河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业2 练习
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一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知集合，，则
A. B.
C. D.
- 已知其中i为虚数单位，则的虚部为
A. B. C. 1 D. 2
- 在等比数列中， ，前n项和为 ，若数列也是等比数列，则等于
A. B. 3n C. 2n D.
- 若，是第三象限的角，则
A. B. C. 2 D.
- 勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为
A. B. C. D.
- 已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
A. B. C. 40 D. 80
- 现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如图两个等高堆积条形图，根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论不正确的是
A. 样本中的女生数量多于男生数量
B. 样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量
C. 样本中的男生偏爱理科
D. 样本中的女生偏爱文科
- 抛物线的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，，垂足为K，则的面积是
A. 4 B. C. D. 8
- 在平行四边形ABCD中，，，，，若，则
A. B. C. D.
- 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，F分别为椭圆的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为
A. B. C. D. 或
- 设函数的图象与的图象关于对称，且，则
A. B. 1 C. 2 D. 4
- 设O是正三棱锥底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式
A. 有最大值而无最小值
B. 有最小值而无最大值
C. 既有最大值又有最小值，两者不等
D. 是一个与面QPS无关的常数
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 在数列中，，则的值为______．
- 已知函数的图象关于直线对称，则______．
- 在三棱锥中，平面平面ABC，是边长为6的等边三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为______．
- 已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
- 工程队将从A到D修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据C，D在同一水平面内，求A，D之间的距离．
- 已知四棱锥，底面ABCD为菱形，，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且平面AMHN．
证明：；
当H为PC的中点，，PA与平面ABCD所成的角为，求AD与平面AMHN所成角的正弦值．
- 在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆过点．
求椭圆C的标准方程；
若直线上存在点G，且过点G的椭圆C的两条切线相互垂直，求实数m的取值范围．
- 某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数万人与年份x的数据：
第x年 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
旅游人数万人 | 300 | 283 | 321 | 345 | 372 | 435 | 486 | 527 | 622 | 800 |
该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：
模型：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程；
模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．
根据表中数据，求模型的回归方程精确到个位，b精确到．
根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数单位：万人，精确到个位．
回归方程 | ||
30407 | 14607 |
参考公式、参考数据及说明：
对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．
刻画回归效果的相关指数．
参考数据：，．
449 | 83 | 4195 |
表中．
- 已知函数．
求曲线在处的切线方程；
函数在区间上有零点，求k的值；
若不等式对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合．
- 在平面直角坐标系xOy中，曲线的方程为，直线l的参数方程为为参数，若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线．
写出曲线的参数方程；
设点，直线l与曲线的两个交点分别为A，B，求的值．
- 已知实数正数x，y满足．
解关于x的不等式；
证明：．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．
