【精品试卷】2021届高三数学入学调研试题四理（含解析）

2021届高三数学入学调研试题（四）理

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．命题：“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．已知命题：对任意，总有；：“”是“，”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

4．下列命题中正确的是（    ）

A．“”是“”的充分条件

B．命题“，”的否定是“，”

C．使函数是奇函数

D．设，是简单命题，若是真命题，则也是真命题

5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

6．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ）

A． B． C． D．

8．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

9．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数，

则函数的图象的一个对称中心是（    ）

A． B． C． D．

10．在锐角中，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，若函数有个零点，

则实数的取值范围为（    ）

A．  B．

C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数的定义域为        ．

14．曲线在处的切线方程为        ．

15．已知，，，均为锐角，则的值是      ．

16．如图，在中，，，，点在边上，且，将射线绕着逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点，使得，连接，则的面积为       ．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知，，其中．

（1）若且为真，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（12分）已知函数．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）求函数在区间的最小值．

19．（12分）设函数．

（1）求的最小正周期和对称中心；

（2）当时，求函数的最值．

20．（12分）已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值．

21．（12分）已知中，角，，所对的边分别为，，，满足．

（1）求的大小；

（2）如图，，在直线的右侧取点，使得．当角为何值时，四边形面积最大．

22．（12分）已知函数．

（1）求的单调区间和极值；

（2）若对任意，恒成立，求实数的最大值．

2021届高三入学调研试卷

理 科 数 学（四）答 案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

【解析】∵，∴，故选C．

2．【答案】A

【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即，，故选A．

3．【答案】D

【解析】命题：对任意，总有，是假命题，例如取时，；

命题：由，可以推出，

反之不成立，例如，，所以“”是“，”的必要不充分条件，是假命题，

所以下列命题是真命题的是，故选D．

4．【答案】D

【解析】对于A，，，则A错误；

对于B，根据含全称量词命题的否定可知原命题的否定为，，则B错误；

对于C，若为奇函数，则，方程无解，

则不存在，使得为奇函数，则C错误；

对于D，若是真命题，则，均为真命题，那么为真命题，则D正确，

故选D．

5．【答案】B

【解析】∵函数是定义在上的奇函数，

当时，，∴，故选B．

6．【答案】C

【解析】对数函数为上的增函数，则；

指数函数为上的减函数，则；

对数函数为上的增函数，则，即，

因此，，故选C．

7．【答案】C

【解析】函数的定义域是，要使函数有意义，

需使有意义且，

所以，解得，故答案为C．

8．【答案】A

【解析】令，

则，为奇函数，

又因为为偶函数，的定义域为，

故为奇函数，排除B，C；

因为，

，排除D，

故选A．

9．【答案】D

【解析】由

，

将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，

即，

由，，得，此时，

即函数的对称中心为，当时，对称中心为，故答案为D．

10．【答案】C

【解析】∵在锐角中，若，，，

∴由正弦定理，可得，

∴由为锐角，可得，故选C．

11．【答案】D

【解析】∵，∴，

即函数在时是单调增函数，

则恒成立，∴，

令，则，

时，，单调递减；时，，单调递增，

∴，∴，故选D．

12．【答案】D

【解析】由题可知，函数有个零点，

令，有，

设，可知恒过定点，

画出函数，的图象，如图所示：

则函数与函数的图象有个交点，

由图象可得，则，即，解得，

故选D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】

【解析】要使函数有意义，必有，解得，

所以函数的定义域为，故答案为．

14．【答案】

【解析】，

当时，，，

故切线方程为，即，故答案为．

15．【答案】

【解析】∵，均为锐角，∴，从而，，

∵，，∴，，

∴，

故答案为．

16．【答案】

【解析】由，得，解得，

因为，所以，，

所以，

又因为，所以，

因为，所以，

故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，解得，所以，

又，因为，解得，所以．

当时，，

又为真，，都为真，所以，即．

（2）由是的充分不必要条件，即，，

所以，所以，解得，即．

18．【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）见解析．

【解析】（1）由题可知：，对称轴为，开口向上，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由题可知：，，

对称轴为，开口向上，

当时，函数在单调递增，所以；

当时，函数在单调递减，在单调递增，

所以；

当时，函数在单调递减，所以，

则函数在区间的最小值为．

19．【答案】（1），对称中心是，；（2）的最小值为，最大值为．

【解析】（1）

，

∴的最小正周期是，

由，得，，对称中心是，．

（2）时，，此时．

最大值为，此时，；

最小值为，此时，，

综上，的最小值为，最大值为．

20．【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为．

【解析】（1）因为，所以，，

又因为，所以曲线在点处的切线方程为．

（2）设，

则．

当时，，所以在区间上单调递减，

所以对任意有，即，

所以函数在区间上单调递减．

因此在区间上的最大值为，最小值为．

21．【答案】（1）；（2），四边形的面积取得最大值．

【解析】（1）（法一）：在中，由正弦定理得，

∴，∴，

∵，∴，

∵，故．

（2）由（1）知，且，为等边三角形，

设，则在中，由余弦定理得，

∴，，

∴四边形的面积，

∵，∴，

∴当，即时，，

所以当时，四边形的面积取得最大值．

22．【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1），，，

∴的单调增区间是，单调减区间是，

∴在处取得极小值，极小值为．

（2）由变形，得恒成立，

令，，

由；，

所以，在上是减函数，在上是增函数，

所以，，即，所以的最大值是．