数学第二章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示优质学案

2．3.2　平面向量的正交分解及坐标表示

2．3.3　平面向量的坐标运算

学习目标　1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．

知识点一　平面向量的正交分解

思考　如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

答案　互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．

梳理　把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

知识点二　平面向量的坐标表示

思考1　如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?

答案　a＝2i＋2j.

思考2　在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？

答案　对于A点，若给定坐标为A(1,1)，则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a＝(1,1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置不确定．

思考3　设向量＝(1,1)，O为坐标原点，若将向量平移到，则的坐标是多少？A点坐标是多少？

答案　向量的坐标为＝(1,1)，A点坐标为A(1,1)．

梳理　(1)平面向量的坐标

①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．

②在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．

(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系

知识点三　平面向量的坐标运算

思考　设i，j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i，j表示？

答案　a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，

a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j.

梳理　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．

1．相等向量的坐标相等．(　√　)

2．在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量＝(x1－x2，y1－y2)．(　×　)

提示　＝(x2－x1，y2－y1)．

3．与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为：i＝(1,0)，j＝(0,1)．(　√　)

类型一　平面向量的坐标表示

例1　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.

四边形OABC为平行四边形．

(1)求向量a，b的坐标；

(2)求向量的坐标；

(3)求点B的坐标．

考点　平向向量的正交分解及坐标表示

题点　利用平面向量的正交分解求向量的坐标

解　(1)作AM⊥x轴于点M，

则OM＝OA·cos45°

＝4×＝2，

AM＝OA·sin45°

＝4×＝2.

∴A(2，2)，故a＝(2，2)．

∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，

∴∠COy＝30°.

又∵OC＝AB＝3，

∴C，∴＝＝，

即b＝.

(2)＝－＝.

(3)＝＋＝(2，2)＋

＝.

反思与感悟　在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．

跟踪训练1　在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．

考点　平向向量的正交分解及坐标表示

题点　利用平面向量的正交分解求向量的坐标

解　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，

则a1＝|a|cos45°＝2×＝.

a2＝|a|sin45°＝2×＝，

b1＝|b|cos120°＝3×＝－，

b2＝|b|sin120°＝3×＝，

c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，

c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.

因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)．

类型二　平面向量的坐标运算

例2　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：

(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.

考点　平面向量的坐标运算

题点　平面向量的坐标运算

解　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)

＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．

(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)

＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．

(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)

＝－＝.

反思与感悟　向量坐标运算的方法

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．

(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．

跟踪训练2　已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　)

A．(－7，－4)   B．(7,4)

C．(－1,4)   D．(1,4)

考点　平面向量的坐标运算

题点　平面向量的坐标运算

答案　A

解析　设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，

即x＝－4，y＝－2，

故C(－4，－2)，则＝(－7，－4)，

故选A.

类型三　平面向量坐标运算的应用

例3　已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时：

(1)点P在第一、三象限的角平分线上；

(2)点P在第三象限内．

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求参数

解　设点P的坐标为(x，y)，

则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，

＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]

＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．

∵＝＋λ，且与不共线，

∴则

(1)若点P在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，

∴λ＝.

(2)若点P在第三象限内，则∴λ<－1.

反思与感悟　(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．

(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．

跟踪训练3　已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求点的坐标

解　当平行四边形为ABCD时，设D(x，y)，

由＝(1,2)，＝(3－x,4－y)，

且＝，得D(2,2)．

当平行四边形为ACDB时，设D(x，y)，

由＝(1,2)，＝(x－3，y－4)，且＝，

得D(4,6)．

当平行四边形为ACBD时，设D(x，y)，

由＝(5,3)，＝(－1－x,3－y)，且＝，

得D(－6,0)，

故D点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0).

1．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则a－b等于(　　)

A．(－1,2)   B．(1，－2)

C．(－1，－2)   D．(1,2)

考点　平面向量的坐标运算

题点　平面向量的坐标运算

答案　A

解析　a－b＝(1,1)－(1，－1)

＝＝(－1,2)．

2．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　)

A. B.

C．(－8,1)   D．(8,1)

考点　平面向量的坐标运算

题点　平面向量的坐标运算

答案　A

解析　∵＝－＝(－8,1)，∴＝.

3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)

A. B.

C．(3,2)   D．(1,3)

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求点的坐标

答案　A

解析　设D点坐标为(x，y)，则＝(4,3)，

＝(x，y－2)，

由＝2，得

∴，∴D.

4．已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________.

