2020年中考数学真题分类汇编03：方程组

2020年中考数学试题分类汇编之三
方程（方程）组
一、 选择题
5．（2020安徽）（4分）下列方程中，有两个相等实数根的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、△，有两个相等实数根；
、△，没有实数根；
、△，有两个不相等实数根；
、△，有两个不相等实数根．
故选：．
9．（2020广州）直线不经过第二象限，则关于x的方程实数解的个数是（ * ）．
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）1个或2个
【答案】D
7．(2020天津)方程组，的解是（ ）
A． B． C． D．
答案:A
7.（2020河南）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
【答案】A
【详解】解：根据定义得：

＞
原方程有两个不相等的实数根，
故选
8.（2020河南）国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由0亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【详解】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，
∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元
∴可列方程：，
故选D．
5．（2020南京）（2分）关于的方程为常数）的根的情况，下列结论中正确的是　　
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
解：关于的方程为常数），
，
△，
方程有两个不相等的实数根，
两个的积为，
一个正根，一个负根，
选：．
6.（2020四川绵阳）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 此问题中羊价为（ ）
A.160钱 .B.155钱 C. 150钱 D.145钱
【解析】本题考查列二元一次方程组解应用题。 解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：解得：．
故选：C．
8．（2020贵州黔西南）（4分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴m-1≠0△=22-4×1×(m-1)≥0，
解得：m≤2且m≠1．
故选：D．
7.（2020重庆A卷）解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解：方程两边都乘以6，得：
3（x+1）＝6﹣2x，
故选：D．
5．（2020新疆生产建设兵团）（5分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　）
A．x2﹣x+14=0 B．x2+2x+4＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2﹣2x＝0
选：D．
7.(2020甘肃定西）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A.－1或2 B.－1 C.2 D.0
答案：B
5．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（　　）
A．102里 B．126里 C．192里 D．198里
解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，
依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x＝378，
解得：x＝6．
32x＝192，
6+192＝198，
答：此人第一和第六这两天共走了198里，
故选：D．
6．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣
解：∵二次函数，y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，
则，解得：a＝﹣2，
∴关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0为﹣4x2+1＝0，
∴两根之积为，
故选：D．
9．（2020黑龙江龙东）（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买、、三种奖品，种每个10元，种每个20元，种每个30元，在种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案　　
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
解：设购买种奖品个，购买种奖品个，
当种奖品个数为1个时，
根据题意得，
整理得，
、都是正整数，，
，2，3，4，5，6，7，8；
当种奖品个数为2个时，
根据题意得，
整理得，
、都是正整数，，
，2，3，4，5，6；
有种购买方案．
故选：．
8．（2020湖南岳阳）（3分）（2020•岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（　　）
A．0＜x1x3＜1 B．x1x3＞1 C．0＜x2x4＜1 D．x2x4＞1
【解答】解：由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：

∵抛物线的对称轴为直线x=--102×(-1)=-5，
∴x3＜x1＜﹣5，
由图象可知：0＜x1x3＜1一定成立，
故选：A．
8．（2020齐齐哈尔）（（3分）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，
依题意，得：2x+3y＝30，∴y＝10-23x．
∵x，y均为正整数，∴x=3y=8，x=6y=6，x=9y=4，x=12y=2，
∴小明有4种购买方案．
故选：B．
6．（2020广西南宁）（3分）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，
∴有两个相等的实数根，故选：B．
10．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10，12，…，若最后三个数之和是3000，则n等于（　　）
A．499 B．500 C．501 D．1002
【解答】解：由题意，得第n个数为2n，
那么2n+2（n﹣1）+2（n﹣2）＝3000，解得：n＝501，
故选：C．
6．（2020贵州遵义）（4分）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．5 B．10 C．11 D．13
【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．
故选：D．
7．（2020贵州遵义）（4分）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）

A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
【解答】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝32．故选：D．
4．（2020四川自贡）（4分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（　　）
A．12 B．-12 C．1 D．﹣1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，
∴a≠0△=(-2)2-4×a×2=0，
∴a=12．
故选：A．
15．（2020青海）（3分）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（　　）

A．π×（）2x＝π×（）2×（x﹣5）
B．π×（）2x＝π×（）2×（x+5）
C．π×82x＝π×62×（x+5）
D．π×82x＝π×62×5
解：依题意，得：π×（）2x＝π×（）2×（x+5）．故选：B．
10．（2020山东滨州）（3分）对于任意实数，关于的方程的根的情况为　　
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
解：，
△，
不论为何值，，即△，
所以方程没有实数根，故选：．
8．（3分）（2020•怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2
选：C．

