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2020年中考数学真题分类汇编09：三角形及全等三角形试卷
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2020年中考数学试题分类汇编之九
三角形
一、 选择题
3.（2020北京）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠1＞∠4+∠5 D.∠2＜∠5
【解析】由两直线相交，对顶角相等可知A正确；由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知B选项的∠2＞∠3，C选项∠1=∠4+∠5，D选项的∠2＞∠5.故选A.
4．（2020广州）△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE，若∠C=68°，则
∠AED =（ * ）．
（A）22° （B）68° （C）96° （D）112°
【答案】B
3.（2020福建）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是．
故选D．
5.（2020福建）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（ ）
A. 10 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】B
【详解】∵是等腰三角形的顶角平分线
∴CD=BD=5．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识．
6．（2020陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝3.5，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
11．(2020天津)如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
答案:D
16.（2020河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4
【答案】B
【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：；
B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：；
C、∵3+4≠5，则不符合题意；
D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：；
∵，
故选：B．
7（2020乐山）.观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由方格的特点可知，选项A阴影部分的面积为6，选项B、C、D阴影部分的面积均为5
如果能拼成正方形，那么选项A拼接成的正方形的边长为，选项B、C、D拼接成的正方形的边长为
观察图形可知，选项B、C、D阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图1所示的5个图形，由此可拼接成如图2所示的边长为的正方形
而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项A阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为的正方形
故选：A．
7（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD中，，DF//BC,∠ABC的平分线BE交DF于点G,GH⊥DF,点E恰好为DH的中点，若AE=3,CD=2,则GH=( )
A.1 B. 2 C. 3 D.4
【解析】本题考查角平分线性质和三角形中位线定理。过E作EM⊥BC交DF于N.∵BE平分∠ABC，∠A=∠C=90°，∴EM=AE=3, 四边形DCMN是矩形，MN=DC=2.∴EN=1. ∵E是HD的中点，∴HG=2EN=2. 故选B.
9（2020四川绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE,△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE=72°，则∠ACD=（）.
A.16° B.28° C.44° D.45°
【解析】延长CD交AB于点F。则∠CFG=∠CDE=72°。∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°∴∠A=（180°-124°）÷2=28°。∴∠ACD=∠CFG-∠A=72°-28°=44°。故选C.
9.（2020无锡）如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
解：如图
∵ ，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，延长交于，
∴ ，则， ，
过点作，设，则，，
∴，
∴在中，，即，
解得：，
∴．
故选B．
11.如图，在△ABC中，AC=22，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD.过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（ ）
A.6 B.3 C.23 D.4
解析：依次易得∠ACB=120°，∠ACE=120°，∠CAE=30°，AC=EC，△ABC≌△EBC，BE=BA.延长BC交AE于F，则∠AFC=90°，易得AF=6.答案C.
9．（2020新疆生产建设兵团）（5分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）
A．25 B．5 C．45 D．10
解：过A作AH⊥BC于H，
∵D是AB的中点，∴AD＝BD，
∵DE∥BC，∴AE＝CE，∴DE=12BC，
∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，
∴BF＝HF，∴DF=12AH，
∵△DFE的面积为1，∴12DE•DF＝1，
∴DE•DF＝2，∴BC•AH＝2DE•2DF＝4×2＝8，
∴AB•AC＝8，
∵AB＝CE，∴AB＝AE＝CE=12AC，
∴AB•2AB＝8，∴AB＝2（负值舍去），
∴AC＝4，∴BC=AB2+AC2=25．
故选：A．
6．（2020四川南充）（4分）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（ ）
A．a+b2 B．a-b2 C．a﹣b D．b﹣a
解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，∴∠ABD＝36°＝∠A，
∴BD＝AD，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∵AB＝AC＝a，BC＝b， ∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，
故选：C．
7．（2020江苏连云港）（3分）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心
A． B． C． D．
解：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
从点出发，确定点分别到，，，，的距离，只有，
点是的外心， 故选：．
11．（2020广西南宁）（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
解：过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r，
则AB＝2r，DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故选：C．
9．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【解答】解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，
∴∠DCA＝∠EAC＝35°，
∵AE∥BF，∴CD∥BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝55°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣55°，＝35°，
∵CD∥AE，∴∠EAC＝∠ACD＝35°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠CAE＝80°﹣35°＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB﹣∠CAD＝45°，∴CA＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：A．
3．（3分）（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
6﹣3＜x＜6+3，解得：3＜x＜9， 故选：C．
9．（3分）（2020•烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：最小的等腰直角三角形的面积=18×12×42＝1（cm2），平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则
A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；
B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；
C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；
D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意．
故选：D．
10．（3分）（2020•烟台）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（ ）
A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4
【解答】解：∵点G为△ABC的重心，
∴AE＝BE，BF＝CF，
∴EF=12AC=1.7，故选：A．
9．（2020四川自贡）（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC=12（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
14．（2020青海）（3分）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
解：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为70°时，另外两个内角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：D．
7．（3分）（2020•怀化）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（ ）
A．3 B．32 C．2 D．6
选：A．
7．（2020浙江宁波）（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10．
又∵CD为中线，∴CD=12AB＝5．
∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BF=12CD＝2.5．
故选：B．
10．（2020浙江宁波）（4分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（ ）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
【解答】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．
故选：A．
二、 填空题
14.（2020北京）在△ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）.只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）
【解析】答案不唯一，根据等腰三角形三线合一的性质可得，要使△ABD≌△ACD，则可以填∠BAD=∠CAD或者BD=CD或AD⊥BC均可.
