【北师大版】2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2.7函数的图像练习

2.7 函数的图像核心考点·精准研析考点一　函数图像的识别与辨析 1.已知y=f(x)与y=g(x)的图像如图,则函数h(x)=f(x)g(x)的图像可以是 (　　)2.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为 (　　)3.(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)=的图像大致为 (　　)4.函数f(x)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式可以是 (　　)A.f(x)=x+sin xB.f(x)=C.f(x)=xD.f(x)=xcos x【解析】1.选A.根据f(x)和g(x)的图像,可得g(x)在x=0处无意义,所以函数h(x)=f(x)g(x)在x=0处无意义;因为f(x)与g(x)都为奇函数,所以函数h(x)=f(x)g(x)是偶函数,故排除D;当x取很小的正数时,f(x)<0,g(x)>0,所以f(x)g(x)<0,所以B、C错误,故A符合要求.2.选D.由f(-x)===-f(x),得f(x)是奇函数,其图像关于原点对称.又f==>1,f(π)=>0.故选D.3.选B.因为x≠0,f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,舍去选项A,因为f(1)=e-e-1>0,所以舍去选项D;因为f′(x)==,所以x>2,f′(x)>0,所以舍去选项C.4.选D.函数为奇函数,排除C;函数f(x)=x+sin x只有一个零点,排除A;B选项中x≠0,所以B不正确.　辨析函数图像的入手点(1)从函数的定义域,判断图像的左右位置;从函数的值域,判断图像的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图像的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图像的对称性.(4)从函数的周期性,判断图像的循环往复.(5)从函数的特征点,排除不合要求的图像.考点二　作函数的图像 【典例】分别作出下列函数的图像:(1)y=|lg x|.(2)y=2x+2.(3)y=x2-2|x|-1. 【解题导思】序号联想解题 (1)由y=|lg x|,想到y=lg x的图像 (2)由y=2x+2,想到y=2x的图像以及图像的平移变换 (3)由y=x2-2|x|-1,想到二次函数的图像以及偶函数图像的特点【解析】(1)y=图像如图①所示.(2)将y=2x的图像向左平移2个单位.图像如图②所示.(3)y=图像如图③所示.　作函数图像的两种常用方法(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.(2)图像变换法:若函数图像可由某个基本初等函数的图像经过平移、翻折、对称得到,可利用图像变换作出,但要注意变换顺序.1.作出下列各函数的图像:(1)y=x-|x-1|.(2)y=.(3)y=|log2x-1|.【解析】(1)根据绝对值的意义,可将函数式化为分段函数y=可见其图像是由两条射线组成,如图(1)所示.(2)作出y=的图像,保留y=的图像中x≥0的部分,加上y=的图像中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=的图像,如图(2)实线部分.(3)先作出y=log2x的图像,再将其图像向下平移一个单位,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图像翻折到x轴上方,即得y=|log2x-1|的图像,如图(3)所示.2.为了得到函数f(x)=log2x的图像,只需将函数g(x)=log2的图像　　　　. 【解析】g(x)=log2=log2x-3=f(x)-3,因此只需将函数g(x)的图像向上平移3个单位即可得到函数f(x)=log2x的图像.答案:向上平移3个单位考点三　函数图像的应用 命题精解读1.考什么:(1)作函数图像、识别函数图像、由图像求解析式、解方程、解不等式、求参数值等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.2.怎么考:多以选择、填空题的形式考查,考查学生的数学素养、数形结合思想、灵活运用知识的能力以及分析问题解决问题的能力.3.新趋势:以函数图像与性质为载体,图像与性质、数与形、求参数值或范围交汇考查.学霸好方法1.利用函数的图像研究函数的性质的四种对应关系(1)图像的左右范围对应定义域.(2)上下范围对应值域.(3)上升、下降趋势对应单调性.(4)对称性对应奇偶性2.利用函数的图像确定方程的根或不等式的解集的方法:(1)方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图像交点的横坐标;(2)不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图像位于g(x)图像下方的点的横坐标的集合.利用图像研究函数的性质【典例】已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是 (　　)A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)【解析】选C.将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=画出函数f(x)的大致图像,如图,观察图像可知,函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.利用图像解不等式【典例】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-x.若f(a)<4+f(-a),则实数a的取值范围是　　　　.              【解析】因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(a)<4+f(-a)可转化为f(a)<2,作出f(x)的图像,如图:由图易知:a<2.答案:(-∞,2)利用图像确定方程解的个数【典例】(2020·沈阳模拟)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)=-1,则关于x的方程f(x)-log8(x+2)=0在区间(-2,6)上根的个数为              (　　)A.1   B.2   C.3  D.4【解析】选C.因为对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(2-x),所以f(x)的图像关于直线x=2对称,又f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x+2)=f(2-x)=f(x-2),f(x+4)=f(x),函数f(x)是周期为4的函数,则函数y=f(x)的图像与y=log8(x+2)的图像交点的个数即方程f(x)-log8(x+2)=0根的个数.作出y=f(x)与y=log8(x+2)在区间(-2,6)上的图像如图所示,易知两个函数在区间(-2,6)上的图像有3个交点,所以方程f(x)-log8(x+2)=0在区间(-2,6)上有3个根.1.(2020·昆明模拟) 已知函数f(x)=则对任意x1,x2∈R,若0<|x1|<|x2|,下列不等式成立的是 (　　)A.f(x1)+f(x2)<0     B.f(x1)+f(x2)>0C.f(x1)-f(x2)>0     D.f(x1)-f(x2)<0【解析】选D.函数f(x)的图像如图所示.f(-x)=f(x),则函数f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数.又0<|x1|<|x2|,则f(x2)>f(x1),即f(x1)-f(x2)<0.2.已知函数f(x)=关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是　　　　. 【解析】问题等价于函数y=f(x)与y=-x+a的图像有且只有一个交点,如图,结合函数图像可知a>1.答案:(1,+∞)3.设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 【解析】如图作出函数f(x)=|x+a|与g(x)=x-1的图象,观察图像可知:当且仅当-a≤1,即a≥-1时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,因此a的取值范围是[-1,+∞).答案:[-1,+∞)1.已知函数y=的图像与函数y=kx的图像恰有两个交点,则实数k的取值范围是　　　　. 【解析】函数y=的定义域为{x|x≠1},所以当x>1时,y=x+1,当-1<x<1时,y=-x-1,当x≤-1时,y=x+1,图像如图所示,由图像可知当0<k<2且k≠1时两函数的图像恰有两个交点,所以实数k的取值范围为(0,1)∪(1,2).答案:(0,1)∪(1,2)2.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是　　　　. 【解析】因为x>0,所以f(x)=-x+3<3,g(x)=log2x∈R,分别作出函数f(x)=-x+3和g(x)=log2x的图像,结合函数f(x)=-x+3和g(x)=log2x的图像可知,h(x)=min{f(x),g(x)}的图像,在这两个函数的交点处h(x)取得最大值.解方程组得所以函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是1.答案:1