7．（2020山东泰安）（4分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
选：A．
8．（2020浙江宁波）（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A．y=x+4.50.5y=x-1 B．y=x+4.5y=2x-1 C．y=x-4.50.5y=x+1 D．y=x-4.5y=2x-1
选：A．




二、 填空题
10.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 .
【解析】一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式△=0，∴，解得

12（2020北京）方程组的解为 .
【解析】两个方程相加可得，∴，将代入，可得，
故答案为
14．（2020成都）（4分）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程七中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为　　．
【解答】解：设1头牛值金两，1只羊值金两，
由题意可得，，
故答案为：．
22．（2020成都）（4分）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是　　．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
△，
解得：，
故答案为：．
4．（2020黑龙江牡丹江）（3分）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为，则商店应打　8　折．
【解答】解：设商店打折，
依题意，得：，解得：．
故答案为：8．

8.（2020江西）若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为 ．
【解析】设一元二次方程的两根为，并设，根据，可得，∴另外一根为-2，故答案为-2
11．（2020南京）（2分）已知、满足方程组，则的值为　1　．
解：，
①②得：，
解得：，
①②得：，
解得：，
则，
故答案为1．
18．（2020贵州黔西南）（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了　10　个人．
解：设每轮传染中平均每人传染了x人．
依题意，得1+x+x（1+x）＝121，即（1+x）2＝121，
解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了10人．
10.（2020湖北黄冈）已知是一元二次方程的两根，则____________．
解：∵一元二次方程x2−2x−1＝0的两根为x1，x2，
∴x1x2＝-1，∴-1．故答案为：-1．
16.（2020无锡）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子最井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是___________尺．
解：设绳长x尺，
由题意得x-4=x-1，解得x=36，
井深：×36-4=8（尺），
故答案为：8．
18.（2020重庆A卷）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是__________．
解：设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3k，5k，2k，7月份总增加的营业额为m，则7月份摆摊增加的营业额为m，设7月份外卖还需增加的营业额为x．
∵7月份摆摊的营业额是总营业额的，且7月份的堂食、外卖营业额之比为8：5，
∴7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为8：5：7，
∴设7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为8a，5a，7a，
由题意可知： ，解得： ，
∴，
故答案为：．
10．（2020上海）（4分）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是　4　．
【解答】解：依题意，
∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，
故答案为：4．
18.（2020重庆B卷）为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动.活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元.商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为:第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍,摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍,摸到绿球次数为第一时段的2倍,三个时段返现总金额为2510元,第三时段返现金额比第一时段多420元,则第二时段返现金额为____元
解析：设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，4b，2c.由题意得250a+210b+70c=2510 50a+120b+20c-50a+30b+10c=420，即25a+21b+7c=2519b+c=42 ，其整数解为a=42n-37 b=25n-21 c=231-225n(其中n为整数)，又a，b，c均是正整数，易得n=1.所以a=5b=4c=6.代入150a+60b+40c即可.答案：1230.
另解：由上9b+c=42，得知b=1，2，3，4.列举符合题意的解即可.

14．（2020四川南充）（4分）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔　10　支．
【解答】解：设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，由题意得：
7x+5y＝100，
∵x与y为整数，
∴x的最大值为10，
故答案为：10．
13.(2020甘肃定西）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动.某款式眼镜的广告如图，请你为广告牌填上原价.
原价：_________元
暑假八折优惠，现价：160元
答案：.200
13．（2020辽宁抚顺）（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是　k＜﹣1　．
9．（2020吉林）（3分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为　13　．
10．（2020吉林）（3分）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为　（240﹣150）x＝150×12　．

10．（2020江苏泰州）（3分）方程的两根为、，则的值为　　．
【解答】解：方程的两根为、，
．
故答案为：．
14．（(2020山东枣庄)4分）已知关于的一元二次方程有一个根为，则　　．
【解答】解：把代入得，解得，
，．故答案为．