15.（2020北京）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为： （填“＞”，“＝”或“＜”）
【解析】由网格图可得，∴面积相等，答案为“=”
14．（2020广州）如图6，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为 * ．
【答案】（4,3）
19．（2020哈尔滨）（3分）在中，，为边上的高，，，则的长为 5或7 ．
解：在中，，，
，
如图1、图2所示：
，
，
故答案为：7或5．
11（2020江西）.如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 ．
【解析】CD=CB，∠ACD=∠ACB，CA=CA，∴△CAD≌△CAB，∴∠B=∠D，设∠ACB=，∠B=，则∠ACD=，∠D=，∠EAC为△ACD的一个外角，∴，在△ABC中有内角和为180°，∴，∴∠BAC=131°，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=82°，故答案为82°
17.（2020四川绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则点M到直线BC的距离的最小值为 。
答案：
【解析】解：∵四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4，
∴∠DAC=∠ABC=60°
∠DAC=∠CAB=30°，
∴∠ACB=90°。
当M在AC上时，M到AC的距离最小。如图
：AC=,
在RT△AMD中，AM=AD=4×=2.
∴CM=AC-AM=-2=.
故填：。
15.（2020贵阳）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为_____．
【答案】
解：如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，
∵EA=EB，∴∠A=∠EBA，
∵∠AEB=∠CEF，∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G，
∵∠EFC=∠G+∠FCG，∴∠G=∠FCG，
∴FC=FG，
设CE=EF=x，则AE=BE=11－x，
∴DE=8－（11－x）=x－3，
∴DF=x－（x－3）=3，
∵DG=DB=8，
∴FG=5，∴CF=5，
在Rt△CDF中，根据勾股定理，得，
∴．
故答案为：．
14．（2020贵州黔西南）（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝33，则BD的长度为 23 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，∴CD=12AD，
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD， ∴BD＝2CD，
∵BC＝33， ∴CD+2CD＝33，
∴CD=3， ∴DB＝23，
故答案为：23．
12.（2020湖北黄冈）已知：如图，在中，点在边上，，则_______度．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40．
15.（2020湖北黄冈）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是_______________尺．
解：设这个水池深x尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12
答：这个水池深12尺．
故答案为：12．
13．（2020齐齐哈尔）（（3分）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可）
AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）
故答案为AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．
15．（2020齐齐哈尔）（（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 10或11 ．
解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，
∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
此时能组成三角形，
所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
17．（2020上海）（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为 332 ．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H．
∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴ADB＝60°，
∴∠ADC＝∠ADE＝120°，
∴∠EDH＝60°，
∵EH⊥BC，
∴∠EHD＝90°，
∵DE＝DC＝3，
∴EH＝DE•sin60°=332，
∴E到直线BD的距离为332，
故答案为332．
15．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为 2 ．
解：∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝BC＝2，MN∥BC，∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，∴NE＝CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．故答案为：2．
13．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 或或等） ，使和全等．
【解答】解：添加的条件是：，
理由是：在和中
，
，
故答案为：．
12．（2020湖南岳阳）（4分）（2020•岳阳）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝ 70 °．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝20°，则∠B＝70°，
∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD，
∴∠BCD＝∠B＝70°，
故答案为70．
13．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝ 5 ．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F为CA的中点，BF＝5，
∴AC＝2BF＝10．
又∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴DE=12AC＝5．
故答案是：5．
12. （2020东莞）若等边的边长为2，则该三角形的高为_________.
答案：
7．（2020青海）（2分）已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为 等腰 三角形．
解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，∴a＝6不合题意，舍去，
∴a＝2，∴a＝b＝2，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
14．（2020山东滨州）（5分）在等腰中，，，则的大小为 ．
14．（3分）（2020•怀化）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝ 130 °．
证明：∵在△ADC和△ABC中AD=ABAC=ACCD=CB，
∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠D＝∠B，
∵∠B＝130°，∴∠D＝130°，
16．（4分）（2020•株洲）如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为 32 ．
【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵CF∥BE，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴BC＝EF＝3，
∴DE=12BC=32．
故答案为：32．
三、 解答题
27.（2020北京）在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点.E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF.
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明.
【解析】（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE为△ABC的中位线
∴DE∥BC，∵∠C=90°，∴∠DEC=90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°
∴四边形DECF为矩形，∴DE=CF=，∴BF=CF，
∴BF=CF，∴DF=CE=AC，∴.
（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG.
∵BG∥AC，∴∠EAD=∠GBD，∠DEA=∠DGB
∵D是AB的中点，∴AD=BD，∴△EAD≌△GBD（AAS）
∴ED=GD，AE=BG.
