河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业10 练习

河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业10

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 复数，则共轭复数的虚部是

A.   B. 1  C. ：

2. 已知集合，，则

A.  B.
C.  D.

3. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为
    

A.
B.
C.
D.

 

4. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M到y轴的距离为2，则

A. 8 B. 6 C. 5 D. 4

5. 的展开式中的系数为

A.  B.  C. 40 D. 80

6. 等差数列的前n项和为，若，，则使达到最大值的n是

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

7. 已知是偶函数，且在单调递减，若，则的解集为

A.  B.
C.  D.

8. 我国古代名著九章算术中用“更相减损术“求两个正整数的最大公约数，这个伟大创举与古老的算法--“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入，时输出的

A. 18 B. 24 C. 27 D. 54

9. 已知为等边三角形，设点P，Q满足，，若，则

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，则函数的零点个数是

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

12. 双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在点P使，则该双曲线的离心率的取值范围为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若x，y满足约束条件，则的最小值为______．
14. 在各项均为正数的等比数列中，若，则______．
15. 显示屏上有一排小孔共8个，每孔可显示0或1，若每次显示其中3个孔，但相邻的两个孔不能同时显示，则该显示屏能显示的信号种数为______．
16. 表面积为的球面上有四点S、A、B、C，且是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面平面ABC，则棱锥体积的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
    求角C的大小；
    若，的面积为，求的周长．
    
    
    
    
    
    
     
18. 环境空气质量指标技术规定试行如表1所示．
    表1：空气质量指标AQI分组表

表2：广元市一气象观测点观测某4天的记录：AQI指数M与当天的空气水平可见度的情况．

表3：广元市一气象观测点记录的2018年9月每天AQI指数频数统计表．

Ⅰ设，根据表2的数据，求出y关于x的回归方程；
Ⅱ若由Ⅰ回归方程得到的估计数据与实际数据误差的绝对值不超过，则认为回归方程是理想的，当AQI指数M为200时，空气水平可见度为，判断该回归方程是否理想？
Ⅲ小王计划在此地开一家洗车店，经统计AQI指数不高于50时，洗车店平均每天亏损200元；AQI指数在51至150时，洗车店平均每天收入约500元；AQI指数大于150时，洗车店平均每天收入约700元．若将频率看成概率，求小王在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．
用最小二乘法求线性回归方程的系数的公式，






 

19. 已知如图，，D，E分别是AC，AB的中点，将沿DE折起到PDE位置即A点到P点位置如图，使二面角为．
    求证：；
    Ⅱ若直线PB与平面BCDE所成的角为，求平面PDC与平面PBE所成的锐二面角的余弦值．

20. 已知椭圆C：，过点且离心率为．
    Ⅰ求椭圈C的方程；
    Ⅱ设椭圆C的右顶点为P，A，B是椭圆上异于点P的两点，直线PA，PB的斜率分别为，若，试判断直线AB是否经过一个定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，则说明理由．
    
    
     

21. 已知函数，．
    Ⅰ求函数的极值；
    Ⅱ对，不等式都成立，求整数k的最大值；
    Ⅲ证明：
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知直线l的参数方程为：，为参数在以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．
    Ⅰ求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
    Ⅱ设直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数．
    求不等式的解集M；
    Ⅱ结合，若m是集合M中最大的元素，且，求的最大值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：，
，
复数的虚部是．
故选：A．
利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】D
 

【解析】解：，，
．
故选：D．
可以求出集合B，然后进行并集的运算即可．
考查描述法的定义，以及一元二次不等式的解法，并集的运算．
3.【答案】C
 

【解析】解：由几何体的三视图，知该几何体是一个底面直径为4高为4的圆柱和一个度面直径为4高为3的圆锥的组合体，
该几何体的体积为：
．
故选：C．
由几何体的三视图，知该几何体是一个底面直径为4高为4的圆柱和一个度面直径为4高为3的圆锥的组合体，由此能求出该几何体的体积．
本题考查几何体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．
4.【答案】B
 

【解析】解：由抛物线可得，
设，，
线段AB的中点M的横坐标为2，
，
又直线AB过焦点F，
．
故选：B．
利用中点坐标公式和弦长公式，即可求得．
本题考查了抛物线的焦点弦公式和中点坐标公式应用问题，是基础题．
5.【答案】B
 

【解析】解：的展开式中的系数．
故选：B．
在二项展开式的通项公式中，的展开式中的系数，计算即可．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
6.【答案】C
 

