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2020年中考数学真题分类汇编14：最值类题试卷
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2020年中考数学真题分类汇编14：最值类题
一、 选择题
1．（2020•成都•10）关于二次函数，下列说法正确的是
A．图象的对称轴在轴的右侧 B．图象与轴的交点坐标为
C．图象与轴的交点坐标为和 D．的最小值为
【解析】二次函数，
该函数的对称轴是直线，在轴的左侧，故选项错误；
当时，，即该函数与轴交于点，故选项错误；
当时，或，即图象与轴的交点坐标为和，故选项错误；
当时，该函数取得最小值，故选项正确；故选：．
2.（2020•贵阳•9）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ）
A. 无法确定 B. C. 1 D. 2
【解析】由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，
根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，故答案为：C．
3．（2020•荆门•12）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）
A．25 B．210 C．62 D．35
【解析】设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），
∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD=m2+22+(m+2)2+42，
∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN=m2+22+(m+2)2+42），
如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，
∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）
P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ=22+62=210，
∴AC+BD的最小值为210．故选：B．
4．（2020•山东泰安•12）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．2+1 B．2+12 C．22+1 D．22-12
【解析】如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB延长线上，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝22，∴CD＝22+1，
∴OM=12CD=2+12，即OM的最大值为2+12；故选：B．
二、 填空题
5．（2020•成都•25）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ．
【解析】连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．
四边形是矩形，，，四边形是矩形，，
，，，
，，，，
当点与重合时，的值最大，此时，，，
，，，，，
，
，，
，，
，，的最小值为，
故答案为，．
6（2020•河南•15）.如图，在扇形中，平分交狐于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为__________．
【分析】如图，先作扇形关于对称的扇形 连接交于，再分别求解的长即可得到答案．
【解析】 最短，则最短，
如图，作扇形关于对称的扇形 连接交于，则
此时点满足最短，
平分
而的长为： 最短为 故答案为：
7.（2020•四川绵阳•17）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则点M到直线BC的距离的最小值为 。
【解析】∵四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4，
∴∠DAC=∠ABC=60°∠DAC=∠CAB=30°，∴∠ACB=90°。
当M在AC上时，M到AC的距离最小。如图：AC=,
在RT△AMD中，AM=AD=4×=2.∴CM=AC-AM=-2=.
8.（2020•无锡•18）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，，相交于点，则面积最大值为__________．
【解析】如图1，作DG∥AC，交BE于点G，
∴，
∵ , ∴
∵ ∴ ，∴
∵AB=4，∴ ，∴若面积最大，则面积最大，
如图2，当点△ABC为等腰直角三角形时，面积最大，为，
∴ 面积最大值为
+
故答案为：
9．（2020•新疆生产建设兵团•15）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 6 ．
【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，依据A与A'关于BC对称，可得AD＝A'D，进而得出AD+DE＝A'D+DE，当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，依据AD+DE的最小值为3，即可得到2AD+CD的最小值为6．
【解析】如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，
∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH=3，AA'＝23，∠C＝30°，
∴Rt△CDE中，DE=12CD，即2DE＝CD，
∵A与A'关于BC对称，
∴AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，
∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，
此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'=32×23=3，
∴AD+DE的最小值为3，即2AD+CD的最小值为6，
故答案为：6．
10．（2020•黑龙江龙东•18）如图，在边长为4的正方形中，将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为 ．