∵DF⊥DE，∴DF是线段EG的垂直平分线
∴EF=FG
∵∠C=90°，BG∥AC，∴∠GBF=90°，
在Rt△BGF中，，∴
18、（2020广州）（本小题满分9分）如图8，AB = AD，∠BAC =∠DAC = 25°，∠D = 80°．求∠BCA的度数．
【详解过程】
在△ACD中，∵∠DAC=25°，∠D=80°，
∴∠DCA=180°-∠DAC-∠D=180°-25°-80°=75°。
在△ACB和△ACD中
∴△ACB≌△ACD(SAS)
∴∠BCA=∠DCA=75°。
24．（2020哈尔滨）（8分）已知：在中，，点、点在边上，，连接、．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，过点作交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于．
【解答】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2），
，
，
，
，，
，，，
满足条件的等腰三角形有：，，，．
25.(2020苏州）问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，．
求证：．
问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，．求的值．
【答案】问题1：见解析；问题2：
【详解】问题1：证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，，
∴．
问题2：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、．
由（1）可知，
在和中，，
∴，，
，．
∴，．
∴．
19．（2020南京）（8分）如图，点在上，点在上，，，求证：．
证明：在与中
，
．
．
．
18.已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：．
证明：∵点是的中点，
．
在中，，
．
在和中，
，
．
21.（2020无锡）如图，已知，，．
求证：（1）；
（2）．
证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵BE=CF，
∴BE-EF=CF-EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴∠AFE=∠DEF，
∴AF∥DE．
26.（2020重庆A卷）如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
解：（1）证明如下：∵，
∴，
∵，，
∴在和中，
∴，
∴，
∴，
在中，F为DE中点（同时），，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）由（1）得，，，
∴，
在中，，
∵F为DE中点，
∴，
在四边形ADCE中，有，，
∴点A，D，C，E四点共圆，
∵F为DE中点，
∴F为圆心，则，
在中，
∵，
∴F为CG中点，即，
∴，
即；
（3）设点P存在，由费马定理可得，
∴，
设PD，
∴，
又，
∴，
又
∴．
26. （2020重庆B卷）△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE=23 .以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点.
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG ，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN.当30°<α<120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积.
提示：（1）易得∠CGE=90°，NG=12CE，CD=4，DE=23.答案：NG=7.
（2）∠DNM的为定值120°.
连CF，BE，BE交AC于H，DN交AC于G，如图.
易得：BE∥DN，MN∥CF，△ABE≌△ACF.
因此∠DGC=∠BHC，∠ENM=∠ECF，∠ABE=∠ACF
又∠BHC=∠ABE+∠BAH=∠ABE+60°
∴∠DGC=∠ABE+60°=∠ACF+60°
又∠DGC=∠DNC+∠GCN=∠DNC+∠ACF-∠ECF
∴∠DNC=60°+∠ECF=60°+∠ENM
∴∠DGE=180°-∠DNC=120°-∠ENM
∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=120°.
（3）△AND的面积为73
如图，取AC中点P，因为BP+PN≥BN，所以当B、P、N在一直线上，BN最大.
易得BN=BP+PN=BP+12AE=43+3=53
设BP与AD交于O，NQ⊥AD于Q，如图.
易得BO=23BP=833，ON=733，BD=4，△ONQ∽△OBD，可求得NQ= 72.
∴△AND的面积为：12×AD×NQ=73.
18．（2020四川南充）（8分）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．
【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠ACB＝∠CED．
在△ABC和△CDE中，
∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AB＝CD．
25．（2020辽宁抚顺）（12分）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．
（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；
（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°，tan∠DAB＝时，请直接写出的值．
解：（1）连接AC，如图①所示：
∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，
∴∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A、B、E、C四点共圆，
∴∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，
∵∠CAB＝∠CAE+∠BAE， ∴∠BCE+∠CBE＝∠CAB，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB， ∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°， ∴∠BCE+∠CBE＝45°，
∴∠BEC＝180°﹣（∠BCE+∠CBE）＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠AEC＝135°﹣90°＝45°；
（2）AE＝BE+CE，理由如下：
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，
∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBE中，，
∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD， ∴∠ABD＝∠FBE，
∵∠ABC＝120°，∴∠FBE＝120°，
∵BF＝BE，
∴∠BFE＝∠BEF＝×（180°﹣∠FBE）＝×（180°﹣120°）＝30°，
∵BH⊥EF， ∴∠BHE＝90°，FH＝EH，
在Rt△BHE中，BH＝BE，FH＝EH＝BH＝BE，
∴EF＝2EH＝2×BE＝BE，
∵AE＝EF+AF，AF＝CE， ∴AE＝BE+CE；
（3）分两种情况：
①当点D在线段CB上时，
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
由（2）得：FH＝EH＝BE，
∵tan∠DAB＝＝，
∴AH＝3BH＝BE，
∴CE＝AF＝AH﹣FH＝BE﹣BE＝BE，
∴＝；
②当点D在线段CB的延长线上时，
在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示：
同①得：FH＝EH＝BE，AH＝3BH＝BE，
∴CE＝AF＝AH+FH＝BE+BE＝BE，
∴＝；
综上所述，当α＝120°，tan∠DAB＝时，的值为或．
18．（2020吉林）（5分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．
证明：∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠A．
在△DEB与△ABC中，
，
∴△DEB≌△ABC（SAS）．
26．（2020黑龙江龙东）（8分）如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．
（1）与的数量关系是 ．
（2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
【解答】解：（1）如图①中，
，，，，
，，，，
，，，，
，，
，，，
的等腰直角三角形，，
，，
故答案为．
（2）如图②中，结论仍然成立．
理由：连接，延长交于点．
和是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
、、分别为、、的中点，
，，，，
，，
．
26．（2020黑龙江牡丹江）（8分）在等腰中，，点，在射线上，，过点作，交射线于点．请解答下列问题：
（1）当点在线段上，是的角平分线时，如图①，求证：；（提示：延长，交于点．
（2）当点在线段的延长线上，是的角平分线时，如图②；当点在线段的延长线上，是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若，则 18或6 ．
【解答】解：（1）如图①，延长，交于点．
，，
，
，
，
，，
又，
，
，
又，
，
，
，
即；
（2）当点在线段的延长线上，是的角平分线时，，
如图②，延长，交于点．
由①同理可证，
，
由①证明过程同理可得出，，
；
当点在线段的延长线上，是的外角平分线时，．
如图③，延长交于点，
由上述证明过程易得，，，
又，
，
，
，
，
；
（3）或6，
当时，图①中，由（1）得：，，
；
图②中，由（2）得：，，
；
图③中，小于，故不存在．
故答案为18或6．
26．（10分）（2020•常德）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：
①EB＝EP；
②∠EFP＝30°；
（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．
