数学必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示优质学案设计

2．3.4　平面向量共线的坐标表示

学习目标　1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．

知识点　平面向量共线的坐标表示

已知下列几组向量：

(1)a＝(0,3)，b＝(0,6)；

(2)a＝(2,3)，b＝(4,6)；

(3)a＝(－1,4)，b＝(3，－12)；

(4)a＝，b＝.

思考1　上面几组向量中，a，b有什么关系？

答案　(1)(2)中b＝2a，(3)中b＝－3a，(4)中b＝－a.

思考2　以上几组向量中，a，b共线吗？

答案　共线．

思考3　当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？

答案　坐标不为0时成比例．

思考4　如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？

答案　能．将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向．

梳理　(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb.

(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线．

注意：对于(2)的形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减．

1．若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝.(　×　)

提示　当y1y2＝0时不成立．

2．若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(　×　)

3．若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.(　√　)

类型一　向量共线的判定与证明

例1　(1)下列各组向量中，共线的是(　　)

A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)

B．a＝(2,3)，b＝(3,2)

C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)

D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)

考点　向量共线的坐标表示

题点　向量共线的判定与证明

答案　D

解析　A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，

∴a与b不平行；

B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；

C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；

D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，

∴a∥b，故选D.

(2)在下列向量组中，可以把向量a＝(－3,7)表示出来的是(　　)

A．e1＝(0,1)，e2＝(0，－2)

B．e1＝(1,5)，e2＝(－2，－10)

C．e1＝(－5,3)，e2＝(－2,1)

D．e1＝(7,8)，e2＝(－7，－8)

考点　向量共线的坐标表示

题点　向量共线的判定与证明

答案　C

解析　平面内不共线的两个向量可以作基底，用它能表示此平面内的任何向量，因为A，B，D都是两个共线向量，而C不共线，故C可以把向量a＝(－3,7)表示出来．

反思与感悟　向量共线的判定与证明题目应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标条件进行判断，特别是利用向量共线的坐标条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．

跟踪训练1　下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是(　　)

A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)

B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)

C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝

考点　向量共线的坐标表示

题点　向量共线的判定与证明

答案　B

解析　A选项，∵e1＝0，e1∥e2，∴不可以作为基底；

B选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e1与e2不共线，故可以作为基底；

C选项，3×10－5×6＝0，e1∥e2，故不可以作为基底；

D选项，2×－(－3)×＝0，

∴e1∥e2，不可以作为基底．

故选B.

类型二　利用向量共线求参数

例2　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　利用向量共线求参数

解　方法一　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，

a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，

∵ka＋b与a－3b平行，

∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.

方法二　由方法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，

a－3b＝(10，－4)，

当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，

使ka＋b＝λ(a－3b)．

由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)．

得解得k＝λ＝－.

引申探究

1．若例2条件不变，判断当ka＋b与a－3b平行时，它们是同向还是反向？

解　由本例知当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，

这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，

∵λ＝－<0，

∴ka＋b与a－3b反向．

2．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，a＋kb与3a－b平行？”，又如何求k的值？

解　a＋kb＝(1,2)＋k(－3,2)＝(1－3k,2＋2k)，

3a－b＝3(1,2)－(－3,2)＝(6,4)，

∵a＋kb与3a－b平行，

∴(1－3k)×4－(2＋2k)×6＝0，

解得k＝－.

反思与感悟　根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解．

跟踪训练2　已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(　　)

A．－ B.

C．－或 D．0

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　利用向量共线求参数

答案　C

解析　由a∥b知1×2＝m2，即m＝或m＝－.

类型三　三点共线问题

例3　已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．

考点　平面向量共线的坐标表示

题点　三点共线的判定与证明

证明　＝＝，

＝(9－1,1＋3)＝(8,4)，

∵7×4－×8＝0，

∴∥，且AB，有公共点A，

∴A，B，C三点共线．

反思与感悟　(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．

(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．

跟踪训练3　已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________.

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　利用三点共线求参数

答案　－

解析　＝－＝(1－k,2k－2)，

＝－＝(1－2k，－3)，

由题意可知∥，

所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，

解得k＝－(k＝1不合题意舍去).

1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为(　　)

A．2 B．－2

C．3 D．－3

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　利用向量共线求参数

答案　D

解析　因为a∥b，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.

2．与a＝(12,5)平行的单位向量为(　　)

A.

B.

C.或

D.

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　已知向量共线求向量的坐标

答案　C

解析　设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，

则∴或

3．若a＝(，cosα)，b＝(3，sinα)，且a∥b，则锐角α＝______.

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　已知向量共线求参数

答案　

解析　∵a＝(，cosα)，b＝(3，sinα)，a∥b，

∴sinα－3cosα＝0，即tanα＝，

又α为锐角，故α＝.

4．已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，则m的值为________．

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　利用三点共线求参数

答案　6

解析　＝(2,4)－(1,2)＝(1,2)．

＝(3，m)－(1,2)＝(2，m－2)．

∵A，B，C三点共线，即向量，共线，

∴1×(m－2)－2×2＝0，∴m＝6.