【解析】如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，，．
四边形是正方形，，，，
，，
，关于对称，，，，
，，，共线，，
，，四边形是平行四边形，
，，
，，的最小值为．
11．（2020•江苏连云港•16）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 2 ．
【解析】如图，连接，取的中点，连接，过点作于．
，，，
点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的，设交于．
直线与轴、轴分别交于点、，
，，，，，
，，，
，，，
当点与重合时，△的面积最小，最小值，故答案为2．
12．（2020•徐州•18）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为 92+9 ．
【解析】作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM=12AB=12×6=3，
∴OA=OM2+AM2=32，∴CM＝OC+OM＝32+3，
∴S△ABC=12AB•CM=12×6×（32+3）＝92+9．
故答案为：92+9．
三、 解答题
13．（2020•安徽•22）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．
（1）判断点是否在直线上，并说明理由；
（2）求，的值；
（3）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【解析】（1）点是在直线上，理由如下：
直线经过点，，解得，直线为，
把代入得，点在直线上；
（2）直线与抛物线都经过点，且、两点的横坐标相同，
抛物线只能经过、两点，
把，代入得，解得，；
（3）由（2）知，抛物线为，
设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，，
顶点仍在直线上，，，
抛物线与轴的交点的纵坐标为，
，
当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为．
14．（2020•成都•28）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设抛物线的解析式为．将代入得：，解得，
抛物线的解析式为，即．
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，
，，，，
设直线的解析式为，，解得，
直线的解析式为，，，，
设，则，．
．当，有最大值，最大值是
（3）符合条件的点的坐标为或．
，直线的解析式为，设，
①当点在直线右侧时，如图2，过点作轴于点，过点作直线于点，
，，，，，，
，，
，，
，，，
，，，
，，
，，，，
将点的坐标代入抛物线的解析式得，
解得（舍去）或．．
②当点在直线左侧时，
由①的方法同理可得点的坐标为，．
此时点的坐标为．
15.（2020•福建•25）已知直线交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过两点，交轴于另一点，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线，求证：当时，；
（3）为线段上不与端点重合的点，直线过点且交直线于点，求与面积之和的最小值．
【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，B两点的坐标，再根据BC=4，得出点C的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式；
（2）利用反证法证明即可；
（3）先求出q的值，利用，得出，设，然后用含t的式子表示出的面积，再利用二次函数的性质求解即可．
【解析】（1）对于，
当时，，所以；当时，，，所以，
又因为，所以或，
若抛物线过，则当时，随的增大而减少，不符合题意，舍去．
若抛物线过，则当时，必有随的增大而增大，符合题意．
故可设二次函数的表达式为，
依题意，二次函数的图象过，两点，
所以，解得，所求二次函数的表达式为．
（2）当时，直线与直线不重合，
假设和不平行，则和必相交，设交点为，
由得，
解得，与已知矛盾，所以与不相交，所以．
（3）如图，
因为直线过，所以，
又因为直线，所以，即，
所以，，
所以，所以，
设，则，
，
所以，
所以
所以当时，的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用．
16．(2020•天津•25) 已知点是抛物线（，，为常数，，）与轴的一个交点．
（I）当，时，求该抛物线的顶点坐标；
（II）若抛物线与轴的另一个交点为，与轴的交点为，过点作直线平行于轴，是直线上的动点，是轴上的动点，．
①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求点的坐标；
②取的中点，当为何值时，的最小值是？
【解析】（1）当，时，抛物线的解析式为．
抛物线经过点，．解得．
抛物线的解析式为．
，抛物线的顶点坐标为．
（II）①抛物线经过点和，，
，，．
抛物线的解析式为．
由题意，点，．
过点作于点，由点，得点．
在，，，
．
，．解得．
此时，点，点，有．
点在轴上，在中，
点的坐标为或．
②由是的中点，得
根据题意，点在以点为圆心、为半径的圆上．
由点，点，得，
在中，．
当，即时，满足条件的点落在线段上，
的最小值为，解得；
当，即时，满足条件的点落在线段的延长线上，
的最小值为，解得
当的值为或时，的最小值是
17.（2020•乐山•26）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；
②连结，求的最小值．
【分析】（1）先利用函数图象与x轴交点求出D点坐标，再由求出C点坐标，用待定系数法设交点式，将C点坐标代入即可求解；
（2）①先求出BC的解析式，设E坐标为，则F点坐标为，进而用t表示出的面积，由二次函数性质即可求出最大值；
②过点作于，由可得，由此可知当BPH三点共线时的值最小，即过点作于点，
线段的长就是的最小值，根据面积法求高即可．
【解析】（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，
∵是抛物线的对称轴，∴，
又∵，∴，即，