【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，
∴AC∥DE，
∴∠DMB＝∠ACB＝90°，
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，
∴BMBC=BDAB=12，
即M是BC的中点，
∵EP＝CE，即E是PC的中点，
∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，
∴△CBP是直角三角形，∴BE=12PC＝EP；
②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，
由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，
∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，
∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；
（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，
∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），
则PQ＝DC＝DB，
∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，
∴QF＝DF，
∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，
∴∠CDB＝120°，
∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，
∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，
∵EF是DQ的垂直平分线，
∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，
∴∠BFD+∠EFP＝30°．
23．（8分）（2020•徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AFD的度数．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
（2）∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ANC＝90°，
∵△ACE≌△BCD，∴∠A＝∠B，
∵∠ANC＝∠BNF，
∴∠B+∠BNF＝∠A+∠ANC＝90°，
∴∠AFD＝∠B+∠BNF＝90°．
19．（9分）（2020•荆门）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F．
（1）若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；
（2）若AD＝DC＝2，求AF的长．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC=12（180°﹣40°）=12×140°＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC=12∠ABC=12×70°＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝∠ABD+∠BAF＝35°+90°＝125°；
（2）∵AE∥BC，
∴∠E＝∠DBC，
在△ADE和△CDB中，
∠E=∠DBC∠ADE=∠CDBAD=DC，
∴△ADE≌△CDB（AAS），∴AE＝BC，
∵∠E＝∠DBC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠E＝∠ABD，∴AB＝AE，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，∴∠ABF＝30°，
∵AD＝DC＝2，∴AB＝AC＝4，
在Rt△ABF中，AF＝AB•tan∠ABF＝4×tan30°＝4×33=433．
24．（12分）（2020•烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
DE=FE∠DEH=∠FECEH=EC，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
ED=DF∠EDG=∠FDCDG=CD，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
20．（2020山西）（8分）阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
任务：
（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是 勾股定理的逆定理 ；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．
解：（1）∵CD＝30，DE＝50，CE＝40，
∴CD2+CE2＝302+402＝502＝DE2，
∴∠DCE＝90°，
故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；
故答案为：勾股定理的逆定理；
（2）由作图方法可知，QP＝QC，QS＝QC，
∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，
∵∠SRC+∠RCS+∠QRC+∠QSC＝180°，
∴2（∠QCR+∠QCS）＝180°，
∴∠QCR+∠QCS＝90°，
即∠RCS＝90°；
（3）①如图③所示，直线PC即为所求；
②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
27．（2020青海）（10分）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．
特例感知：
（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明．
猜想论证：
（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
联系拓展：
（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）
（1）证明：如图1中，
∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠CAG，AB＝AC，
∴△FAB≌△GAC（AAS），
∴FB＝CG．
（2）解：结论：CG＝DE+DF．
理由：如图2中，连接AD．
∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，
∴•AB•CG＝•AB•DE+•AC•DF，
∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．
（3）解：结论不变：CG＝DE+DF．
理由：如图3中，连接AD．
∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，
∴•AB•CG＝•AB•DE+•AC•DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
16．（2020云南）（6分）如图，已知AD＝BC，BD＝AC．求证：∠ADB＝∠BCA．
证明：在△ADB和△BCA中，，
∴△ADB≌△BCA（SSS），
∴∠ADB＝∠BCA．
23．（2020山东泰安）（12分）若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．
（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．
求证：①EB＝DC，
②∠EBG＝∠BFC．
【解答】解：（1）四边形BEAC是平行四边形，
理由如下：
∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90°，B是DE的中点，
∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，
∴BC∥AE，AC∥BE，
∴四边形BEAC是平行四边形；
（2）①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD；
②延长FG至点H，使GH＝FG，
∵G是EC的中点，
∴EG＝DG，
又∵∠EGH＝∠FGC，
∴△EGH≌△CGF（SAS），
∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，
∵CF＝CD，CD＝BE，
∴EH＝BE，
∴∠H＝∠EBG，
∴∠EBG＝∠BFC．
18．（2020浙江温州）（8分）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DCE，
∴CE＝BC＝5，
∵∠ACE＝90°，
∴AE=AC2+CE2=25+144=13．
20．（2020浙江温州）（8分）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH．
（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ=5MN．
【解答】解：（1）如图1，线段EF和线段GH即为所求；
（2）如图2，线段MN和线段PQ即为所求．
23．（2020•株洲）如图所示，△BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交于点G，连接AF、CF，满足△ABF≌△CBE．
（1）求证：∠EBF＝90°．
（2）若正方形ABCD的边长为1，CE＝2，求tan∠AFC的值．
【解答】（1）证明：∵△ABF≌△CBE，
∴∠ABF＝∠CBE，
∵∠ABF+∠CBF＝90°，
∴∠CBF+∠CBE＝90°，
∴∠EBF＝90°；
（2）解：∵△ABF≌△CBE，
∴∠AFB＝∠CEB，
∵∠FGA＝∠EGB，
∴∠FAC＝∠EBF＝90°，
∵正方形边长为1，CE＝2．
∴AC=2，AF＝CE＝2．
∴tan∠AFC=ACAF=22．
三角形
一、 选择题
3.（2020北京）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠1＞∠4+∠5 D.∠2＜∠5
【解析】由两直线相交，对顶角相等可知A正确；由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知B选项的∠2＞∠3，C选项∠1=∠4+∠5，D选项的∠2＞∠5.故选A.