15．（2020湖南岳阳）（4分）（2020•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意，可列方程组为　x+y=250x+10y=30　．
【解答】解：依题意，得：x+y=250x+10y=30．
故答案为：x+y=250x+10y=30．
14．（3分）（2020•常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是　4　次．
【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：
x+y=1015-1×10+5y=35，
整理得：x+y=105y=30，解得：x=4y=6． 故答案为：4．
16．（3分）（2020•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为　x＝2或x＝﹣1+2或x＝﹣1-2　．
【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝﹣1±2，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+2或x＝﹣1-2．
14．（3分）（2020•荆门）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为　1　．
【解答】解：设方程的两根分别为t，t+2，
根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，
把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，
整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
所以m的值为1．
故答案为1．
15．（3分）（2020•烟台）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＞0且m≠1　．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，
解得m＞0且m≠1．
故答案为：m＞0且m≠1．
14．（2020山西）（3分）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为　2　cm．

解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：
，解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，代入ab＝24中，得：
（10﹣2x）（6﹣x）＝24，
整理得：x2﹣11x+18＝0，解得x＝2或x＝9（舍去），
答；剪去的正方形的边长为2cm．
故答案为：2．
12. （2020东莞）已知方程组，则_________.
答案：7
8．（2020青海）（2分）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程　x2﹣6x+6＝0　．

14．（2020四川眉山）（4分）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则+的值为　　．
解：根据题意得x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣2， 所以+＝＝＝．
5．（2020云南）（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为　1　．
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4c＝0，解得c＝1．
故答案为1．
13．（2020山东泰安）（4分）方程组x+y=16，5x+3y=72的解是　x=12y=4　．
【解答】解：x+y=16①5x+3y=72②
②﹣3×①，得2x＝24，∴x＝12．
把x＝12代入①，得12+y＝16，∴y＝4．
∴原方程组的解为x=12y=4．
故答案为：x=12y=4．
11．（4分）（2020•株洲）关于x的方程3x﹣8＝x的解为x＝　4　．




三、 解答题
17．(2020杭州)（6分）以下是圆圆解方程x+12-x-33=1的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．
去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．


19．（2020安徽）（10分）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长，其中线上销售额增长，线下销售额增长．
（1）设2019年4月份的销售总额为元，线上销售额为元，请用含，的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；
时间
销售总额（元
线上销售额（元
线下销售额（元
2019年4月份



2020年4月份


　　
（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【解答】解：（1）与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长，
该超市2020年4月份线下销售额为元．
故答案为：．
（2）依题意，得：，
解得：，
．
答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．
22．（2020广州）（本小题满分12分）
粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9 000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50％．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
【详解过程】解：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用为：50×（1-50%）=25（万元）。
所以：明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元.
（2）设今年改装了辆无人驾驶出租车，则明年预计改装（260-)辆，由两年共投资9000万元，得：50+50×(1-50%)(260-)=9000
解这个方程，得：50+6500-25=9000
=100
∴260-=260-100=160(辆）
答：明年改装的无人驾驶出租车是160辆．
20.（2020福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，
依题意，得，
解得，则，
经检验符合题意，
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，
公司获得的总利润，
因为，所以随着的增大而增大，
又因为，
所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元，
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
25．（2020哈尔滨）（10分）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？
【解答】解：（1）设每个大地球仪元，每个小地球仪元，根据题意可得：
， 解得：，
答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；

（2）设大地球仪为台，则小地球仪为台，根据题意可得：
， 解得：，
答：最多可以购买5个大地球仪．
23.（2020河北）用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数与木板厚度（厘米）的平方成正比，当时，．
（1）求与的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为（厘米），．

①求与的函数关系式；
②为何值时，是的3倍？
【注：（1）及（2）中的①不必写的取值范围】
【答案】（1）；（2）①；②．
【详解】（1）设W=kx2,
∵时， ∴3=9k ∴k=
∴与的函数关系式为；
（2）①∵薄板的厚度为xcm，木板的厚度为6cm
∴厚板的厚度为（6-x）cm，
∴Q=
∴与的函数关系式为；
②∵是的3倍
∴-4x+12=3×
解得x1=2,x2=-6(不符题意，舍去)
经检验，x=2是原方程的解，
∴x=2时，是的3倍．
17.（2020江西） 放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元.
（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明.
【解析】（1）设笔芯元/支，笔记本元/本，依题意可得解得
答：笔芯3元/支，笔记本5元/本.
（2）方法一：合买笔芯，合算.
∵整盒购买比单只购买每支可优惠0.5元
∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯
∴共可节约：0.5×10=5元.
∵小工艺品的单价为3元，5+2＞3×2，
∴他们既能买到各自需要的文具用品，又都能购买到一个小工艺品.
方法二：合买笔芯，单算.
∵整盒购买比单支购买每支可优惠0.5元，∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯.
∴小工艺品的单价为3元，小贤：3×0.5+2=3.5＞3，小艺：7×0.5=3.5＞3
∴他们既能买到各自需要的文具用品，又都能购买到一个小工艺品.
18.（2020乐山）解二元一次方程组：
【答案】
解：，
②-①，得 ，
解得：，
把代入①，得 ；
∴原方程组的解为
23.（2020乐山）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型
每车限载人数（人）
租金（元/辆）
商务车
6
300
轿 车
4


