2020年中考数学真题分类汇编21：平移 旋转与折叠试卷

2020年中考数学试题分类汇编之二十一
平移、旋转与折叠
一、 选择题
10.（2020河北）如图，将绕边的中点顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
点，分别转到了点，处，
而点转到了点处．
∵，
∴四边形是平行四边形．


小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（ ）
A. 嘉淇推理严谨，不必补充 B. 应补充：且，
C. 应补充：且 D. 应补充：且，
【详解】根据旋转的性质得： CB=AD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形；
故应补充“AB=CD”，
故选：B．
9.(2020苏州）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
9.（2020乐山）在中，已知，，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
解：在Rt△ABC中，∵，
∴AC=2BC=2，
∴，
∵绕点按逆时针方向旋转后得到，
∴
∴
∴．

故选：B
12.（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AB=,AD=2,将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得,当恰好过点D时，为等腰三角形，若=2,则=（ ）
A. B. C. D.
【解析】A.
解：过点D作DE⊥BC于点E.则BE=AD=2,DE=AB=,
设BC=C=，CE=-2.
∵为等腰三角形，
∴C=BD=,∠DC=90°
∴DC=
在RT△DCE中，由勾股定理得：,
即：，解得：，（舍去）。
∴在RT△ABC中，AC===
由旋转得：BC=C,AC=,
∴∽
∴,即：
∴.故选A.
9.（2020无锡）如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度为（ ）

A. B. C. D.
解：如图

∵ ，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，延长交于，
∴ ，则， ，
过点作，设，则，，
∴，
∴在中，，即，
解得：，
∴．
故选B．
5.（2020山东青岛）如图，将先向上平移1个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ）

A. （0，4） B. （2，-2） C. （3，-2） D. （-1，4）
【答案】D
7.（2020山东青岛）如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
解：由对折可得：
矩形，





BC=8

由对折得：
故选C．
9．（2020齐齐哈尔）（（3分）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
解：如图，设AD与BC交于点F，

∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
11.（2020重庆A卷）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若，，，的面积为2，则点F到BC的距离为( )

A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝2，
∴S△ADE＝4，
由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，
∴•（AF+DF）•BF＝4，
∴•（3+DF）•2＝4，
∴DF＝1，
∴DB＝＝＝，
设点F到BD的距离为h，
则•BD•h＝•BF•DF，
∴h＝，
故选：B．

6．（2020上海）（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（　　）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆
【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．

∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，
∴平行四边形ABCD是平移重合图形，
故选：A．
10．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若∠FPG＝90°，S△A′EP＝8，S△D′PH＝2，则矩形ABCD的长为（　　）

A．6+10 B．6+5 C．3+10 D．3+5
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，
由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，
∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，
又∵∠A′PF＝∠D′PG＝90°，
∴∠A′PD′＝90°，则∠A′PE+∠D′PH＝90°，
∴∠A′PE＝∠D′HP， ∴△A′EP∽△D′PH，
∴A′P2：D′H2＝8：2， ∴A′P：D′H＝2：1，
∵A′P＝x， ∴D′H＝x，
∵S△D′PH＝D′P•D′H＝A′P•D′H，即，
∴x＝（负根舍弃），
∴AB＝CD＝，D′H＝DH＝，D′P＝A′P＝CD＝，A′E＝2D′P＝，
∴PE＝，PH＝，
∴AD＝＝，
即矩形ABCD的长为，
故选：D．
6．（2020江苏连云港）（3分）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于　　

A． B． C． D．
【解答】解：四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，
；
故选：．
8．(2020山东枣庄)（3分）如图的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是　　

A．B．C．D．
【解答】解：由题意，选项，，可以通过平移，旋转得到，选项可以通过翻折，平移，旋转得到．
故选：．
10．(2020山东枣庄)（3分）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，．将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是　　

A．， B． C．， D．
【解答】解：如图，过点作轴于．

在△中，，，
，，
，
，，
故选：．
11．(2020山东枣庄)（3分）如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是　　

A． B．4 C．5 D．6
解：将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，
，，
，
，，
，，
故选：．
11．（3分）（2020•烟台）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（　　）

A．12 B．920 C．25 D．13
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF=AF2-AB2=25-9=4，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x=43，
∴DE＝EF＝3﹣x=53，
∴tan∠DAE=DEAD=535=13，
故选：D．
16．（2020青海）（3分）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　）

A． B． C． D．
解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：
． 故选：A．
12．（2020山东滨州）（3分）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕，与相交于点．若直线交直线于点，，，则的长为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
由中位线定理得，
由折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
过点作于，
，
，
由勾股定理得，
，
，
解得，
．
故选：．