4．（2020广州）△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE，若∠C=68°，则
∠AED =（ * ）．
（A）22° （B）68° （C）96° （D）112°
【答案】B
3.（2020福建）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是．
故选D．
5.（2020福建）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（ ）
A. 10 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】B
【详解】∵是等腰三角形的顶角平分线
∴CD=BD=5．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识．
6．（2020陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝3.5，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
11．(2020天津)如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
答案:D
16.（2020河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4
【答案】B
【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：；
B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：；
C、∵3+4≠5，则不符合题意；
D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：；
∵，
故选：B．
7（2020乐山）.观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由方格的特点可知，选项A阴影部分的面积为6，选项B、C、D阴影部分的面积均为5
如果能拼成正方形，那么选项A拼接成的正方形的边长为，选项B、C、D拼接成的正方形的边长为
观察图形可知，选项B、C、D阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图1所示的5个图形，由此可拼接成如图2所示的边长为的正方形
而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项A阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为的正方形
故选：A．
7（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD中，，DF//BC,∠ABC的平分线BE交DF于点G,GH⊥DF,点E恰好为DH的中点，若AE=3,CD=2,则GH=( )
A.1 B. 2 C. 3 D.4
【解析】本题考查角平分线性质和三角形中位线定理。过E作EM⊥BC交DF于N.∵BE平分∠ABC，∠A=∠C=90°，∴EM=AE=3, 四边形DCMN是矩形，MN=DC=2.∴EN=1. ∵E是HD的中点，∴HG=2EN=2. 故选B.
9（2020四川绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE,△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE=72°，则∠ACD=（）.
A.16° B.28° C.44° D.45°
【解析】延长CD交AB于点F。则∠CFG=∠CDE=72°。∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°∴∠A=（180°-124°）÷2=28°。∴∠ACD=∠CFG-∠A=72°-28°=44°。故选C.
9.（2020无锡）如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
解：如图
∵ ，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，延长交于，
∴ ，则， ，
过点作，设，则，，
∴，
∴在中，，即，
解得：，
∴．
故选B．
11.如图，在△ABC中，AC=22，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD.过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（ ）
A.6 B.3 C.23 D.4
解析：依次易得∠ACB=120°，∠ACE=120°，∠CAE=30°，AC=EC，△ABC≌△EBC，BE=BA.延长BC交AE于F，则∠AFC=90°，易得AF=6.答案C.
9．（2020新疆生产建设兵团）（5分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）
A．25 B．5 C．45 D．10
解：过A作AH⊥BC于H，
∵D是AB的中点，∴AD＝BD，
∵DE∥BC，∴AE＝CE，∴DE=12BC，
∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，
∴BF＝HF，∴DF=12AH，
∵△DFE的面积为1，∴12DE•DF＝1，
∴DE•DF＝2，∴BC•AH＝2DE•2DF＝4×2＝8，
∴AB•AC＝8，
∵AB＝CE，∴AB＝AE＝CE=12AC，
∴AB•2AB＝8，∴AB＝2（负值舍去），
∴AC＝4，∴BC=AB2+AC2=25．
故选：A．
6．（2020四川南充）（4分）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（ ）
A．a+b2 B．a-b2 C．a﹣b D．b﹣a
解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，∴∠ABD＝36°＝∠A，
∴BD＝AD，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∵AB＝AC＝a，BC＝b， ∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，
故选：C．
7．（2020江苏连云港）（3分）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心
A． B． C． D．
解：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
从点出发，确定点分别到，，，，的距离，只有，
点是的外心， 故选：．
11．（2020广西南宁）（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
解：过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r，
则AB＝2r，DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故选：C．
9．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【解答】解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，
∴∠DCA＝∠EAC＝35°，
∵AE∥BF，∴CD∥BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝55°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣55°，＝35°，
∵CD∥AE，∴∠EAC＝∠ACD＝35°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠CAE＝80°﹣35°＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB﹣∠CAD＝45°，∴CA＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：A．
3．（3分）（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
6﹣3＜x＜6+3，解得：3＜x＜9， 故选：C．
9．（3分）（2020•烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：最小的等腰直角三角形的面积=18×12×42＝1（cm2），平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则
A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；
B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；
C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；
D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意．
故选：D．
10．（3分）（2020•烟台）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（ ）
A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4
【解答】解：∵点G为△ABC的重心，
∴AE＝BE，BF＝CF，
∴EF=12AC=1.7，故选：A．
9．（2020四川自贡）（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC=12（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
14．（2020青海）（3分）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
解：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为70°时，另外两个内角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：D．
7．（3分）（2020•怀化）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（ ）
A．3 B．32 C．2 D．6
选：A．
7．（2020浙江宁波）（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10．
又∵CD为中线，∴CD=12AB＝5．
∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BF=12CD＝2.5．
故选：B．
10．（2020浙江宁波）（4分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（ ）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
【解答】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．
故选：A．
二、 填空题
14.（2020北京）在△ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）.只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）
【解析】答案不唯一，根据等腰三角形三线合一的性质可得，要使△ABD≌△ACD，则可以填∠BAD=∠CAD或者BD=CD或AD⊥BC均可.