（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
解：（1）设租用一辆轿车的租金为元．
由题意得：．
解得 ，
答：租用一辆轿车的租金为元．
（2）方法1：①若只租用商务车，∵，
∴只租用商务车应租6辆，所付租金为（元）；
②若只租用轿车，∵，
∴只租用轿车应租9辆，所付租金为（元）；
③若混和租用两种车，设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．
由题意，得
由，得 ，
∴，
∵，∴，
∴，且为整数，
∵随的增大而减小，
∴当时，有最小值，此时，
综上，租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元．
方法2：设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．
由题意，得
由，得 ，∴，
∵为整数，∴只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有：
不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为（元）；
租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为（元）；
租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为（元）；
租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为（元）；
租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金（元）；
租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为（元）；
由此可见，最佳租车方案是租用商务车辆和轿车辆，
此时所付租金最少，为元．
18．（2020南京）（7分）解方程：．
解：原方程可以变形为
，
，．
22.（2020贵阳）第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：

（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
【答案】（1）方程见解析，因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了；（2）可能是2元或者6元
解：（1）设单价为6元的钢笔买了支，则单价为10元的钢笔买了（）支，
根据题意，得，
解得：．
因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了
（2）设笔记本的单价为元，根据题意，得
，
整理，得，
因为，随的增大而增大，所以，
∵取整数，
∴．
当时，，
当时，，
所以笔记本的单价可能是2元或者6元．
19.（2020湖北黄冈）为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”．一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元．如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元．请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
解：设每盒羊角春牌绿茶x元，每盒九孔牌藕粉y元，依题意可列方程组：

解得：
20.解方程：
（2020无锡）（1）
解：（1）由方程可得a=1，b=1，c=-1，
x===；
22.（2020长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区，具体运算情况如下：

第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
1
2
B型货车的辆数（单位：辆）
3
5
累计运送货物的顿数（单位：吨）
28
50
备注：第一批、第二批每辆货车均满载



（1）求A，B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资；
（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需联系多少辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
解：（1）设A，B两种型号货车每辆满载分别能运x，y吨生活物资
依题意，得解得
∴A，B两种型号货车每辆满载分别能运10吨，6吨生活物资
（2）设还需联系m辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地
依题意，得.
解得m5.4
又m为整数，∴m最小取6
∴至少还需联系6辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
23.（2020山东青岛）实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的2个整数
1，2
1，3，
2，3
2个整数之和
3
4
5

如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
所取的2个整数
1，2
1，3，
1，4
2，3
2，4
3，4
2个整数之和
3
4
5
5
6
7

如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有______种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）
（2）从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有______种不同的结果．
【答案】探究一：（3）；（4）（，为整数）；探究二：（1）（2） ；解：探究一：
（3）如下表：
取的2个整数










2个整数之和











所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和的最小值是3，和的最大值是 所以一共有种．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表：
取的3个整数
1,2,3
1,2,4
1,3,4
2,3,4
3个整数之和
6
7
8
9

从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种，
（2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，
这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,
所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种，
从而从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，
这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是
所以一共有种，
探究三：
从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是，
所以这4个整数之和一共有5种，
从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是，
所以这4个整数之和一共有9种，
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，
这4个整数之和的最小值是10，和的最大值是，
所以一共有 种不同的结果．
归纳结论：
由探究一，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种．
探究二，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种，
探究三，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有 种不同的结果．
从而可得：
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），
一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490，
共有种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1） 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．
当 有


