河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业8 练习
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一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知集合3，，集合，若，则实数m的取值集合为
A. B. C. D.
- 设i是虚数单位，若复数，则复数z的模为
A. 1 B. C. D.
- 设命题p：，，则为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
- 近年来．随着计划生育政策效果的逐步显现以及老龄化的加剧，我国经济发展的“人口红利”在逐渐消退，在当前形势下，很多二线城市开始了“抢人大战”，自2018年起，像西安、南京等二线城市人才引进与落户等政策放宽力度空前，至2019年发布各种人才引进与落户等政策的城市已经有16个．某二线城市与2018年初制定人才引进与落户新政即放宽政策，以下简称新政：硕士研究生及以上可直接落户并享有当地政府依法给与的住房补贴，本科学历毕业生可以直接落户，专科学历毕业生在当地工作两年以上可以落户．高中及以下学历人员在当地工作10年以上可以落户．新政执行一年，2018年全年新增落户人口较2017年全年增加了一倍，为了深入了解新增落户人口结构及变化情况，相关部门统计了该市新政执行前一年即2017年与新政执行一年即2018年新增落户人口学历构成比例，得到如饼图：则下面结论中错误的是
A. 新政实施后，新增落户人员中本科生已经超过半数
B. 新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口减少
C. 新政对硕士研究生及以上的新增落户人口数量暂时未产生影响
D. 新政对专科生在该市落实起到了积极的影响
- 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为
A. 7 B. 10 C. 12 D. 22
- 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积
A.
B.
C.
D.
|
- 当点到直线的距离最大值时，m的值为
A. B. 0 C. D. 1
- 某次测量发现一组数据具有较强的相关性，并计算得，其中数据因书写不清楚，只记得，是上的一个值，则该数据对应的残差残差真实值预测值的绝对值不大于的概率为
A. B. C. D.
- 函数的图象大致是
A. B. C. D.
- 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若为锐角三角形，且满足，，则等式成立的是
A. B. C. D.
- 已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线与抛物线C交于A，B两点，直线与抛物线C交于M，N点，若与直线的斜率的乘积为，则的最小值为
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
- 已知函数为自然对数的底数，若存在实数，，使得，且，则实数a的最大值为
A. B. C. D. 1
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 某篮球运动员罚篮命中率为，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则______．
- 为正整数的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含x项的系数是______．
- ，均为单位向量，且它们的夹角为，设，满足，，则的最小值为______．
- 如图所示，正方体的棱长为1，M，N为线段BC，上的动点，过点，M，N的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的是______
当且时，S为等腰梯形；
当M，N分别为BC，的中点时，几何体的体积为；
当M为BC中点且时，S与的交点为R，满足；
当M为BC中点且时，S为五边形；
当且时，S的面积．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
- 已知数列是公比为的正项等比数列，是公差d为负数的等差数列，满足，，．
求数列的公比q与数列的通项公式；
求数列的前10项和．
- 伴随着科技的迅速发展，国民对“5G”一词越来越熟悉，“5G”全称是第五代移动电话行动通信标准，也称第五代移动通信技术．2017年12月10日，工信部正式对外公布，已向中国电倌、中国移动、中国联通发放了5G系统中低频率使用许可．2019年2月18日上海虹桥火车站正式启动5G网络建设．为了了解某市市民对“5G”的关注情况，通过问卷调查等方式研究市民对该市300万人口进行统计分析，数据分析结果显示：约的市民“掌握一定5G知识即问卷调查分数在80分以上”将这部分市民称为“5G爱好者”某机构在“5G爱好者”中随机抽取了年龄在岁之间的100人按照年龄分布如图所示，其分组区间为：，，，，，．
求频率直方图中的a的值；
估计全市居民中35岁以上的“5G爱好者”的人数；
若该市政府制定政策：按照年龄从小到大，选拔的“5G爱好者”进行5G的专业知识深度培养，将当选者称成按照上述政策及频率分布直方图，估计该市“5G达人”的年龄上限．
- 如图，在多面体ABCDEF中，平面平面四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且，是边长为1的等边三角形，M为线段BD中点，．
求证：；
求直线MF与平面CDE所成角的正弦值；
线段BD上是否存在点N，使得直线平面AFN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
- 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为，，直线的斜率为，点P，Q在椭圆E上，其中P是椭圆上一动点，Q点坐标为．
求椭圆E的标准方程；
作直线l与x轴垂直，交椭圆于H，K两点K两点均不与P点重合，直线PH，PK与x轴分别交于点M，求的最小值及取得最小值时点P的坐标．
- 已知函数．
讨论的单调性；
令，当，时，证明：．