15.（2020北京）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为： （填“＞”，“＝”或“＜”）
【解析】由网格图可得，∴面积相等，答案为“=”
14．（2020广州）如图6，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为 * ．
【答案】（4,3）
19．（2020哈尔滨）（3分）在中，，为边上的高，，，则的长为 5或7 ．
解：在中，，，
，
如图1、图2所示：
，
，
故答案为：7或5．
11（2020江西）.如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 ．
【解析】CD=CB，∠ACD=∠ACB，CA=CA，∴△CAD≌△CAB，∴∠B=∠D，设∠ACB=，∠B=，则∠ACD=，∠D=，∠EAC为△ACD的一个外角，∴，在△ABC中有内角和为180°，∴，∴∠BAC=131°，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=82°，故答案为82°
17.（2020四川绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则点M到直线BC的距离的最小值为 。
答案：
【解析】解：∵四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4，
∴∠DAC=∠ABC=60°
∠DAC=∠CAB=30°，
∴∠ACB=90°。
当M在AC上时，M到AC的距离最小。如图
：AC=,
在RT△AMD中，AM=AD=4×=2.
∴CM=AC-AM=-2=.
故填：。
15.（2020贵阳）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为_____．
【答案】
解：如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，
∵EA=EB，∴∠A=∠EBA，
∵∠AEB=∠CEF，∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G，
∵∠EFC=∠G+∠FCG，∴∠G=∠FCG，
∴FC=FG，
设CE=EF=x，则AE=BE=11－x，
∴DE=8－（11－x）=x－3，
∴DF=x－（x－3）=3，
∵DG=DB=8，
∴FG=5，∴CF=5，
在Rt△CDF中，根据勾股定理，得，
∴．
故答案为：．
14．（2020贵州黔西南）（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝33，则BD的长度为 23 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，∴CD=12AD，
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD， ∴BD＝2CD，
∵BC＝33， ∴CD+2CD＝33，
∴CD=3， ∴DB＝23，
故答案为：23．
12.（2020湖北黄冈）已知：如图，在中，点在边上，，则_______度．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40．
15.（2020湖北黄冈）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是_______________尺．
解：设这个水池深x尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12
答：这个水池深12尺．
故答案为：12．
13．（2020齐齐哈尔）（（3分）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可）
AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）
故答案为AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．
15．（2020齐齐哈尔）（（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 10或11 ．
解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，
∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
此时能组成三角形，
所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
17．（2020上海）（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为 332 ．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H．
∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴ADB＝60°，
∴∠ADC＝∠ADE＝120°，
∴∠EDH＝60°，
∵EH⊥BC，
∴∠EHD＝90°，
∵DE＝DC＝3，
∴EH＝DE•sin60°=332，
∴E到直线BD的距离为332，
故答案为332．
15．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为 2 ．
解：∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝BC＝2，MN∥BC，∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，∴NE＝CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．故答案为：2．
13．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 或或等） ，使和全等．
【解答】解：添加的条件是：，
理由是：在和中
，
，
故答案为：．
12．（2020湖南岳阳）（4分）（2020•岳阳）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝ 70 °．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝20°，则∠B＝70°，
∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD，
∴∠BCD＝∠B＝70°，
故答案为70．
13．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝ 5 ．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F为CA的中点，BF＝5，
∴AC＝2BF＝10．
又∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴DE=12AC＝5．
故答案是：5．
12. （2020东莞）若等边的边长为2，则该三角形的高为_________.
答案：
7．（2020青海）（2分）已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为 等腰 三角形．
解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，∴a＝6不合题意，舍去，
∴a＝2，∴a＝b＝2，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
14．（2020山东滨州）（5分）在等腰中，，，则的大小为 ．
14．（3分）（2020•怀化）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝ 130 °．
证明：∵在△ADC和△ABC中AD=ABAC=ACCD=CB，
∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠D＝∠B，
∵∠B＝130°，∴∠D＝130°，
16．（4分）（2020•株洲）如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为 32 ．
【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵CF∥BE，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴BC＝EF＝3，
∴DE=12BC=32．
故答案为：32．
三、 解答题
27.（2020北京）在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点.E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF.
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明.
【解析】（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE为△ABC的中位线
∴DE∥BC，∵∠C=90°，∴∠DEC=90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°
∴四边形DECF为矩形，∴DE=CF=，∴BF=CF，
∴BF=CF，∴DF=CE=AC，∴.
（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG.
∵BG∥AC，∴∠EAD=∠GBD，∠DEA=∠DGB
∵D是AB的中点，∴AD=BD，∴△EAD≌△GBD（AAS）
∴ED=GD，AE=BG.