代入抛物线的解析式，得，解得 ，
∴二次函数的解析式为 或；
（2）①设直线的解析式为 ，∴ ，解得
即直线的解析式为 ，
设E坐标为，则F点坐标为，
∴，
∴的面积，∴，
∴当时，的面积最大，且最大值为；
②如图，连接，根据图形的对称性可知 ，，
∴，过点作于，
则在中，，∴，
再过作于点，则，∴线段长就是最小值，
∵，
又，，即，∴最小值为．
18.（2020重庆A卷•25）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵抛物线过，，∴，∴
∴
（2）设，将点代入，∴
过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F
设点，则，由铅垂定理可得：
∴面积最大值为
（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，
联立上述两式并解得：，故点C（−1，−4）；
设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，
联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；
联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4−）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，
此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，
故点E（1，−3），
综上，点E的坐标为：（−1，2）或或或（1，−3）．
∴存在，
19.（2020重庆A卷•26）如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
【解析】（1）证明如下：∵，∴，
∵，，
∴在和中，∴，
∴，∴，
在中，F为DE中点（同时），，
∴，即为等腰直角三角形，∴，
∵，∴；
（2）由（1）得，，，
∴，
在中，，
∵F为DE中点，∴，
在四边形ADCE中，有，，
∴点A，D，C，E四点共圆，
∵F为DE中点，∴F为圆心，则，
在中，∵，∴F为CG中点，即，
∴，即；
（3）设点P存在，由费马定理可得，
∴，设PD，∴，
又，∴，，，又，∴．
20. （2020重庆B卷•25）如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且A点坐标为(-2,0)，直线BC的解析式为y=-23x+2
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC.求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)向左平移2个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点.在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）易得B(32,0)，C(0,2)，又A(-2,0)，
所以易求抛物线的解析式为y=-13x2+223x+2；
（2）易求AD的解析式为y=-23x-23，进而D(42,-103).CD的解析式为：y=-223x+2.则CD与x轴的交点F为(322,0).所以易求△BCD的面积为42，设E(x, -13x2+223x+2)，则SBECD的面积=12×32×-13x2+223x+2--23x+2+42=-22x2+3x+42，
当x=322时，四边形BECD面积最大，其最大值为2524，此时E(322,52).
（3）存在.N的坐标为(-322，76)，或(-22，52)，或(722，-112).
注：抛物线y=-13x2+223x+2的顶点是(2，0)，设M(2，m)，N(xn，yn)，又A(-2,0)，E(322,52)，易求平移后抛物线解析式为y=-13x2+83.
根据平行四边形对角线互相平分及中点公式.分类：
①当AM为对角线时，则xn+322=2+(-2)，
解得xn=-322，代入解析式得yn=76.
所以N(-322，76)，如图
对角线交点坐标为(0,116)，M坐标为(2,113)
②当AE为对角线时，则xn+2=322+(-2)，
解得xn=-22，代入解析式得yn=52.
所以N(-22，52)，如图
对角线交点坐标为(24,54)，M坐标为(2,0)
③当AN为对角线时，则xn+(-2)=2+322，
解得xn=722，代入解析式得yn=-112.
所以N(722，-112).如图
对角线交点坐标为(524,-114)，M坐标为(2,-8)
21. （2020重庆B卷•26）△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE=23 .以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE中点.
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG ，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN.当30°<α<120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积.
【解析】（1）易得∠CGE=90°，NG=12CE，CD=4，DE=23.答案：NG=7.
（2）∠DNM的为定值120°.连CF，BE，BE交AC于H，DN交AC于G，如图.
易得：BE∥DN，MN∥CF，△ABE≌△ACF.因此∠DGC=∠BHC，∠ENM=∠ECF，∠ABE=∠ACF
又∠BHC=∠ABE+∠BAH=∠ABE+60°，∴∠DGC=∠ABE+60°=∠ACF+60°
又∠DGC=∠DNC+∠GCN=∠DNC+∠ACF-∠ECF，∴∠DNC=60°+∠ECF=60°+∠ENM
∴∠DGE=180°-∠DNC=120°-∠ENM，∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=120°.
（3）△AND的面积为73
如图，取AC中点P，因为BP+PN≥BN，所以当B、P、N在一直线上，BN最大.
易得BN=BP+PN=BP+12AE=43+3=53，设BP与AD交于O，NQ⊥AD于Q，如图.
易得BO=23BP=833，ON=733，BD=4，△ONQ∽△OBD，可求得NQ= 72.
∴△AND的面积为：12×AD×NQ=73.