- 在直角坐标系xOy中，，，以O为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：
求曲线C的直角坐标方程；
动点P是曲线C在第一象限的点，当四边形OAPB的面积最大时，求点P的直角坐标．
- 已知函数．
若，求x的取值范围；
在的条件下，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了集合的包含关系的简单应用，属于基础试题．
若，则，即可求解满足条件的m
【解答】
解：3，，，
若，
则
或
实数m的取值集合为
故选：C．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数模的求法，是基础题．
直接利用复数模的计算公式求解．
【解答】
解：，
．
故选D．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查含有一个量词的命题的否定．是基本知识的考查．
全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】
解：由全称命题的否定是特称命题．可知命题p：，，则是：：，．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了对图表信息的处理及简单的合情推理，属中档题．
先对图表信息进行处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．
【解答】
解：由该市新政执行前一年即2017年与新政执行一年即2018年新增落户人口学历构成比例的饼图可知：
选项A，C，D正确，
对于选项B，设2017年全国落户m人，则2018年全国落户2m人，
则2017年高中及以下学历人员落户人，2018年高中及以下学历人员落户人，
故新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口增加，
故选项B错误，
故选：B．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查递推式的应用，属于基础题．
本题可根据递推式逐步计算．
【解答】
解：由题意，可知：
，
，
．
故选A．
6.【答案】D
【解析】解：由三视图知，该几何体是由半径为1高为1的圆柱与一个半圆柱组成的几何体，
表面积为．
故选：D．
通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据直接求解几何体的表面积即可．
本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力与空间想象能力．
7.【答案】C
【解析】解：直线可化为，
由直线点斜式方程可知直线恒过定点且斜率为m，
结合图象可知当PQ与直线垂直时，点到直线距离最大，
此时，解得，
故选：C．
可得直线过定点，，结合图象可知当PQ与直线垂直时，点到直线距离最大，由直线的垂直关系可得m．
本题考查点到直线的距离公式，得出垂直时点到直线距离最大是解决问题的关键，属基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意，其预估值为，
该数据对应的残差的绝对值不大于时，，
其概率可由几何概型求得，
即该数据对应的残差的绝对值不大于的概率．
故选：C．
求出预测值，再求出该数据对应的残差的绝对值不大于1时的取值范围，用几何概型解答．
本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的图象与图象变换，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
由函数为偶函数排除C，再由指数函数的性质排除B，D，则答案可求．
【解答】
解：由，得，
可得为偶函数，排除C；
当时，，，，
结合“指数爆炸”可得，排除B，D．
故选：A．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得，即可得解．
【解答】
解：为锐角三角形，且，
，
，
，
，
．
故选：B．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，属中档题．
设直线的方程为：，将其代入可得：，根据韦达定理以及抛物线的定义可求得，同理可求得，然后相加利用基本不等式可得最小值．
【解答】
解：因为，
由题意可设直线的方程为：，
将其代入可得：，
设，，，，
，
与的斜率的乘积为，
的斜率为，
同理可得，
．
当且仅当时取等号．
故选：B．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用函数求导研究参数的范围问题，属于较难题．
本题关键点是先求出，确定的范围，再利用参数分离法求出a的最大值．
【解答】
解：显然函数是单调递增函数，，故，
又，且，所以，
因为，
令，，
由，得，即，
设，，
对于在上递减函数，最大值为，所以，
单调递减，，所以a的最大值为．
故选A．
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了二项分布期望、方差的计算问题，是基础题．
根据题意知随机变量，计算即可．
【解答】
解：由题意知，随机变量，
则．
故答案为：或
14.【答案】
【解析】解：由为正整数的展开式中各项的二项式系数之和为128，
所以，
所以，
则的展开式中含x项为，
即其展开式中含x项的系数是，
故答案为：．
由二项式定理及展开式的项得：的展开式中含x项为，得解．
本题考查了二项式定理及展开式的项，属中档题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量模的几何意义及点的轨迹，属中档题．
由向量模的几何意义及点的轨迹得：在平面中所对应的点A在以为圆心，为半径的圆上运动，在平面中所对应的点B在直线上运动，则的几何意义为点A到点B的距离，则的最小值为，得解．
【解答】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由，均为单位向量，且它们的夹角为，
则设，，
又满足，则在平面中所对应的点A在以为圆心，为半径的圆上运动，
又，则在平面中所对应的点B在直线上运动，
则的几何意义为点A到点B的距离，
由图可知，