10．（2020山东泰安）（4分）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（　　）

A．lcm B．63cm C．（23-3）cm D．（2-3）cm
【解答】解：过F作FH⊥BC于H，

∵高AG＝2cm，∠B＝45°，∴BG＝AG＝2cm，
∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，∴EH=3AG=23，
∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，∴AF＝CE，
∵AG⊥BC，FH⊥BC，∴AG∥FH，
∵AG＝FH，∴四边形AGHF是矩形，
∴AF＝GH，
∴BC＝BG+GH+HE+CE＝2+2AF+23=6，
∴AF＝2-3（cm），
故选：D．
7．（2020海南）（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（　　）

A．1cm B．2cm C．cm D．2cm
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，
∴AC＝AB，则AB＝2AC＝2cm．
又由旋转的性质知，AC′＝AC＝AB，B′C′⊥AB，
∴B′C′是△ABB′的中垂线，
∴AB′＝BB′．
根据旋转的性质知AB＝AB′＝BB′＝2cm．
故选：B．


二、 填空题
12（2020江西）.矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，的长为 厘米.

【解析】当∠ABE=30°时，则∠=，在Rt△ABE中，tan∠ABE=，∴此时
.
当∠AEB=30°时，此时在Rt△ABE中，tan∠AEB=，∴
当∠时，过作AB的平行线交于F，BC于G，∵，
∴，设，则，∴
在矩形ABGF中，AF=BG，∴，解得，此时
故答案为：或或
13．（2020南京）（2分）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式是　　．
解：在一次函数中，令，则，
直线经过点，
将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，则点的对应点为，
旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：，
将点代入得，，
解得，
旋转后对应的函数解析式为：，
16．（2020贵州黔西南）（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为　3　．

【解答】解：如图所示：
由题意可得：∠1＝∠2，AN＝MN，∠MGA＝90°，
则NG=12AM，故AN＝NG， ∴∠2＝∠4，
∵EF∥AB， ∴∠4＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4=13×90°＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，
∴AE=12AD=12BC＝1，
∴AG＝2， ∴EG=22-12=3，
故答案为：3．

16（2020湖北黄冈）.如图所示，将一个半径，圆心角的扇形纸板放置在水平面的一条射线上．在没有滑动的情况下，将扇形沿射线翻滚至再次回到上时，则半径的中点P运动的路线长为_____________．

解：连接BP，如图，

∵P为AO的中点，AO=10cm，
∴PO=5cm，
由勾股定理得，BP=，
中点P经过的路线可以分为四段，当弧AB切射线OM于点B时，有OB⊥射线OM，此时P点绕不动点B转过了90°，此时点P经过的路径长为：cm；
第二段：OB⊥射线OM到OA⊥射线OM，P点绕动点转动，而这一过程中弧AB始终是切于射线OM的，所以P与转动点的连线始终⊥射线OM，所以P点过的路线长=AB的弧长，即；
第三段：OB⊥射线OM到P点落在射线OM上，P点绕不动点A转过了90°，此时点P经过的路径长为：；
第四段：OA⊥射线OM到OB与射线OM重合，P点绕不动点O转过了90°，此时点P经过的路径长为：；
所以，P点经过的路线总长S=．
故答案为：

17．（2020上海）（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为　332　．

【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H．

∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴ADB＝60°，∴∠ADC＝∠ADE＝120°，
∴∠EDH＝60°，
∵EH⊥BC，∴∠EHD＝90°，
∵DE＝DC＝3，∴EH＝DE•sin60°=332，
∴E到直线BD的距离为332，
故答案为332．

13．（2020宁夏）（3分）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是　（4，）　．

解：在中，令x＝0得，y＝4，
令y＝0，得，解得x＝，
∴A（，0），B（0，4），
由旋转可得△AOB≌△A1O1B，∠ABA1＝90°，
∴∠ABO＝∠A1BO1，∠BO1A1＝∠AOB＝90°，OA＝O1A1＝，OB＝O1B＝4，
∴∠OBO1＝90°，
∴O1B∥x轴，
∴点A1的纵坐标为OB﹣OA的长，即为4＝；
横坐标为O1B＝OB＝4，
故点A1的坐标是（4，），
故答案为：（4，）．
7．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在中，，点在边上．将沿直线翻折，点落在点处，连接，交于点．若，，则　　．

【解答】解：，，
，设，，则，
，，，
由于折叠，
，且△，
，即为等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：．
17．（2020广西南宁）（3分）以原点为中心，把点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为　（﹣4，3）　．
解：如图，∵点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，
则点N的坐标为（﹣4，3）．