【解析】【分析】
本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的通项公式，属于基础题．
，所以，又，所以，所以令，得，令得，，即可得到结论．
【解答】

解：依题意，，
，
又，所以，
令，得，令得，，
即，，
使达到最大值的n是12，
故选C．
 

7.【答案】A
 

【解析】解：根据题意，是偶函数，则，
若，则，
又由在单调递减，则，
解可得：，
即不等式的解集为；
故选：A．
根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及指数不等式的解法，属于基础题．
8.【答案】D
 

【解析】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
，，
执行循环体，，，，
不满足退出循环的条件，执行循环体，，，，
不满足退出循环的条件，执行循环体，，，，
不满足退出循环的条件，执行循环体，，，，
不满足退出循环的条件，执行循环体，，，，
满足退出循环的条件，退出循环，输出a的值为54．
故选：D．
模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．
9.【答案】A
 

【解析】解：，，
，
为等边三角形，
，
故选：A．
根据向量加法的三角形法则求出，进而根据数量积的定义求出再根据即可求出．
本题主要考查了平面向量数量级的计算，属常考题，较难．解题的关键是根据向量加法的三角形法则求出然后再结合数量积的定义和条件为等边三角形，，即可求解．
10.【答案】D
 

【解析】解：函数．
化简可得：，
由，上单调递增，
得：，；
函数的单调增区间为：，．
在上单调递减，
可得：，
解得，．
又，
当时，可得；
当时，可得．
故选：D．
利用积化和差公式化简，将函数化为的形式，根据正弦函数的单调性，建立关系式求出的取值范围．
本题主要考查了三角函数的化简与三角函数的图象和性质的应用问题，利用三角函数公式将函数进行化简是解题的关键．
11.【答案】A
 

【解析】解：令，，
则，
分别作出和直线，
由图象可得有两个交点，横坐标设为，，
则，，
即有有一根；
时，有3个不等实根，
综上可得的实根个数为4，
即函数的零点个数是4．
故选：A．
令，，则，分别作出和直线，得到两交点的横坐标，再由图象观察，即可得到所求零点个数．
本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和换元法，以及数形结合思想方法，考查判断和观察能力，属于中档题．
12.【答案】D
 

【解析】解：由双曲线的定义与几何性质以及正弦定理得，
；
，即，；
又，；
离心率e的取值范围是．
故选：D．
由双曲线的定义与几何性质，结合正弦定理，得；
由，得，结合，求出e的取值范围．
本题考查了双曲线的定义与性质的应用问题，也考查了正弦定理的应用问题，解题时可以结合图形进行解答问题，是基础题．
13.【答案】
 

【解析】解：作出x，y满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：
由于可得，则表示目标函数在y轴上的截距，截距越大，z越小
作直线L：，然后把直线l向平域平移，由题意可得，直线平移到A时，z最小，
由可得，此时．
故答案为：．
作出满足不等式组的可行域，由可得可得为该直线在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合图形可求z的最小值．
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．
14.【答案】10
 

【解析】解：依题意，等比数列各项均为正数，，
所以，
故答案为：10．
等比数列各项均为正数，，，
本题考查了等比数列的性质，对数运算等，属于基础题．
15.【答案】160
 

【解析】解：先将不显示信号的排成一列，排好后有6个空位，在6个空位中任取3个，有种取法，
即8个小孔中，每次有不相邻的3个小孔显示的情况有20种，
每个小孔的显示情况有2种，则3个小孔共有种情况；
则共有种不同的结果；
故答案为：160．
根据题意，分两步进行分析，先由组合数公式计算选出3个孔显示的情况数目，计算每种情况下可以显示信息的数目，进而由分步计数原理，计算可得答案
本题考查排列、组合的应用，解题的关键是由插空法求出有不相邻的3个小孔显示的情况数目．
16.【答案】27
 

【解析】解：表面积为的球，球的半径为，
设的中心为D，则，所以，则
棱锥的底面积为定值，
欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，
又平面平面ABC，
在平面ABC上的射影落在直线AB上，而，点D到直线AB的距离为，
则S到平面ABC的距离的最大值为，
．
故答案为：27．
棱锥的底面积为定值，欲使棱锥体积体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，由此能求出棱锥体积的最大值．
本小题主要考查棱锥的体积的最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
17.【答案】解：已知等式利用正弦定理化简得：，
整理得：，
，，
，
又，
；
由余弦定理得，
，
，
，
，
，
的周长为．
 