22．（2020•徐州•26）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【解析】（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
b=-42k+b=0，解得，k=2b=-4，∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，∴点C（3，2），
∵点C在反比例函数的图象上，∴k＝3×2＝6，∴反比例函数的关系式为y=6x，
答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y=6x；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，6n），点Q（n，2n﹣4），∴PQ=6n-（2n﹣4），
∴S△PDQ=12n[6n-（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，
∴当n＝1时，S最大＝4，
答：△DPQ面积的最大值是4．
23．（2020•烟台•25）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），
则x=12=12（2t﹣t），解得：t＝1，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），
则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）；
（3）存在，理由：点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则DEOE=OBOC或OCOB，即DEOE=2或12，即-m2+m+2m=2或12，
解得：m＝1或﹣2（舍去）或1+334或1-334（舍去），
故m＝1或1+334．
24．（2020山东滨州•24）某水果商店销售一种进价为40元千克的优质水果，若售价为50元千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【解析】（1）当售价为55元千克时，每月销售水果千克；
（2）设每千克水果售价为元，
由题意可得：，解得：，，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为元，获得的月利润为元，
由题意可得：，
当时，有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
25．（2020山东滨州•26）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，点为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线是过点且垂直于轴的定直线，若抛物线上的任意一点到直线的距离为，求证：；
（3）已知坐标平面内的点，请在抛物线上找一点，使的周长最小，并求此时周长的最小值及点的坐标．
【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点，可以假设抛物线的解析式为，
抛物线经过，，，抛物线的解析式为．
（2）证明：，，，
，
，，
，，
，．
（3）如图，过点作直线于，过点作直线于．
的周长，是定值，
的值最小时，的周长最小，，，
根据垂线段最短可知，当，，共线时，的值最小，此时点与重合，点在线段上，的最小值为6，周长最小值为，此时．
26．（2020•怀化•24）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标．
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，故C点坐标为（0，﹣3），
又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；
（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1，∴B（3，0），A（﹣1，0），
设直线BC的解析式为：y＝ax+b，代入C（0，﹣3），B（3，0）得：-3=b0=3a+b，
解得a=1b=-3，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，
则S△BCN=S△NQC+S△NQB=12⋅QN⋅(xQ-xC)+12⋅QN⋅(xB-xQ)=12⋅QN⋅(xQ-xC+xB-xQ)=12⋅QN⋅(xB-xC)，（其中xQ，xC，xB分别表示Q，C，B三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，xB﹣xC＝3，
故S△BCN=12⋅(-n2+3n)⋅3=-32n2+92n=-32(n-32)2+278，其中0＜n＜3，
当n=32时，S△BCN有最大值为278，此时点N的坐标为（32，-154），
（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）
分情况讨论：
①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：
线段DG的中点坐标为(xD+xG2，yD+yG2)，即(1+m2，t+m2-2m-32)，
线段BC的中点坐标为(xB+xC2，yB+yC2)，即(3+02，0-32)，
此时DG的中点与BC的中点为同一个点，
∴1+m2=32t+m2-2m-32=-32，解得m=2t=0，
经检验此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为（2，﹣3）；
②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：
线段DB的中点坐标为(xD+xB2，yD+yB2)，即(1+32，t+02)，
线段GC的中点坐标为(xG+xC2，yG+yC2)，即(m+02，m2-2m-3-32)，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
∴1+32=m+02t+02=m2-2m-3-32，解得m=4t=2，
经检验此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为（4，5）；
③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：
线段DC的中点坐标为(xD+xC2，yD+yC2)，即(1+02，t-32)，
线段GB的中点坐标为(xG+xB2，yG+yB2)，即(m+32，m2-2m-3+02)，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
∴1+02=m+32t-32=m2-2m-3+02，解得m=-2t=8，