∵DF⊥DE，∴DF是线段EG的垂直平分线
∴EF=FG
∵∠C=90°，BG∥AC，∴∠GBF=90°，
在Rt△BGF中，，∴
18、（2020广州）（本小题满分9分）如图8，AB = AD，∠BAC =∠DAC = 25°，∠D = 80°．求∠BCA的度数．
【详解过程】
在△ACD中，∵∠DAC=25°，∠D=80°，
∴∠DCA=180°-∠DAC-∠D=180°-25°-80°=75°。
在△ACB和△ACD中
∴△ACB≌△ACD(SAS)
∴∠BCA=∠DCA=75°。
24．（2020哈尔滨）（8分）已知：在中，，点、点在边上，，连接、．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，过点作交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于．
【解答】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2），
，
，
，
，，
，，，
满足条件的等腰三角形有：，，，．
25.(2020苏州）问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，．
求证：．
问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，．求的值．
【答案】问题1：见解析；问题2：
【详解】问题1：证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，，
∴．
问题2：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、．
由（1）可知，
在和中，，
∴，，
，．
∴，．
∴．
19．（2020南京）（8分）如图，点在上，点在上，，，求证：．
证明：在与中
，
．
．
．
18.已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：．
证明：∵点是的中点，
．
在中，，
．
在和中，
，
．
21.（2020无锡）如图，已知，，．
求证：（1）；
（2）．
证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵BE=CF，
∴BE-EF=CF-EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴∠AFE=∠DEF，
∴AF∥DE．
26.（2020重庆A卷）如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
解：（1）证明如下：∵，
∴，
∵，，
∴在和中，
∴，
∴，
∴，
在中，F为DE中点（同时），，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）由（1）得，，，
∴，
在中，，
∵F为DE中点，
∴，
在四边形ADCE中，有，，
∴点A，D，C，E四点共圆，
∵F为DE中点，
∴F为圆心，则，
在中，
∵，
∴F为CG中点，即，
∴，
即；
（3）设点P存在，由费马定理可得，
∴，
设PD，
∴，
又，
∴，
又
∴．
26. （2020重庆B卷）△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE=23 .以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点.
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG ，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN.当30°<α<120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积.
提示：（1）易得∠CGE=90°，NG=12CE，CD=4，DE=23.答案：NG=7.
（2）∠DNM的为定值120°.
连CF，BE，BE交AC于H，DN交AC于G，如图.
易得：BE∥DN，MN∥CF，△ABE≌△ACF.
因此∠DGC=∠BHC，∠ENM=∠ECF，∠ABE=∠ACF
又∠BHC=∠ABE+∠BAH=∠ABE+60°
∴∠DGC=∠ABE+60°=∠ACF+60°
又∠DGC=∠DNC+∠GCN=∠DNC+∠ACF-∠ECF
∴∠DNC=60°+∠ECF=60°+∠ENM
∴∠DGE=180°-∠DNC=120°-∠ENM
∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=120°.
（3）△AND的面积为73
如图，取AC中点P，因为BP+PN≥BN，所以当B、P、N在一直线上，BN最大.
易得BN=BP+PN=BP+12AE=43+3=53
设BP与AD交于O，NQ⊥AD于Q，如图.
易得BO=23BP=833，ON=733，BD=4，△ONQ∽△OBD，可求得NQ= 72.
∴△AND的面积为：12×AD×NQ=73.
18．（2020四川南充）（8分）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．
【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠ACB＝∠CED．
在△ABC和△CDE中，
∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AB＝CD．
25．（2020辽宁抚顺）（12分）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．
（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；
（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°，tan∠DAB＝时，请直接写出的值．
解：（1）连接AC，如图①所示：
∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，
∴∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A、B、E、C四点共圆，
∴∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，
∵∠CAB＝∠CAE+∠BAE， ∴∠BCE+∠CBE＝∠CAB，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB， ∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°， ∴∠BCE+∠CBE＝45°，
∴∠BEC＝180°﹣（∠BCE+∠CBE）＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠AEC＝135°﹣90°＝45°；
（2）AE＝BE+CE，理由如下：
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，
∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBE中，，
∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD， ∴∠ABD＝∠FBE，
∵∠ABC＝120°，∴∠FBE＝120°，
∵BF＝BE，
∴∠BFE＝∠BEF＝×（180°﹣∠FBE）＝×（180°﹣120°）＝30°，
∵BH⊥EF， ∴∠BHE＝90°，FH＝EH，
在Rt△BHE中，BH＝BE，FH＝EH＝BH＝BE，
∴EF＝2EH＝2×BE＝BE，
∵AE＝EF+AF，AF＝CE， ∴AE＝BE+CE；
（3）分两种情况：
①当点D在线段CB上时，
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
由（2）得：FH＝EH＝BE，
∵tan∠DAB＝＝，
∴AH＝3BH＝BE，
∴CE＝AF＝AH﹣FH＝BE﹣BE＝BE，
∴＝；
②当点D在线段CB的延长线上时，
在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示：
同①得：FH＝EH＝BE，AH＝3BH＝BE，
∴CE＝AF＝AH+FH＝BE+BE＝BE，
∴＝；
综上所述，当α＝120°，tan∠DAB＝时，的值为或．
18．（2020吉林）（5分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．
证明：∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠A．
在△DEB与△ABC中，
，
∴△DEB≌△ABC（SAS）．
26．（2020黑龙江龙东）（8分）如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．
（1）与的数量关系是 ．
（2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
【解答】解：（1）如图①中，
，，，，
，，，，
，，，，
，，
，，，
的等腰直角三角形，，
，，
故答案为．
（2）如图②中，结论仍然成立．
理由：连接，延长交于点．
和是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
、、分别为、、的中点，
，，，，
，，
．
26．（2020黑龙江牡丹江）（8分）在等腰中，，点，在射线上，，过点作，交射线于点．请解答下列问题：
（1）当点在线段上，是的角平分线时，如图①，求证：；（提示：延长，交于点．
（2）当点在线段的延长线上，是的角平分线时，如图②；当点在线段的延长线上，是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若，则 18或6 ．
【解答】解：（1）如图①，延长，交于点．
，，
，
，
，
，，
又，
，
，
又，
，
，
，
即；
（2）当点在线段的延长线上，是的角平分线时，，
如图②，延长，交于点．
由①同理可证，
，
由①证明过程同理可得出，，
；
当点在线段的延长线上，是的外角平分线时，．
如图③，延长交于点，
由上述证明过程易得，，，
又，
，
，
，
，
；
（3）或6，
当时，图①中，由（1）得：，，
；
图②中，由（2）得：，，
；
图③中，小于，故不存在．
故答案为18或6．
26．（10分）（2020•常德）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：