求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．
【解答】
解：由A中，
得到，
即，解得：，
即，
由B中不等式变形得：，
解得：，即，
则，
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：，
，
则的虚部为．
故选：B．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
根据数列为等比可设出的通项公式，因数列也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出．
本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力．
【解答】
解：因数列为等比，则，
因数列也是等比数列，
则
即，
所以，
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力，属于基础题．
将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．
【解答】
解：由，是第三象限的角，
可得，
则，
故选A．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出相对应的面积，属于基础题．
设正三角形ABC的边长为2，先求出，，即可求出，根据几何概型的概率公式计算即可．
【解答】
解：如图，
设，以B为圆心的扇形的面积为，
的面积为，
勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，
即为，
故勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为：．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了二项式定理及二项式展开式通项公式，属中档题．由二项式定理及二项式展开式通项公式得：易得，
则展开式的通项为，则展开式中常数项为，得解．
【解答】
解：令得，
解得，
则展开式的通项为，
则展开式中常数项为．
故选D．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等高堆积条形图，考查学生对图形的认识，比较基础．
根据这两幅图中的信息，即可得出结论．
【解答】
解：由图1知，样本中的女生数量多于男生数量；
由图2知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，样本中的男生偏爱理科；女生选理科的人数略多于选文科的人数，
故A，B，C，正确，D错误．
故选D．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断为等边三角形是解题的关键．
【解答】
解：由抛物线的定义可得，
的斜率等于，的倾斜角等于，，
，故为等边三角形．
又焦点，AF的方程为，
设，，
由得，
，故等边三角形的边长，
的面积是，
故选C．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平面向量线性运算及平面向量数量积运算，属中档题．
由平面向量线性运算及平面向量数量积运算得：
，所以，所以，即，又，所以，得解．
【解答】
解：因为，，，，
所以
，
所以，
即，
即，
又，
所以，
故选：C．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设，则，，，则根据Q，F，M三点共线，可得，利用斜率计算公式即可得出．
【解答】
解：设，则，．
，，则．
，F，M三点共线，
，
，
化为：，
．
故选A．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题．
先求出与的反函数的解析式，再由题意的图象与的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数的解析式，问题得以解决．
【解答】
解：与的图象关于对称的图象是的反函数，
，
即，．
函数的图象与的图象关于对称，
，，
，
，
解得，
故选：C．
12.【答案】D
【解析】解：设正三棱锥中，各侧棱两两夹角为，PC与面PAB所成角为，
则．
另一方面，记O到正三棱锥各侧面的距离为d，
则，
即
，
故有：，
即常数．
故选：D．
设正三棱锥中，各侧棱两两夹角为，PC与面PAB所成角为，则，记O到各面的距离为d，利用，可得：，由此可得结论．
本题考查三棱锥体积的计算，考查学生的探究能力，正确求体积是关键，是中档题．
13.【答案】1
【解析】【分析】
本题主要考查数列的递推公式的应用，涉及数列的求和，属于基础题．根据题意，将变形可得，利用“累加法”得到答案．
【解答】
解：根据题意，数列中，，
变形可得，
则
．
故答案为1．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识要点为三角函数的关系式的变换，对称性的应用及诱导公式，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
直接利用函数的关系式的对称性的应用求出正切值，进一步求出结果．
【解答】
解：函数的图象关于直线对称，
所以：，
所以：，
即：，
解得：，
所以：．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．
由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案．
【解答】
解：如图，在等边三角形ABC中，设其中心为O，取AB中点F，
由，得．
是以AB为斜边的等腰直角三角形，
为的外心，则O为棱锥的外接球球心，
则外接球半径．
该三棱锥外接球的表面积为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数零点及计算能力，考查了数形结合思想，属于中档题．