或
或
从1，2，3，…，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．
（2）由探究可知：从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，等同于从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，
所以：从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．
19．（2020齐齐哈尔）（（5分）解方程：x2﹣5x+6＝0
【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
24.（2020重庆A卷）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收人将增加，求a的值．
解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得
，
解得．
答：A．B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
（2）根据题意得：．
令a%=m，则方程化为：．
整理得10m2-m=0，
解得：m1=0（不合题意，舍去），m2=0.1
所以a%=0.1，所以a=10，
答：a值为10．
22．（2020上海）（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
24. （2020重庆B卷）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究.去年A、B两个品种各种植了10亩.收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元.
(1)求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
(2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收人将增加209a%，求a的值.
解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得
y=x+100 24x+24y=21600，解得x=400y=500.
答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
（2）根据题意得：24×4001+a%+241+a%×5001+2a%=21600(1+209a%).
令a%=m，则方程化为：24×4001+m+241+m×5001+2m=21600(1+209m).
整理得10m2-m=0，解得m1=0（不合题意，舍去），m2=0.1
所以a%=0.1，所以a=10，即a的值为10.
20．（2020四川南充）（10分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式1x1+1x2=k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，
解得：k≤﹣1．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．
∵1x1+1x2=k﹣2，
∴x1+x2x1x2=2k+2=k﹣2， ∴k2﹣6＝0，
解得：k1=-6，k2=6．
又∵k≤﹣1，
∴k=-6．
∴存在这样的k值，使得等式1x1+1x2=k﹣2成立，k值为-6．
21．（2020辽宁抚顺）（12分）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
解：（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，
依题意，得：70m+50（30﹣m）≤1600，
解得：m≤5．
答：学校最多可购买甲种词典5本．
22．（2020内蒙古呼和浩特）（7分）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．
已知实数x，y满足，求x2+y2的值．
解：令xy＝a，x+y＝b，则原方程组可化为：
，整理得：，
②﹣①得：11a2＝275，
解得：a2＝25，代入②可得：b＝4，
∴方程组的解为：或，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝b2﹣2a，
当a＝5时，x2+y2＝6，
当a＝﹣5时，x2+y2＝26，
因此x2+y2的值为6或26．
20．（2020宁夏）（6分）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．
（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；
（2）现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？
解：（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，
依题意，得：， 解得：．
答：A种防疫物品每件16元，B种防疫物品每件4元．
（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品（600﹣m）件，
依题意，得：16m+4（600﹣m）≤7000，
解得：m≤383，
又∵m为正整数， ∴m的最大值为383．
答：A种防疫物品最多购买383件．
24．（2020宁夏）（8分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．
（1）小丽与小明出发　30　min相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．
①求小丽和小明步行的速度各是多少？
②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．

【分析】（1）直接从图象获取信息即可；
（2）①设小丽步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2＞V1，根据图象和题意列出方程组，求解即可；
②设点C的坐标为（x，y），根据题意列出方程解出x，再根据图象求出y即可，再结合两人的运动过程解释点C的意义即可．
【解答】解：（1）由图象可得小丽与小明出发30min相遇，
故答案为：30；
（2）①设小丽步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2＞V1，
则，
解得：，
答：小丽步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；
②设点C的坐标为（x，y），
则可得方程（100+80）（x﹣30）+80（67.5﹣x）＝5400，
解得x＝54，y＝（100+80）（54﹣30）＝4320m，
∴点C（54，4320），
点C表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m．
27．（2020黑龙江龙东）（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克为正整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值．
【解答】解：（1）依题意，得：， 解得：．
答：的值为10，的值为14．
（2）依题意，得：，
解得：．
又为正整数，
可以为58，59，60，
共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜．
（3）购买方案1的总利润为（元；
购买方案2的总利润为（元；
购买方案3的总利润为（元．
，
利润最大值为520元，即售出甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
依题意，得：，
解得：．
答：的最大值为．
18．（2020江苏连云港）（6分）解方程组
【解答】解：
把②代入①，得，
解得．
把代入②，得．
原方程组的解为．
20．（2020四川遂宁）（9分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【解答】解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则3x+5y=2104x+10y=380，解得x=20y=30，
答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；