【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；
利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长．
18.【答案】解：Ⅰ由，根据表2的数据，计算，
，
线性回归方程系数为，
，
所以y关于x的线性回归方程为；
Ⅱ利用回归方程计算时，，
且，
所以所求的回归方程是理想的；
Ⅲ由表3知AQI不高于50的频率为，AQI指数在50至150的频率为，AQI指数大于150的频率为；
设“洗车店每天亏损约200元”为事件A，“洗车店每天收入约500元”为事件B，“洗车店每天收入约700元”为事件C，
则，，，
“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C五种情况”，
则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率为：
．
 

【解析】Ⅰ由题意计算平均数和回归系数，即可写出线性回归方程；
Ⅱ利用回归方程计算时y的值，再验证所求的回归方程是否理想；
Ⅲ由频率估计概率，计算连续三天洗车店收入不低于1200元包含的事件概率值．
本题考查了线性回归方程应用问题，也考查了分析问题与解决问题的能力，是中档题．
19.【答案】Ⅰ证明：，E是AC，AB的中点，，
，，，即，
又，平面PCD，平面PCD，
平面PCD，
，
平面PDC，
平面PCD，
．
Ⅱ解：，，
为二面角的二面角，即，
取CD中点O，连结PO，则底面BCDE，
连接OB，则为直线PB与平面BCDE所成的角，即．
．
设，则，，，．
以O为原点，OD为x轴，过O作CD的垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则0，，，，
，，
设平面PBE的法向量为y，，则，
令可得，
又1，为平面PCD的一个法向量，
故．
故平面PDC与平面PBE所成的锐二面角的余弦值为．
 

【解析】证明平面PCD可得平面PCD，于是；
建立坐标系，求出平面PBE的法向量，计算法向量的夹角的余弦值得出二面角的大小．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：由题意可得，解得，，
则椭圆的方程为，
由题意，当直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为，，，
联立得．
．
，，
直线PA，PB的斜率分别为，．
，
．
化简得，
，
化简得，
即，
即，
解得或．
当时，直线AB方程为，过定点．
代入判别式大于零中，解得．
当时，直线AB的方程为，过定点，不符合题意．
故直线AB过定点．
 

【解析】Ⅰ根据椭圆的离心率和点在椭圆上，即可求出a，b的值，则椭圆方程可得．
Ⅱ由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为，，，与椭圆方程联立可得直线PA，PB的斜率分别为，若，可得，把根与系数的关系代入可得：，分别讨论解出即可．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、斜率计算公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．
21.【答案】解：Ⅰ；
令，有，则在上单调递增，
令，有，则在上单调递减，
所以当时，函数有极小值，无极大值．
Ⅱ，，不等式都成立；
即在上恒成立；
即   ，
设函数   ，
则，
设，则，
所以在上单调递增；
又，；
所以存在，使得，即；
当时，，，单调递减；
当时，单调递增；
所以；
所以，即整数k的最大值为3；
Ⅲ由Ⅱ可知时有在上恒成立；
即；  即  ；
令 有；
所以 ；
；
故成立；
 

【解析】Ⅰ求函数的导数，讨论函数的单调性，可得极值；
Ⅱ将原命题转化为即  恒成立，即求函数   的最小值，讨论的单调性，可求
Ⅲ由Ⅱ有 ，令 有，可证明；
本题考查函数极值，利用导数求参数的范围，利用导数构造不等式证明不等式，关键在于根据条件构造出要证明的结构，属于难题．
22.【答案】解：Ⅰ由，为参数，消去参数t可得：
直线l的普通方程为．
由，得．
曲线C的直角坐标方程为；
Ⅱ直线l的参数方程化为，代入．
整理得：．
设A，B所对应的参数分别为，，
则，．
．
 

【解析】Ⅰ直接把直线l的参数方程中的参数t消去，可得直线l的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程；
Ⅱ参数方程的标准形式，代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系及此时t的几何意义求解．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，特别是注意直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．
23.【答案】解：不等式即，
可得或或，
解得：无解或或，
综上可得，即所求解集为；
Ⅱ由可得，
由柯西不等式可得，
即为，
可得，当且仅当，时取得等号，
则的最大值为5．
 

【解析】由零点分区间法，结合绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；
Ⅱ由可得，运用柯西不等式可得，假设可得所求最大值．
本题考查绝对值不等式的解法和柯西不等式的运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力，属于中档题．