经检验此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为（﹣2，1）；
综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，1）；
（4）连接AC，OP，如图2所示：设MC的解析式为：y＝kx+m，
代入C（0，﹣3），M（1，﹣4）得-3=m-4=k+m，解得k=-1m=-3
∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴E点坐标为（﹣3，0），
∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，∴CE＝CB，∴∠B＝∠E，
设P（x，﹣x﹣3），又∵P点在线段EC上，∴﹣3＜x＜0，
则EP=(x+3)2+(-x-3)2=2(x+3)，BC=32+32=32，
由题意知：△PEO相似△ABC，
分情况讨论：
①△PEO∽△CBA，∴EOBA=EPBC，∴34=2(x+3)32，
解得x=-34，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为(-34，-94)；
②△PEO∽△ABC，∴EOBC=EPBA，∴332=2(x+3)4，
解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．
综上所述，P点的坐标为(-34，-94)或（﹣1，﹣2）．
一、 选择题
1．（2020•成都•10）关于二次函数，下列说法正确的是
A．图象的对称轴在轴的右侧 B．图象与轴的交点坐标为
C．图象与轴的交点坐标为和 D．的最小值为
【解析】二次函数，
该函数的对称轴是直线，在轴的左侧，故选项错误；
当时，，即该函数与轴交于点，故选项错误；
当时，或，即图象与轴的交点坐标为和，故选项错误；
当时，该函数取得最小值，故选项正确；故选：．
2.（2020•贵阳•9）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ）
A. 无法确定 B. C. 1 D. 2
【解析】由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，
根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，故答案为：C．
3．（2020•荆门•12）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）
A．25 B．210 C．62 D．35
【解析】设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），
∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD=m2+22+(m+2)2+42，
∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN=m2+22+(m+2)2+42），
如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，
∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）
P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ=22+62=210，
∴AC+BD的最小值为210．故选：B．
4．（2020•山东泰安•12）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．2+1 B．2+12 C．22+1 D．22-12
【解析】如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB延长线上，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝22，∴CD＝22+1，
∴OM=12CD=2+12，即OM的最大值为2+12；故选：B．
二、 填空题
5．（2020•成都•25）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ．
【解析】连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．
四边形是矩形，，，四边形是矩形，，
，，，
，，，，
当点与重合时，的值最大，此时，，，
，，，，，
，
，，
，，
，，的最小值为，
故答案为，．
6（2020•河南•15）.如图，在扇形中，平分交狐于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为__________．
【分析】如图，先作扇形关于对称的扇形 连接交于，再分别求解的长即可得到答案．
【解析】 最短，则最短，
如图，作扇形关于对称的扇形 连接交于，则
此时点满足最短，
平分
而的长为： 最短为 故答案为：
7.（2020•四川绵阳•17）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则点M到直线BC的距离的最小值为 。
【解析】∵四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4，
∴∠DAC=∠ABC=60°∠DAC=∠CAB=30°，∴∠ACB=90°。
当M在AC上时，M到AC的距离最小。如图：AC=,
在RT△AMD中，AM=AD=4×=2.∴CM=AC-AM=-2=.
8.（2020•无锡•18）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，，相交于点，则面积最大值为__________．
【解析】如图1，作DG∥AC，交BE于点G，
∴，
∵ , ∴
∵ ∴ ，∴
∵AB=4，∴ ，∴若面积最大，则面积最大，
如图2，当点△ABC为等腰直角三角形时，面积最大，为，
∴ 面积最大值为
+
故答案为：
9．（2020•新疆生产建设兵团•15）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 6 ．
【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，依据A与A'关于BC对称，可得AD＝A'D，进而得出AD+DE＝A'D+DE，当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，依据AD+DE的最小值为3，即可得到2AD+CD的最小值为6．
【解析】如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，
∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH=3，AA'＝23，∠C＝30°，
∴Rt△CDE中，DE=12CD，即2DE＝CD，
∵A与A'关于BC对称，
∴AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，
∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，
此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'=32×23=3，
∴AD+DE的最小值为3，即2AD+CD的最小值为6，
故答案为：6．
10．（2020•黑龙江龙东•18）如图，在边长为4的正方形中，将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为 ．
【解析】如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，，．
四边形是正方形，，，，
，，
，关于对称，，，，
，，，共线，，
，，四边形是平行四边形，
，，
，，的最小值为．
11．（2020•江苏连云港•16）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 2 ．
【解析】如图，连接，取的中点，连接，过点作于．
，，，
点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的，设交于．
直线与轴、轴分别交于点、，
，，，，，
，，，
，，，
当点与重合时，△的面积最小，最小值，故答案为2．
12．（2020•徐州•18）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为 92+9 ．
【解析】作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM=12AB=12×6=3，
∴OA=OM2+AM2=32，∴CM＝OC+OM＝32+3，
∴S△ABC=12AB•CM=12×6×（32+3）＝92+9．
故答案为：92+9．
三、 解答题
13．（2020•安徽•22）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．
（1）判断点是否在直线上，并说明理由；
（2）求，的值；
（3）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【解析】（1）点是在直线上，理由如下：
直线经过点，，解得，直线为，
把代入得，点在直线上；
（2）直线与抛物线都经过点，且、两点的横坐标相同，
抛物线只能经过、两点，
把，代入得，解得，；
（3）由（2）知，抛物线为，
设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，，
顶点仍在直线上，，，
抛物线与轴的交点的纵坐标为，
，
当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为．
14．（2020•成都•28）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设抛物线的解析式为．将代入得：，解得，
抛物线的解析式为，即．
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，
，，，，
设直线的解析式为，，解得，
直线的解析式为，，，，
设，则，．
．当，有最大值，最大值是
（3）符合条件的点的坐标为或．
，直线的解析式为，设，
①当点在直线右侧时，如图2，过点作轴于点，过点作直线于点，
，，，，，，
，，
，，
，，，
，，，
，，
，，，，
将点的坐标代入抛物线的解析式得，
解得（舍去）或．．
②当点在直线左侧时，
由①的方法同理可得点的坐标为，．
此时点的坐标为．
15.（2020•福建•25）已知直线交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过两点，交轴于另一点，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线，求证：当时，；
（3）为线段上不与端点重合的点，直线过点且交直线于点，求与面积之和的最小值．
【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，B两点的坐标，再根据BC=4，得出点C的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式；
（2）利用反证法证明即可；
（3）先求出q的值，利用，得出，设，然后用含t的式子表示出的面积，再利用二次函数的性质求解即可．
【解析】（1）对于，
当时，，所以；当时，，，所以，
又因为，所以或，
若抛物线过，则当时，随的增大而减少，不符合题意，舍去．
若抛物线过，则当时，必有随的增大而增大，符合题意．
故可设二次函数的表达式为，
依题意，二次函数的图象过，两点，
所以，解得，所求二次函数的表达式为．
（2）当时，直线与直线不重合，
假设和不平行，则和必相交，设交点为，
由得，
解得，与已知矛盾，所以与不相交，所以．
（3）如图，
因为直线过，所以，
又因为直线，所以，即，
所以，，
所以，所以，
设，则，
，
所以，
所以
所以当时，的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用．
16．(2020•天津•25) 已知点是抛物线（，，为常数，，）与轴的一个交点．
（I）当，时，求该抛物线的顶点坐标；
（II）若抛物线与轴的另一个交点为，与轴的交点为，过点作直线平行于轴，是直线上的动点，是轴上的动点，．
①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求点的坐标；
②取的中点，当为何值时，的最小值是？
【解析】（1）当，时，抛物线的解析式为．
抛物线经过点，．解得．
抛物线的解析式为．
，抛物线的顶点坐标为．
（II）①抛物线经过点和，，
，，．
抛物线的解析式为．
由题意，点，．
过点作于点，由点，得点．
在，，，
．
，．解得．
此时，点，点，有．
点在轴上，在中，
点的坐标为或．
②由是的中点，得
根据题意，点在以点为圆心、为半径的圆上．
由点，点，得，
在中，．
当，即时，满足条件的点落在线段上，
的最小值为，解得；
当，即时，满足条件的点落在线段的延长线上，
的最小值为，解得
当的值为或时，的最小值是
17.（2020•乐山•26）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；
②连结，求的最小值．
【分析】（1）先利用函数图象与x轴交点求出D点坐标，再由求出C点坐标，用待定系数法设交点式，将C点坐标代入即可求解；
（2）①先求出BC的解析式，设E坐标为，则F点坐标为，进而用t表示出的面积，由二次函数性质即可求出最大值；