即的最小值为，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
利用空间直线的位置关系，作辅助线，以及柱体，锥体的体积和表面积公式进行计算，对选项逐一分析，利用命题真假进行判断即可．
【解答】
解：对于，如图1所示，
当且时，由面面平行的性质定理可得，
交线，且，，
所以截面S为等腰梯形，正确；
对于，如图2，取的中点为H，连接NH．
，
则，
即几何体的体积为
；
当时，延长，MN交于G，连接AG交于R，如图，
由∽，可得，
由∽，故可得，故错误；
当M为BC中点时，N与重合，取AB中点为E，如图：
此时的截面形状为，显然为四边形，故错误；
当且时，取，则如图：
当时，N与重合，
可知截面为即为截面且为等腰梯形，故其面积为
，故错误；
故选：．
17.【答案】解：是公差d为负数的等差数列，
且，得，则．
又，
，
解得：或舍，
于是，
又是公比为q的等比数列，故，
，舍或，
，
；
设的前n项和为；
令，即，得，
于是，，
当时，，
．
．
【解析】本题是等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，是中档题．
由已知结合等差数列的性质列式求得与公差，则数列的通项公式可求，再由等比数列的性质及求得数列的公比q；
设的前n项和为，令，即，得，求得，再求出的值，则答案可求．
18.【答案】解：依题意：
所以，；
根据题意全市“5G爱好者”万人
由样本频率直方图分布可知，35岁以上“5G爱好者”的频率为，
据此可估计全市35岁以上“5G爱好者”的人数万人
样本频率分布直方图中前两组的频率之和为
前3组频率之和为
所以，年龄在之间，不妨设年龄上限为m，
由，
得，
所以，估计该市“5G达人”的年龄上限为28岁．
【解析】本题主要考查频率分布直方图、分层抽样、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
由频率直方图的性质能求出a的值．
根据题意全市“5G爱好者”有180万人，由样本频率直方图分布可知，35岁以上“5G爱好者”的频率为，据此可估计全市35岁以上“5G爱好者”的人数为万人．
样本频率分布直方图中前两组的频率之和为前3组频率之和为，年龄在之间，不妨设年龄上限为m，由，能求出，估计该市“5G达人”的年龄上限为28岁．
19.【答案】证明：因为ADEF为正方形，所以．
又因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ADEF，
所以平面又平面ABCD，所以．
解：取AD中点O，EF中点K，连接OB，OK．
于是在等边中，，在正方ADEF中，
又平面平面ABCD，平面平面，
故平面AFEF，平面AFEF，所以，
即OB，OD，OK两两垂直．
分别以OB，OD，OK所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，
于是，，，，，
所以
，
设平面CDE的一个法向量为y，，
则，令，则，则．
设直线MF与平面CDE所成角为，
则直线MF与平面CDE所成角的正弦值为
．
解：要使直线平面AFN，只需，
设，
则，
，则，
又，
所以，
又 所以，
解得，
所以线段BD上存在点N，使得直线平面AFN，且．
【解析】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
推导出从而平面由此能证明．
取AD中点O，EF中点K，连接OB，则，，从而平面AFEF，进而，分别以OB，OD，OK为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MF与平面CDE所成角的正弦值．
要使直线平面AFN，只需，利用向量法能求出线段BD上存在点N，使得直线平面AFN，且．
20.【答案】解：由直线的斜率为可知直线的倾斜角为．
在中，，于是，
设椭圆，将代入得，
解得：．
椭圆E的标准方程为；
设点，，
于是，直线，令，
，
直线，令，
．
则．
又，，
代入上式并化简．
即．
当即时取得最小值．
由，化简得，
根据题意：，若亦与题意不符，
，此时或．
由，化简得，
将，代入并化简得：．
根据题意：，若，则，而，，
不成立，即不成立．
综上，或，
故点P的坐标为或．
【解析】由已知直线的斜率为可知直线的倾斜角为在中，得，可设椭圆，将Q坐标代入求得c，则椭圆方程可求；
设点，，分别写出直线PH，PK的方程，求出两直线在x轴上的截距，利用基本不等式求的最小值，然后分类求解取最小值时点P的坐标．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属难题．
21.【答案】解：的定义域，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，可得；
令可得；
则在上单调递增，在上单调递减．
当时，要证明成立，
即证：
令，，
令 0'/>，，，
所以，在单调递增；在递减．
又由已知，可知在上为减函数
故，
即．
令，
当单调递减；
当，，单调递增．
故，
即，．
【解析】先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，
原不等式等价于，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可得到 再构造函数，再利用导数求出函数的最值，即可证明．
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．
22.【答案】解：由可得，，整理得，
即曲线C的直角坐标方程；
由动点P是曲线C在第一象限的点可设点，
设四边形OAPB的面积为S，
则
，
所以当时，S最大，此时P点．
【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程；
根据椭圆的参数方程设，根据S
可得点P的直角坐标．
23.【答案】解：由已知得，，即，即，
即x的取值范围为．
由可得
由柯西不等式，得．
当且仅当，即时，的最大值为．
【解析】去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可．
利用柯西不等式转化求解函数的最大值即可．
本题考查不等式的解法柯西不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力．