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求参数

答案　7

解析　由于p＝ma＋nb，

即(9,4)＝(2m，－3m)＋(n,2n)＝(2m＋n，－3m＋2n)，

所以2m＋n＝9且－3m＋2n＝4，

解得m＝2，n＝5，所以m＋n＝7.

5．已知点A(2,1)，B(－2,3)，且＝，则点C的坐标为________．

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求点的坐标

答案　(0,2)

解析　设C(x，y)，则(x－2，y－1)＝(－4,2)＝(－2,1)，

∴x＝0，y＝2.

1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．

2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝(xB－xA，yB－yA)．

3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.

一、选择题

1．已知M(2,3)，N(3,1)，则的坐标是(　　)

A．(2，－1)  B．(－1,2)  C．(－2,1)  D．(1，－2)

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求向量的坐标

答案　B

解析　＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．

2．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(　　)

A．(－2，－2)   B．(2,2)

C．(－2,2)   D．(2，－2)

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求向量的坐标

答案　D

3．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c等于(　　)

A．3a－b B．3a＋b

C．－a＋3b D．a＋3b

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　用坐标形式下的基底表示向量

答案　A

解析　设c＝xa＋yb，

则解得

∴c＝3a－b.

4．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是(　　)

A. B.

C. D.

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求向量的坐标

答案　A

解析　因为与同向的单位向量为，

＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，

||＝＝5，

所以＝.

5．如果将＝绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是(　　)

A. B.

C．(－1，)   D.

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求向量的坐标

答案　D

解析　因为＝所在直线的倾斜角为30°，绕原点O逆时针方向旋转120°得到所在直线的倾斜角为150°，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为，故的坐标是，故选D.

6．已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为(　　)

A．(－14,16)   B．(22，－11)

C．(6,1)   D．(2,4)

考点　平面向量坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求点的坐标

答案　D

7．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为(　　)

A．(2,0)   B．(0，－2)

C．(－2,0)   D．(0,2)

考点　平面向量坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求向量的坐标

答案　D

解析　∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，

∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．

令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，

∴解得

∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．

二、填空题

8．已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则－的坐标是________．

考点　平面向量的坐标运算

题点　平面向量的坐标运算

答案　(－3,6)

9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，＝3，＝2，则的坐标为________．

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求向量的坐标

答案　(9，－18)

解析　＝3(1,8)＝(3,24)，

＝2(6,3)＝(12,6)，

＝－＝(12,6)－(3,24)＝(9，－18)．

10.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则的值为________．

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求参数

答案　4

解析　以向量a和b的交点为原点建立平面直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb得(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2且μ＝－，故＝4.

11．已知A(2,3)，B(1,4)，且＝(sinα，cosβ)，α，β∈，则α＋β＝________.

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求参数

答案　或－

解析　因为＝(－1,1)＝＝(sinα，cosβ)，

所以sinα＝－且cosβ＝，

∵α，β∈，所以α＝－，β＝或－，

所以α＋β＝或－.

三、解答题

12．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和的坐标．

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求向量的坐标

解　设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，

由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，

＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．

∵＝，＝－，

∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，

(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，

则有和

解得和

∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，

∴＝(－2，－4)．

13．已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)，c＝(1,2)，求p＝2a＋3b＋c，并用基底a，b表示p.

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　用坐标形式下的基底表示向量

解　p＝2a＋3b＋c

＝2(2,1)＋3(－1,3)＋(1,2)

＝(4,2)＋(－3,9)＋(1,2)＝(2,13)．

设p＝xa＋yb＝x(2,1)＋y(－1,3)＝(2x－y，x＋3y)，

a与b不共线，

则有解得

∴p＝a＋b.

四、探究与拓展

14．已知点A(3，－4)与B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求点的坐标

解　设P点坐标为(x，y)，||＝2||.

当P在线段AB上时，＝2.

∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，

∴解得

∴P点坐标为.

当P在线段AB延长线时，＝－2.

∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，

∴解得

综上所述，点P的坐标为或(－5,8)．

15．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及＝＋t.

(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？

(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由．

考点　平面向量的坐标运算的应用

题点　利用平面向量的坐标运算求参数

解　(1)＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)

＝(1＋3t,2＋3t)，

若点P在x轴上，则2＋3t＝0，

∴t＝－.

若点P在y轴上，则1＋3t＝0，

∴t＝－，

若点P在第二象限，则

∴－<t<－.

(2)＝(1,2)，＝－＝(3－3t,3－3t)．

若四边形OABP为平行四边形，

则＝，

∴该方程组无解．

故四边形OABP不能成为平行四边形．