②过点作于，由可得，由此可知当BPH三点共线时的值最小，即过点作于点，
线段的长就是的最小值，根据面积法求高即可．
【解析】（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，
∵是抛物线的对称轴，∴，
又∵，∴，即，
代入抛物线的解析式，得，解得 ，
∴二次函数的解析式为 或；
（2）①设直线的解析式为 ，∴ ，解得
即直线的解析式为 ，
设E坐标为，则F点坐标为，
∴，
∴的面积，∴，
∴当时，的面积最大，且最大值为；
②如图，连接，根据图形的对称性可知 ，，
∴，过点作于，
则在中，，∴，
再过作于点，则，∴线段长就是最小值，
∵，
又，，即，∴最小值为．
18.（2020重庆A卷•25）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵抛物线过，，∴，∴
∴
（2）设，将点代入，∴
过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F
设点，则，由铅垂定理可得：
∴面积最大值为
（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，
联立上述两式并解得：，故点C（−1，−4）；
设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，
联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；
联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4−）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，
此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，
故点E（1，−3），
综上，点E的坐标为：（−1，2）或或或（1，−3）．
∴存在，
19.（2020重庆A卷•26）如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
【解析】（1）证明如下：∵，∴，
∵，，
∴在和中，∴，
∴，∴，
在中，F为DE中点（同时），，
∴，即为等腰直角三角形，∴，
∵，∴；
（2）由（1）得，，，
∴，
在中，，
∵F为DE中点，∴，
在四边形ADCE中，有，，
∴点A，D，C，E四点共圆，
∵F为DE中点，∴F为圆心，则，
在中，∵，∴F为CG中点，即，
∴，即；
（3）设点P存在，由费马定理可得，
∴，设PD，∴，
又，∴，，，又，∴．
20. （2020重庆B卷•25）如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且A点坐标为(-2,0)，直线BC的解析式为y=-23x+2
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC.求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)向左平移2个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点.在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）易得B(32,0)，C(0,2)，又A(-2,0)，
所以易求抛物线的解析式为y=-13x2+223x+2；
（2）易求AD的解析式为y=-23x-23，进而D(42,-103).CD的解析式为：y=-223x+2.则CD与x轴的交点F为(322,0).所以易求△BCD的面积为42，设E(x, -13x2+223x+2)，则SBECD的面积=12×32×-13x2+223x+2--23x+2+42=-22x2+3x+42，
当x=322时，四边形BECD面积最大，其最大值为2524，此时E(322,52).
（3）存在.N的坐标为(-322，76)，或(-22，52)，或(722，-112).
注：抛物线y=-13x2+223x+2的顶点是(2，0)，设M(2，m)，N(xn，yn)，又A(-2,0)，E(322,52)，易求平移后抛物线解析式为y=-13x2+83.
根据平行四边形对角线互相平分及中点公式.分类：
①当AM为对角线时，则xn+322=2+(-2)，
解得xn=-322，代入解析式得yn=76.
所以N(-322，76)，如图
对角线交点坐标为(0,116)，M坐标为(2,113)
②当AE为对角线时，则xn+2=322+(-2)，
解得xn=-22，代入解析式得yn=52.
所以N(-22，52)，如图
对角线交点坐标为(24,54)，M坐标为(2,0)
③当AN为对角线时，则xn+(-2)=2+322，
解得xn=722，代入解析式得yn=-112.
所以N(722，-112).如图
对角线交点坐标为(524,-114)，M坐标为(2,-8)
21. （2020重庆B卷•26）△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE=23 .以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE中点.
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG ，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN.当30°<α<120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积.
【解析】（1）易得∠CGE=90°，NG=12CE，CD=4，DE=23.答案：NG=7.
（2）∠DNM的为定值120°.连CF，BE，BE交AC于H，DN交AC于G，如图.
易得：BE∥DN，MN∥CF，△ABE≌△ACF.因此∠DGC=∠BHC，∠ENM=∠ECF，∠ABE=∠ACF
又∠BHC=∠ABE+∠BAH=∠ABE+60°，∴∠DGC=∠ABE+60°=∠ACF+60°
又∠DGC=∠DNC+∠GCN=∠DNC+∠ACF-∠ECF，∴∠DNC=60°+∠ECF=60°+∠ENM
∴∠DGE=180°-∠DNC=120°-∠ENM，∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=120°.
（3）△AND的面积为73
如图，取AC中点P，因为BP+PN≥BN，所以当B、P、N在一直线上，BN最大.
易得BN=BP+PN=BP+12AE=43+3=53，设BP与AD交于O，NQ⊥AD于Q，如图.
易得BO=23BP=833，ON=733，BD=4，△ONQ∽△OBD，可求得NQ= 72.
∴△AND的面积为：12×AD×NQ=73.