5．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　已知三点共线求点的坐标

答案　(2,4)

解析　∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，

∴＝2.

设点D的坐标为(x，y)，

则＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，

＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，

∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，

∴解得

故点D的坐标为(2,4)．

1．两个向量共线条件的表示方法

已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

(1)当b≠0，a＝λb.

(2)x1y2－x2y1＝0.

(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．

2．向量共线的坐标表示的应用

(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．

(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.

一、选择题

1．(2017·青岛高一检测)下列向量中，与向量c＝(2,3)不共线的一个向量p等于(　　)

A．(5,4)   B.

C. D.

考点　向量共线的坐标表示

题点　向量共线的判定与证明

答案　A

解析　因为向量c＝(2,3)，对于A,2×4－3×5＝－7≠0，所以A中向量与c不共线．

2．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(　　)

A．e1＝(2,2)，e2＝(1,1)

B．e1＝(1，－2)，e2＝(4，－8)

C．e1＝(1,0)，e2＝(0，－1)

D．e1＝(1，－2)，e2＝

考点　向量共线的坐标表示

题点　向量共线的判定与证明

答案　C

解析　选项C中，e1，e2不共线，可作为一组基底．

3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)

A．k＝1且c与d同向

B．k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向

D．k＝－1且c与d反向

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　已知向量共线求参数

答案　D

4．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是(　　)

A．(1,0)   B．(－1,0)

C．(1，－1)   D．(－1,1)

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　已知向量共线求向量的坐标

答案　C

5．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于(　　)

A．－2B．2C．－D.

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　已知向量共线求参数

答案　C

解析　由题意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，

a－2b＝(4，－1)，∵(ma＋nb)∥(a－2b)，

∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，∴＝－，故选C.

6．已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中，正确个数是(　　)

①存在实数x，使a∥b；

②存在实数x，使(a＋b)∥a；

③存在实数x，m，使(ma＋b)∥a；

④存在实数x，m，使(ma＋b)∥b.

A．0 B．1

C．2 D．3

考点　向量共线的坐标表示

题点　向量共线的判定与证明

答案　B

解析　只有④正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b.

7．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)

A．k＝－2 B．k＝

C．k＝1 D．k＝－1

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　利用三点共线求参数

答案　C

解析　因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则∥，又＝－＝(1,2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1.

二、填空题

8．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝______.

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　已知向量共线求参数

答案　－6

解析　因为a∥b，

所以由(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.

9．(2017·广东阳江高一期末)已知＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1)．若A，C，D三点共线，则k＝________.

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　利用三点共线求参数

答案　4

解析　因为＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1)，所以＝＋＝(10，k＋1)．又A，C，D三点共线，所以∥，所以10×1－2(k＋1)＝0，解得k＝4.

10．已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，则AC与OB的交点P的坐标为________．

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　已知三点共线求点的坐标

答案　(3,3)

解析　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，

则＝－＝(4λ－4,4λ)．

又＝－＝(－2,6)，

由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，

解得λ＝，

所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．

11．设＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是________．

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　利用三点共线求参数

答案　{m|m∈R且m≠6}

解析　∵A，B，C三点能构成三角形．

∴，不共线．

又∵＝(1,1)，＝(m－2,4)，

∴1×4－1×(m－2)≠0.

解得m≠6.

∴m的取值范围是{m|m∈R且m≠6}．

三、解答题

12．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，求m的值．

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　已知向量共线求参数

解　ma＋4b＝(2m,3m)＋(－4,8)＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，因为ma＋4b与a－2b共线，所以4(3m＋8)－(－1)×(2m－4)＝0，得m＝－2.

13．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至E，使||＝||，求点E的坐标．

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　已知向量共线求点的坐标

解　∵＝，

∴A为BC的中点，＝，

设C(xC，yC)，则(xC－2，yC＋1)＝(1，－5)，

∴xC＝3，yC＝－6，∴C点的坐标为(3，－6)，

又||＝||，且E在DC的延长线上，

∴＝－，

设E(x，y)，

则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，

得

解得

故点E的坐标是.

四、探究与拓展

14．已知两点A(3，－4)，B(－9,2)在直线AB上，求一点P使||＝||.

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　已知向量共线求点的坐标

解　设点P的坐标为(x，y)，

①若点P在线段AB上，则＝，

∴(x－3，y＋4)＝(－9－x,2－y)．

解得x＝－1，y＝－2，

∴P(－1，－2)．

②若点P在线段BA的延长线上，则＝－，

∴(x－3，y＋4)＝－(－9－x,2－y)．

解得x＝7，y＝－6，

∴P(7，－6)．

综上可得点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．

15.如图所示，已知在△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．

考点　向量共线的坐标表示的应用

题点　已知向量共线求点的坐标

解　∵＝＝(0,5)＝，

∴C.

∵＝＝(4,3)＝，∴D.

设M(x，y)，则＝(x，y－5)，

＝＝.

∵∥，

∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①

又∵＝，＝，∥，

∴x－4＝0，

即7x－16y＝－20.②

联立①②，解得x＝，y＝2，

故点M的坐标为.