（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元，
由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），
∵﹣1＜0．故w有最大值，当x＝5时，w的最大值为265，当x＝12时，w的最小值为216，
24．（2020广西南宁）（10分）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2h共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5h共分拣垃圾8吨．
（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A型机器人a台（10≤a≤45），B型机器人b台，请用含a的代数式表示b；
（3）机器人公司的报价如下表：
型号
原价
购买数量少于30台
购买数量不少于30台
A型
20万元/台
原价购买
打九折
B型
12万元/台
原价购买
打八折
在（2）的条件下，设购买总费用为w万元，问如何购买使得总费用w最少？请说明理由．
解：（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，
由题意可知：，解得：，
答：1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨．
（2）由题意可知：0.4a+0.2b＝20，
∴b＝100﹣2a（10≤a≤45）．
（3）当10≤a＜30时，
此时40≤b≤80，
∴w＝20×a+0.8×12（100﹣2a）＝0.8a+960，
当a＝10时，此时w有最小值，w＝968万元，
当30≤a≤35时，
此时30≤b≤40，
∴w＝0.9×20a+0.8×12（100﹣2a）＝﹣1.2a+960，
当a＝35时，此时w有最小值，w＝918万元，
当35＜a≤45时，
此时10≤b＜30，
∴w＝0.9×20a+12（100﹣2a）＝﹣6a+1200
当a＝45时，
w有最小值，此时w＝930，
答：选购A型号机器人35台时，总费用w最少，此时需要918万元．
20．（6分）（2020•玉林）解方程组：x-3y=-22x+y=3．
【解答】解：x-3y=-2①2x+y=3②，
①+②×3得：7x＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝1，
则方程组的解为x=1y=1．
21．（8分）（2020•玉林）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求aa+1-1b+1的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，
解得k＞﹣1．
∴k的取值范围为k＞﹣1；
（2）由根与系数关系得a+b＝﹣2，a•b＝﹣k，
aa+1-1b+1=ab-1ab+a+b+1=-k-1-k-2+1=1．
20． （10分）（2020•徐州）（1）解方程：2x2﹣5x+3＝0；
【解答】解：（1）2x2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1=32，x2＝1；
24．（8分）（2020•徐州）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
目的地
起步价（元）
超过1千克的部分（元/千克）
上海
a
b
北京
a+3
b+4
实际收费
目的地
质量
费用（元）
上海
2
9
北京
3
22
求a，b的值．
【解答】解：依题意，得：a+(2-1)b=9a+3+(3-1)(b+4)=22，
解得：a=7b=2．
答：a的值为7，b的值为2．
22．（2020贵州遵义）（12分）为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：
时间
销售数量（个）
销售收入（元）（销售收入＝售价×销售数量）
甲种型号
乙种型号
第一月
22
8
1100
第二月
38
24
2460
（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；
（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润．
【解答】解：（1）设甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为x元、y元，
22x+8y=110030x+24y=2460，解得，x=30y=55，
答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；
（2）由题意可得，
25a+45(80-a)≤2600a≤55，
解得：50≤a≤55，
w＝（30﹣25）a+（55﹣45）（80﹣a）＝﹣5a+800，
故当a＝50时，W有最大值，最大为550，
答：第三月的最大利润为550元．
17．（2020山西）（6分）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原•乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．

解：设该电饭煲的进价为x元，则标价为（1+50%）x元，售价为80%×（1+50%）x元，
根据题意，得80%×（1+50%）x﹣128＝568，解得x＝580．
答：该电饭煲的进价为580元．
24．（2020四川眉山）（10分）“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．
（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；
（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
解：（1）设柏树的单价为x元/棵，杉树的单价是y元/棵，
根据题意得：，解得，
答：柏树的单价为200元/棵，杉树的单价是150元/棵；

（2）设购买柏树a棵，则杉树为（80﹣a）棵，购树总费用为w元，
根据题意：a≥2（80﹣a），解得，
w＝200a+150（80﹣a）＝50a+1200，
∵50＞0，∴w随a的增大而增大，
又∵a为整数，∴当a＝54时，w最小＝14700，
此时，80﹣a＝26，
即购买柏树54棵，杉树26棵时，总费用最小为14700元．
21．（2020云南）（8分）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
目的地
车型
A地（元/辆）
B地（元/辆）
大货车
900
1000
小货车
500
700
现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
解：（1）设大货车、小货车各有x与y辆，
由题意可知：，解得：，
答：大货车、小货车各有12与8辆
（2）设到A地的大货车有x辆，
则到A地的小货车有（10﹣x）辆，到B地的大货车有（12﹣x）辆，到B地的小货车有（x﹣2）辆，
∴y＝900x+500（10﹣x）+1000（12﹣x）+700（x﹣2）＝100x+15600，
其中2＜x＜10．
（3）运往A地的物资共有[15x+10（10﹣x）]吨，
15x+10（10﹣x）≥140，解得：x≥8，
∴8≤x＜10，
当x＝8时，y有最小值，此时y＝100×8+15600＝16400元，
答：总运费最小值为16400元．

18．（2020海南）（10分）某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
【分析】设改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，根据6天共加工竹笋22吨，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，
依题意，得：，解得：．
答：该合作社改进加工方法前用了4天，改进加工方法后用了2天．