【精品试卷】2021届高三数学入学调研试题一理（含解析）

2021届高三数学入学调研试题（一）理

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数的实部与虚部分别为，，则（    ）

A． B． C． D．

2．设集合，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

3．若函数的图象经过抛物线的焦点，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知两个单位向量，的夹角为，则下列向量是单位向量的是（    ）

A． B． C． D．

5．的内角，，的对边分别为，，，已知，则（    ）

A． B． C． D．

6．设，满足约束条件，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．设是一个各位数字都不是且没有重复数字的两位数，将组成的个数字按从小到大排成的两位数记为，按从大到小排成的两位数记为(例如，则，)，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（    ）

A． B． C． D．

8．已知，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

9．（    ）

A．  B．

C．  D．

10．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀个小灯，另一种是大灯下缀个小灯，大灯共个，小灯共个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀个小灯的概率为（    ）

A． B． C． D．

11．在正四棱柱中，为侧棱上一点，，，且异面直线与所成角的余弦值为，则（    ）

A． B． C． D．

12．设是双曲线的右焦点，为坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中的系数为       ．

14．已知函数，若，，则      ．

15．如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为        ．

16．已知函数是上的奇函数，函数，若对恒成立，则的取值范围为       ．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）设为数列的前项和，已知，，其中是不为的常数，且，，成等比数列．

（1）求的通项公式；

（2）若，求．

18．（12分）下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位：罐)的雷达图．

（1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销量更好；

（2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动，中奖率为，中奖可获得元的红包，以雷达图中一周的销量代替每周的销量．

①活动期间，一位顾客买了罐百事可乐，他恰好获得元红包的概率；

②在这连续三周的活动中，求该超市需要投入红包总金额的数学期望．

19．（12分）在直角坐标系中，已知，，且，记动点的轨迹为．

（1）求的方程；

（2）若过点的直线与交于，两点，且，求直线的斜率．

20．（12分）如图，在四面体中，，平面平面，，且．

（1）证明：平面；

（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值．

21．（12分）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若在上存在最大值，证明：．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线关于极点对称．

（1）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上一动点，记到直线与直线的距离分别为，，求的最小值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数，且不等式的解集为．

（1）求，；

（2）若，证明：．

2021届高三入学调研试卷

理 科 数 学（一）答 案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】A

【解析】∵，∴．

2．【答案】B

【解析】∵，，∴．

3．【答案】C

【解析】抛物线的焦点坐标为，则，即，

解得．

4．【答案】D

【解析】由平面向量的减法可得的模为，则是单位向量．

5．【答案】C

【解析】∵，∴，∴．

6．【答案】A

【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示，

当直线过点时，取得最小值；

直线过点时，取得最大值，

故．

7．【答案】D

【解析】，；，；，，

∵为的倍数，∴输出的．

8．【答案】C

【解析】令，则，，

∵，∴，

∵，∴曲线在点处的切线方程为．

9．【答案】B

【解析】

．

10．【答案】D

【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为，，

则，解得，

若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为．

11．【答案】A

【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，则，

设，则，

从而，

∵，∴．

12．【答案】C

【解析】∵到渐近线的距离为，∴，

则的内切圆的半径，

设的内切圆与切于点，则，

∵，∴，∴，

即，则，∴，

∵，∴．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】

【解析】的展开式中的系数为．

14．【答案】

【解析】∵，∴的图象关于直线对称，

又，且，∴．

15．【答案】

【解析】设该圆锥的半径与高分别为，，则，即，

该圆锥的母线与底面所成角的正切值为．

16．【答案】

【解析】由是上的奇函数，得，则，

因为在上单调递减，

所以是上的减函数，作出与的图象，如图所示，

由图可知，即，则．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，∴数列是公差为的等差数列，

∵，∴，，，

∵，，成等比数列，∴，

∴，∴或，

∵，∴，．

（2）∵，∴，即，∴．

18．【答案】（1）百事可乐销量的平均数为，可口可乐销量的平均数为，百事可乐的销量更好；（2）①；②元．

【解析】（1）百事可乐销量的平均数为，

可口可乐销量的平均数为，

∵，∴百事可乐的销量更好．

（2）①他恰好获得元红包说明他有两次中奖一次未中奖，

故所求的概率为．

②连续三周该超市罐装可乐（仅限百事可乐或可口可乐）的销量为

罐，

记连续三周顾客中奖总次数为，则，则，

故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为元．

19．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，∴，∴，

即，此即为的方程．

（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，

当时，或，不合题意；

当时，由，得，

设，，则，，

∵，，，

∴，∴，，

∵，∴，∴．

20．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，

平面，∴平面，

因为平面，所以，

因为，所以，所以，

因为，所以平面．

（2）设，则，

四面体的体积，

，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

故当时，四面体的体积取得最大值，

以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

设平面的法向量为，则，即，

令，得，

同理，平面的法向量为，

，

由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为．

21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1），

当时，，在上单调递减；

当时，由，得，在上单调递增；

由，得，在上单调递减．

（2）易知，当时，，

由（1）知，在上单调递增，此时在上不存在最大值，

当时，在上单调递增，在上单调递减，

则，

故，

设，，

∵，∴，∴在上单调递增，

∴，即，

∵，且，

∴要证：，只需证，

即证，

设，则，

则在上单调递减，从而，即，

则，从而．

22．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，∴，∴，即，

∴曲线的直角坐标方程为．

（2）由（1）可设，，

直线与直线的直角坐标方程分别为，，

从而，，

，

故的最小值为．

23．【答案】（1），；（2）证明见解析．

【解析】（1）当时，由，得，

因为不等式的解集为，所以，解得，

当时，由，得，所以，

经检验，满足题意．

（2）证明：因为，所以，

同理，

因为，

所以．