高中数学人教版新课标A必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示精品导学案

2.3.1-2.3.2平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示

一、【温故互查】

1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？_______________________________________

2．怎样理解向量的数乘运算λ

（1）模：|λ|=  ______；（2）方向：λ>0时λ与方向_______；λ<0时λ与方向_______；λ=0时λ=

3. 向量共线定理 ：__________________________________________________________

二、【设问导读】

探究（一）：平面向量的基本定理

探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量、，请你作出向量=3+2、=-2.

探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量、来表示向量,那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示呢?

结  论：由上述过程可以发现,平面内任一向量______________________________________

2、λ1，λ2是被，，         的数量      3、基底不唯一,关键是不共线;

4、由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解;    5、基底给定时,分解形式唯一.

6、λ1 =0时          ；λ2=0时          ；λ1=0、λ2=0时                    。

平面向量的基本定理的实质：向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的。这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，科选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归。          

【练1】如图平行四边形ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和

探究（二）：平面向量的坐标表示

探究3： 平面中的任意两个非零向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？

1、非零向量、的夹角的定义：         _________________________________                       。

当=0o时，、             当=90o时，、       记做      当=180o时，、            

2、两非零向量的夹角的范围：在区间[0°,180°]内.

探究4：阅读课本：p95下半页内容，回答问题

（1）、对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？

1、正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。

2、在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数           表示，3、每一个向量可否也用一对实数来表示？

（2）、向量的坐标表示的定义：分别选取与轴、轴方向相同的       向量，作为     ，对于任一向量，，（），实数对叫         ，记作        其中叫                   ，

叫                      。

 说   明：（1）对于，有且仅有一对实数与之对应；（2）相等的向量的坐标        ；

（3）（  ，  ），（   ，   ），；

（4）直角坐标系中点A、向量、有序数（x,y）有什么关系？从原点引出的向量的坐标就是             。

平面向量的坐标表示及其意义：在平面直角体系中，每一个向量可用一个有序实数对唯一表示，可以把几何问题代数化，把向量问题转化为数量问题

【练3】如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d ,并求出它们的坐标.

三、当堂检测

1、下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是(    )

A.①②                B.②③                  C.①③                D.①②③

2.已知向量 ＝-2， ＝2+，其中、不共线，则+与 ＝6-2的关系（　）

A.不共线          B.共线      C.相等        D.无法确定

3.设与是两个不共线向量, =3+4,=-2+5,若实数λ、μ满足λ+μ=5-,求λ、μ的值.

4．已知梯形中，，，分别是、的中点，若，，用，表示、、．

5．设是的重心.若，，试用，表示向量.；