8000元，怎样招聘可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额是多少？
解：（1）∵A工种工人人数为x，A，B两个工种的工人共150人，
∴B工种工人人数为（150﹣x）（人），
故答案为：（150﹣x）人；
（2）由题意可得，
解得：48≤x≤50，
∵x为整数，
∴x＝48或49或50，
∴方案一、招聘A工种工人人数为48人，B工种工人人数为102人，方案二、招聘A工种工人人数为49人，B工种工人人数为101人，方案三、招聘A工种工人人数为50人，B工种工人人数为100人；
（3）方案一、工资总额＝5000×48+8000×102＝1056000元，
方案二、工资总额＝5000×49+8000×101＝1053000元，
方案三、工资总额＝5000×50+8000×100＝1050000元，
答：招聘招聘A工种工人人数为50人，B工种工人人数为100时，工资总额最少，最少工资总额是1050000元．
25．（10分）如图①所示，△ABC是等边三角形，点D和点E分别在边AB和AC上（D，E均不在所在线段的端点上），且AD＝AE，点M，P，N分别是线段DE，DC，BC上的中点，连接PM，PN．
（1）请说明PM＝PN．并求出∠MPN的大小；
（2）把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN的最大面积．

解：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠A＝60°，
∵AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝CE，
∵M，P，N分别是DE，DC，BC的中点，
∴MP＝EC，PM∥EC，PN＝BD，PN∥BD，
∴PM＝PN，∠MPD＝∠ACD，∠NPD＝∠ADC，
在△ACD中，∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A＝120°，
∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝120°．

（2）结论：△PMN是等腰三角形．
理由：如图2中，

∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∵DM＝ME，DP＝PC，BN＝NC，
∴MP＝EC，PM∥EC，PN＝BD，PN∥BD，
∴MP＝PN，
∴△PMN是等腰三角形．

（3）如图2中，∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵PM∥EC，
∴∠MPD＝∠DCE，
∵PN∥DB，
∴∠PNC＝∠DBC，
∴∠MPN＝∠APM+∠DPN＝∠DCE+∠PNC+∠PCN＝∠ACD+∠ACE+∠DBC+∠PCN＝∠ACD+∠PCN+∠ABD+∠CBD＝∠ACB+∠ABC＝120°，
∴△PMN是顶角为120°等腰三角形，
∵BD≤AB+AD，
∴BD≤14，
∴BD的最大值为14，
∴PN的最大值为7，
如图2中，过点N作NJ⊥MP交MP的延长线于J，则NJ＝PN•sin60°＝7×＝，
∴△PMN的面积的最大值＝•PM•NJ＝×7×＝．