22．（2020•徐州•26）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【解析】（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
b=-42k+b=0，解得，k=2b=-4，∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，∴点C（3，2），
∵点C在反比例函数的图象上，∴k＝3×2＝6，∴反比例函数的关系式为y=6x，
答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y=6x；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，6n），点Q（n，2n﹣4），∴PQ=6n-（2n﹣4），
∴S△PDQ=12n[6n-（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，
∴当n＝1时，S最大＝4，
答：△DPQ面积的最大值是4．
23．（2020•烟台•25）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），
则x=12=12（2t﹣t），解得：t＝1，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），
则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）；
（3）存在，理由：点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则DEOE=OBOC或OCOB，即DEOE=2或12，即-m2+m+2m=2或12，
解得：m＝1或﹣2（舍去）或1+334或1-334（舍去），
故m＝1或1+334．
24．（2020山东滨州•24）某水果商店销售一种进价为40元千克的优质水果，若售价为50元千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【解析】（1）当售价为55元千克时，每月销售水果千克；
（2）设每千克水果售价为元，
由题意可得：，解得：，，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为元，获得的月利润为元，
由题意可得：，
当时，有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
25．（2020山东滨州•26）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，点为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线是过点且垂直于轴的定直线，若抛物线上的任意一点到直线的距离为，求证：；
（3）已知坐标平面内的点，请在抛物线上找一点，使的周长最小，并求此时周长的最小值及点的坐标．
【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点，可以假设抛物线的解析式为，
抛物线经过，，，抛物线的解析式为．
（2）证明：，，，
，
，，
，，
，．
（3）如图，过点作直线于，过点作直线于．
的周长，是定值，
的值最小时，的周长最小，，，
根据垂线段最短可知，当，，共线时，的值最小，此时点与重合，点在线段上，的最小值为6，周长最小值为，此时．
26．（2020•怀化•24）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标．
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，故C点坐标为（0，﹣3），
又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；
（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1，∴B（3，0），A（﹣1，0），
设直线BC的解析式为：y＝ax+b，代入C（0，﹣3），B（3，0）得：-3=b0=3a+b，
解得a=1b=-3，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，
则S△BCN=S△NQC+S△NQB=12⋅QN⋅(xQ-xC)+12⋅QN⋅(xB-xQ)=12⋅QN⋅(xQ-xC+xB-xQ)=12⋅QN⋅(xB-xC)，（其中xQ，xC，xB分别表示Q，C，B三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，xB﹣xC＝3，
故S△BCN=12⋅(-n2+3n)⋅3=-32n2+92n=-32(n-32)2+278，其中0＜n＜3，
当n=32时，S△BCN有最大值为278，此时点N的坐标为（32，-154），
（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）
分情况讨论：
①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：
线段DG的中点坐标为(xD+xG2，yD+yG2)，即(1+m2，t+m2-2m-32)，
线段BC的中点坐标为(xB+xC2，yB+yC2)，即(3+02，0-32)，
此时DG的中点与BC的中点为同一个点，
∴1+m2=32t+m2-2m-32=-32，解得m=2t=0，
经检验此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为（2，﹣3）；
②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：
线段DB的中点坐标为(xD+xB2，yD+yB2)，即(1+32，t+02)，
线段GC的中点坐标为(xG+xC2，yG+yC2)，即(m+02，m2-2m-3-32)，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
∴1+32=m+02t+02=m2-2m-3-32，解得m=4t=2，
经检验此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为（4，5）；
③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：
线段DC的中点坐标为(xD+xC2，yD+yC2)，即(1+02，t-32)，
线段GB的中点坐标为(xG+xB2，yG+yB2)，即(m+32，m2-2m-3+02)，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
∴1+02=m+32t-32=m2-2m-3+02，解得m=-2t=8，
经检验此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为（﹣2，1）；
综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，1）；
（4）连接AC，OP，如图2所示：设MC的解析式为：y＝kx+m，
代入C（0，﹣3），M（1，﹣4）得-3=m-4=k+m，解得k=-1m=-3
∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴E点坐标为（﹣3，0），
∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，∴CE＝CB，∴∠B＝∠E，
设P（x，﹣x﹣3），又∵P点在线段EC上，∴﹣3＜x＜0，
则EP=(x+3)2+(-x-3)2=2(x+3)，BC=32+32=32，
由题意知：△PEO相似△ABC，
分情况讨论：
①△PEO∽△CBA，∴EOBA=EPBC，∴34=2(x+3)32，
解得x=-34，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为(-34，-94)；
②△PEO∽△ABC，∴EOBC=EPBA，∴332=2(x+3)4，
解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．
综上所述，P点的坐标为(-34，-94)或（﹣1，﹣2）．