当方程恰有两个不同的实数根，时，，则有，其中，则令，，利用导数求解．
【解答】
解：函数的图象如下：
当方程恰有两个不同的实数根，时，，
则有，其中，
则，
令，，
，
可得在递增，在递减，
的最大值是．
的最大值是．
故答案为：．
17.【答案】解：连接AC，
在，
．
，
在三角形ACD中，
．
【解析】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力，是中档题．
连接AC，利用勾股定理求出AC，然后在三角形ACD中利用余弦定理求解AD即可．
18.【答案】证明：连结AC、BD且，连结PO．
因为，ABCD为菱形，所以，，
且O为BD的中点，
又因为，所以，，
因为且AC、平面PAC，
所以平面PAC，
因为平面PAC，
所以，
因为平面AMHN，
且平面平面，
平面PBD，
所以，
所以，．
解：由知且，
因为，且O为AC的中点，
所以，，
，平面ABCD，
所以，平面ABCD，
所以PA与平面ABCD所成的角为，所以，
所以，，，因为，，所以，．
以，，分别为x，y，z轴，如图所示建立空间直角坐标系．
记，所以，0，，0，，，0，，，，，
所以，，，．
记平面AMHN的法向量为，
所以，，即，
令，解得，，
所以，，
记AD与平面AMHN所成角为，
所以，．
所以，AD与平面AMHN所成角的正弦值为．
【解析】连结AC、BD且，连结推导出，，从而平面PAC，，推导出，平面PAC，由此能证明．
由且，得，平面ABCD，从而PA与平面ABCD所成的角为，以，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与平面AMHN所成角的正弦值．
本题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
19.【答案】解：由题意，椭圆过点且其离心率为，
解得，又，解得
所以椭圆C的标准方程为，
当过点G的椭圆C的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y轴，易得；
当过点G的椭圆C的切线的斜率均存在时，设
切线方程为，
代入椭圆方程得，，
化简得：，
由此得，
设过点G的椭圆C的切线的斜率分别为，，所以．
因为两条切线相互垂直，所以，即，
由知G在圆上，又点G在直线上，
所以直线与圆有公共点，
所以，所以，
综上所述，m的取值范围为．
【解析】根据题意，分析可得解得a、b的值，代入椭圆的方程即可得答案；
根据题意，分过点G的椭圆C的切线的斜率存在与不存在2种情况讨论，求出m的取值范围，综合即可得答案．
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程以及几何性质，属于综合题．
20.【答案】解：对取对数，得，
设，，先建立u关于x的线性回归方程．
，
，
，
模型的回归方程为；
由表格中的数据，有，
即，
即，
，
模型的相关指数小于模型的，说明回归模型的拟合效果更好，
2021年时，，
预测旅游人数为
万人．
【解析】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．
对取对数，得，设，，先建立u关于x的线性回归方程．求得的值，再求出，即可得到模型的回归方程；
由表格中的数据，有，即，得到，说明模型的相关指数小于模型的，说明回归模型的拟合效果更好在中的回归方程中，取，求得y值，即可预测2021年该景区的旅游人数．
21.【答案】解：，切线斜率为，
又，切点为，
切线方程为；
令，得，
当时，，函数单调递减；
当时， 0'/>，函数单调递增，
所以的极小值为，又，
在区间上存在一个零点，此时；
，，
在区间上存在一个零点，此时．
综上，k的值为0或3；
当时，不等式为，显然恒成立，此时；
当时，不等式可化为，
令，则，
由可知，函数在上单调递减，且存在一个零点，
此时，即，
当时，，即 0'/>，函数单调递增；
当时，，即，函数单调递减．
有极大值即最大值为
，于是．
当时，不等式可化为，
由可知，函数在上单调递增，且存在一个零点，
同理可得．
综上可知．
又，，
正整数m的取值集合为2，．
【解析】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，体现了数学转化思想方法，属难题．
求出原函数在处的导数，得到切线斜率，再求出切点坐标，利用直线方程点斜式得答案；
利用导数研究原函数的单调性，结合函数零点的判定得到原函数的零点所在区间，则k值可求；
当时，对于任意，不等式恒成立；当时，不等式化为，令，由可知，函数在上单调递减，且存在一个零点，得到有极大值即最大值为，于是当时，不等式化为，由可知，函数在上单调递增，且存在一个零点，得则结合，，可得正整数m的取值集合为2，．
22.【答案】解：曲线的方程为，
若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线．
曲线的直角坐标方程为，整理得，
曲线的参数方程为为参数．
将直线l的参数方程化为标准形式为为参数，
将参数方程代入，得，
整理得，
，，
．
【解析】本题考查曲线的参数方程的求法，考查两线段长的倒数之和的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
推导出曲线的直角坐标方程，由此能求出曲线的参数方程．
将直线l的参数方程化为标准形式，将参数方程代入，得，由根与系数的关系可求的值．
23.【答案】解：正数x，y满足，
由不等式，得
，
，
不等式的解集为．
正数x，y满足，
，
当且仅当时取等号．
【解析】利用x的取值，去掉绝对值符号，求解绝对值不等式即可．
利用已知条件，通过“1”的代换以及基本不等式求解表达式的最小值，证明不等式即可．
不等式选讲本小题考查绝对值不等式、基本不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等，属基础题．