故答案为：（﹣4，3）．

15．（2020贵州遵义）（4分）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是　1033　．

【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，
∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC．
∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．
∴A′B＝AB＝2BM．
在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，
∴sin∠MA′B=BMBA'=12，
∴∠MA′B＝30°，
∵MN∥BC，
∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，
∴BE=ABcos30°532=1033．
故答案为：1033．

16．（3分）（2020•荆门）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B（﹣2，1），将△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，OE交BC于点G，若反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点G，则k的值为　-12　．

解：∵B（﹣2，1），∴AB＝1，OA＝2，
∵△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，
∴DE＝AB＝1，OE＝OA＝2，∠OED＝∠OAB＝90°，
∵∠COG＝∠EOD，∠OCG＝∠OED，
∴△OCG∽△OED，
∴CGDE=OCOE，即CG1=12，解得CG=12，
∴G（-12，1），
把G（-12，1）代入y=kx得k=-12×1=-12．
故答案为-12．
17．（3分）（2020•烟台）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为　（4，2）　．

【解答】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2）．

故答案为（4，2）．
4．（2020青海）（2分）如图，将周长为8的△ABC沿BC边向右平移2个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为　12　．

解：∵△ABC沿BC边向右平移2个单位，得到△DEF，
∴AD＝CF＝2，AC＝DF，
∵△ABC的周长为8，∴AB+BC+AC＝8，∴AB+BC+DF＝8，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+DF+AD+CF＝8+2+2＝12．

15．（2020四川眉山）（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至
△A1B1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，则CC1的长为　2　．

解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，
∴AB1＝BC，BB1＝B1C，AB＝AB1，
∴BB1＝AB＝AB1，∴△ABB1是等边三角形，
∴∠BAB1＝∠B＝60°，∴∠CAC1＝60°，
∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△A1B1C1的位置，
∴CA＝C1A，∴△AC1C是等边三角形，∴CC1＝CA，
∵AB＝2，∴CA＝2，∴CC1＝2．

14．（2020山东泰安）（4分）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（﹣1，1），C（3，1）．△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M，则点M的坐标为　（﹣2，1）　．

【解答】解：将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，如图所示：

所以点M的坐标为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．







三、 解答题
23.（2020河南）将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，
如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ；



当且时，
①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．


【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①结论不变，理由见解析；②3或1．
【详解】（1）由题知°，°，
∴°，且为等边三角形
∴°，
∴
∵
∴°
∴°
∴等腰直角三角形
连接BD，如图所示

∵°
∴即
∵
∴
∴
故答案为：等腰直角三角形，
（2）①两个结论仍然成立
连接BD，如图所示：


∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵四边形正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴结论不变，依然成立
②若以点为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论
第一种：以CD为边时，则，此时点在线段BA的延长线上，
如图所示：

此时点E与点A重合，
∴，得；
②当以CD为对角线时，如图所示：

此时点F为CD中点，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
综上：的值为3或1．
16（2020江西）.如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）.
（1）在图1中，作关于点对称的；
（2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的.

【解析】作图如下：

23.（2020长沙）在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：
（2）若，求EC的长；
（3）若，记，求的值．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠AFB+∠BAF=90°，
∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴AF=AD=4，
∴BF=，
∴CF=BC-BF=AD-BF=2，
由（1）得△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴EC=．
（3）

解：由（1）得△ABF∽△FCE，
∴∠CEF=∠BAF=，
∴tan+tan=，
设CE=1，DE=x，
∵，
∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x2-4x+4=0，
解得x=2，
∴CE=1，CF=，EF=x=2，AF= AD==，
∴tan+tan==．
23．（2020齐齐哈尔）（（12分）综合与实践
在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
实践发现：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
（1）折痕BM　是　（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：　等边三角形　；进一步计算出∠MNE＝　60　°；
（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝　15　°；
拓展延伸：
（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．
求证：四边形SATA'是菱形．
解决问题：
（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．
请写出以上4个数值中你认为正确的数值　7，9　．

【解答】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，
∴EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，
∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，
∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，
∴AB＝BN，
∴AB＝AN＝BN，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠EBN＝60°，
∴∠ENB＝30°，
∴∠MNE＝60°，
故答案为：是，等边三角形，60；
（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，
∴∠ABG＝∠HBG＝45°，
∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，
故答案为：15°；
（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，
∴ST垂直平分AA'，
∴AO＝A'O，AA'⊥ST，
∵AD∥BC，
∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，
∴△ASO≌△A'TO（AAS）
∴SO＝TO，
∴四边形ASA'T是平行四边形，
又∵AA'⊥ST，
∴边形SATA'是菱形；
（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，
∴AT＝A'T，
在Rt△A'TB中，A'T＞BT，
∴AT＞10﹣AT，
∴AT＞5，
∵点T在AB上，
∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，
∴5＜AT≤10，
∴正确的数值为7，9，
故答案为：7，9．
20.（2020湖北武汉）在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：