①EB＝EP；
②∠EFP＝30°；
（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．
【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，
∴AC∥DE，
∴∠DMB＝∠ACB＝90°，
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，
∴BMBC=BDAB=12，
即M是BC的中点，
∵EP＝CE，即E是PC的中点，
∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，
∴△CBP是直角三角形，∴BE=12PC＝EP；
②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，
由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，
∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，
∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；
（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，
∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），
则PQ＝DC＝DB，
∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，
∴QF＝DF，
∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，
∴∠CDB＝120°，
∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，
∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，
∵EF是DQ的垂直平分线，
∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，
∴∠BFD+∠EFP＝30°．
23．（8分）（2020•徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AFD的度数．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
（2）∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ANC＝90°，
∵△ACE≌△BCD，∴∠A＝∠B，
∵∠ANC＝∠BNF，
∴∠B+∠BNF＝∠A+∠ANC＝90°，
∴∠AFD＝∠B+∠BNF＝90°．
19．（9分）（2020•荆门）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F．
（1）若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；
（2）若AD＝DC＝2，求AF的长．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC=12（180°﹣40°）=12×140°＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC=12∠ABC=12×70°＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝∠ABD+∠BAF＝35°+90°＝125°；
（2）∵AE∥BC，
∴∠E＝∠DBC，
在△ADE和△CDB中，
∠E=∠DBC∠ADE=∠CDBAD=DC，
∴△ADE≌△CDB（AAS），∴AE＝BC，
∵∠E＝∠DBC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠E＝∠ABD，∴AB＝AE，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，∴∠ABF＝30°，
∵AD＝DC＝2，∴AB＝AC＝4，
在Rt△ABF中，AF＝AB•tan∠ABF＝4×tan30°＝4×33=433．
24．（12分）（2020•烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
DE=FE∠DEH=∠FECEH=EC，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
ED=DF∠EDG=∠FDCDG=CD，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
20．（2020山西）（8分）阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
任务：
（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是 勾股定理的逆定理 ；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．
解：（1）∵CD＝30，DE＝50，CE＝40，
∴CD2+CE2＝302+402＝502＝DE2，
∴∠DCE＝90°，
故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；
故答案为：勾股定理的逆定理；
（2）由作图方法可知，QP＝QC，QS＝QC，
∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，
∵∠SRC+∠RCS+∠QRC+∠QSC＝180°，
∴2（∠QCR+∠QCS）＝180°，
∴∠QCR+∠QCS＝90°，
即∠RCS＝90°；
（3）①如图③所示，直线PC即为所求；
②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
27．（2020青海）（10分）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．
特例感知：
（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明．
猜想论证：
（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
联系拓展：
（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）
（1）证明：如图1中，
∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠CAG，AB＝AC，
∴△FAB≌△GAC（AAS），
∴FB＝CG．
（2）解：结论：CG＝DE+DF．
理由：如图2中，连接AD．
∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，
∴•AB•CG＝•AB•DE+•AC•DF，
∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．
（3）解：结论不变：CG＝DE+DF．
理由：如图3中，连接AD．
∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，
∴•AB•CG＝•AB•DE+•AC•DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
16．（2020云南）（6分）如图，已知AD＝BC，BD＝AC．求证：∠ADB＝∠BCA．
证明：在△ADB和△BCA中，，
∴△ADB≌△BCA（SSS），
∴∠ADB＝∠BCA．
23．（2020山东泰安）（12分）若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．
（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．
求证：①EB＝DC，
②∠EBG＝∠BFC．
【解答】解：（1）四边形BEAC是平行四边形，
理由如下：
∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90°，B是DE的中点，
∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，
∴BC∥AE，AC∥BE，
∴四边形BEAC是平行四边形；
（2）①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD；
②延长FG至点H，使GH＝FG，
∵G是EC的中点，
∴EG＝DG，
又∵∠EGH＝∠FGC，
∴△EGH≌△CGF（SAS），
∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，
∵CF＝CD，CD＝BE，
∴EH＝BE，
∴∠H＝∠EBG，
∴∠EBG＝∠BFC．
18．（2020浙江温州）（8分）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DCE，
∴CE＝BC＝5，
∵∠ACE＝90°，
∴AE=AC2+CE2=25+144=13．
20．（2020浙江温州）（8分）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH．
（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ=5MN．
【解答】解：（1）如图1，线段EF和线段GH即为所求；
（2）如图2，线段MN和线段PQ即为所求．
23．（2020•株洲）如图所示，△BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交于点G，连接AF、CF，满足△ABF≌△CBE．
（1）求证：∠EBF＝90°．
（2）若正方形ABCD的边长为1，CE＝2，求tan∠AFC的值．
【解答】（1）证明：∵△ABF≌△CBE，
∴∠ABF＝∠CBE，
∵∠ABF+∠CBF＝90°，
∴∠CBF+∠CBE＝90°，
∴∠EBF＝90°；
（2）解：∵△ABF≌△CBE，
∴∠AFB＝∠CEB，
∵∠FGA＝∠EGB，
∴∠FAC＝∠EBF＝90°，
∵正方形边长为1，CE＝2．
∴AC=2，AF＝CE＝2．
∴tan∠AFC=ACAF=22．