（1）将线段绕点逆时针旋转，画出对应线段；
（2）在线段上画点，使（保留画图过程的痕迹）；
（3）连接，画点关于直线的对称点，并简要说明画法．
解：（1）如图示，线段是将线段绕点逆时针旋转得到的；

（2）将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
则四边形是正方形，连接，DB，交AB于点E，
则E点为所求，
理由如下：∵四边形是正方形，
∴，，
则有，
∴E点为所求；

（3）将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
过E点作线段交于，交于，
则为所求；
理由如下：∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴
∵，
∴,
∵四边形的顶点坐标分别为，，，，
∴四边形是平行四边形，
根据是平行四边形的对角线，
∴
∴
∴，
∴垂直平分
∴是点关于直线的对称点，

26.（2020重庆A卷）如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
解：（1）证明如下：∵，
∴，
∵，，
∴在和中，
∴，
∴，
∴，
在中，F为DE中点（同时），，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）由（1）得，，，
∴，
在中，，
∵F为DE中点，
∴，
在四边形ADCE中，有，，
∴点A，D，C，E四点共圆，
∵F为DE中点，
∴F为圆心，则，
在中，
∵，
∴F为CG中点，即，
∴，
即；
（3）设点P存在，由费马定理可得，

∴，
设PD，
∴，
又，
∴，


又
∴．

24．（2020吉林）（8分）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．
【探究】求证：四边形AGHD是菱形．
【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为　56　．
【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为　120　．

解：【探究】∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形，
∴AE∥GF，DC∥AB，
∴四边形AGHD是平行四边形，
∵AD＝AG， ∴四边形AGHD是菱形；
【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：
ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF＝（ME+AM+AG+EF+NF）+（AD+BC+DM+MC+AN+BN）＝2（AE+AG）+2（AB+AD）＝2×（9+5）+2×（9+5）＝56，

故答案为：56；
【操作二】由题意知，AD＝AG＝5，∠DAB＝∠BAG，
又AM＝AM，
∴△AMD≌△AMG（SAS），
∴DM＝GM，∠AMD＝∠AMG，
∵∠AMD+∠AMG＝180°，
∴∠AMD＝∠AMG＝90°，
∵sin∠BAD＝，
∴，
∴DM＝AD＝4，
∴DG＝8，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是平行四边形，
∴DC∥AB∥GF，DC＝AB＝GF＝9，
∴四边形CDGF是平行四边形，
∵∠AMD＝90°，
∴∠CDG＝∠AMD＝90°，
∴四边形CDGF是矩形，
∴S矩形DCFG＝DG•DC＝8×9＝72，

故答案为：72．

26．（2020宁夏）（10分）如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF＝，设三角板ABC移动时间为x秒．

（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；
（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
【分析】（1）解直角三角形ABC求得EF＝BC＝3，设CF＝x，可求，，根据三角形面积公式即可求出结论；
（2）根据“S重叠＝S△ABC﹣S△AMQ﹣S△BPF”列出函数关系式，通过配方求解即可．
【解答】解：（1）解：因为Rt△ABC中∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵∠E＝30°，
∴∠EQC＝∠AQM＝60°，
∴△AMQ为等边三角形，
过点M作MN⊥AQ，垂足为点N．

在Rt△ABC中，，
∴EF＝BC＝3，
根据题意可知CF＝x，
∴CE＝EF﹣CF＝3﹣x，
∴，
∴，
而，
∴，
（2）由（1）知BF＝CE＝3﹣x，
∴＝＝，
所以当x＝2时，重叠部分面积最大，最大面积是．
22．（2020黑龙江龙东）（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）将向左平移5个单位得到△，并写出点的坐标；
（2）画出△绕点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△在旋转过程中扫过的面积（结果保留．

【解答】解：（1）如图所示，△即为所求，点的坐标为；

（2）如图所示，△即为所求，点的坐标为；

（3）如图，
，
△在旋转过程中扫过的面积为：．

26．（2020黑龙江龙东）（8分）如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．
（1）与的数量关系是　　．
（2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

【解答】解：（1）如图①中，

，，，，
，，，，
，，，，
，，
，，，
的等腰直角三角形，
，，，
故答案为．

（2）如图②中，结论仍然成立．

理由：连接，延长交于点．
和是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，，

，
，
、、分别为、、的中点，
，，，，
，，
．