高中人教版新课标A2.4 平面向量的数量积优质导学案

§2.4　平面向量的数量积

2．4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义(一)

学习目标　1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．

知识点一　平面向量数量积的物理背景及其定义

一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．

思考1　如何计算这个力所做的功？

答案　W＝|F||s|cosθ.

思考2　力做功的大小与哪些量有关？

答案　与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．

梳理　

知识点二　平面向量数量积的几何意义

思考1　什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影？

答案　如图所示，＝a，＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cosθ.

|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．

思考2　向量b在向量a方向上的投影与向量a在向量b方向上的投影相同吗？

答案　由投影的定义知，二者不一定相同．

梳理　(1)条件：向量a与b的夹角为θ.

(2)投影

(3)a·b的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

知识点三　平面向量数量积的性质

思考1　向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？

答案　向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量．

思考2　非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？

答案　由两个非零向量的夹角决定．

当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数．

当θ＝90°时，非零向量的数量积为零．

当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数．

梳理　设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，

(1)a⊥b⇔a·b＝0.

(2)当a∥b时，a·b＝

(3)a·a＝|a|2或|a|＝.

(4)cosθ＝.

(5)|a·b|≤|a||b|.

1．向量数量积的运算结果是向量．(　×　)

2．向量a在向量b上的投影一定是正数．(　×　)

3．在等边△ABC中，向量与向量夹角为60°.(　×　)

提示　向量与向量夹角为120°.

类型一　求两向量的数量积

例1　已知正三角形ABC的边长为1，求：

(1)·；(2)·；(3)·.

考点　平面向量数量积的概念与几何意义

题点　平面向量数量积的概念与几何意义

解　(1)∵与的夹角为60°.

∴·＝||||cos60°＝1×1×＝.

(2)∵与的夹角为120°，

∴·＝||||cos120°

＝1×1×＝－.

(3)∵与的夹角为60°，

∴·＝||||cos60°＝1×1×＝.

反思与感悟　求平面向量数量积的两个方法

(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cosθ.

运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．

(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.

跟踪训练1　已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)．

考点　平面向量数量积的概念与几何意义

题点　平面向量数量积的概念与几何意义

解　(2a＋3b)·(3a－2b)

＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2

＝6|a|2＋5a·b－6|b|2

＝6×42＋5×4×7·cos120°－6×72

＝－268.

类型二　求向量的模

例2　已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.

考点　平面向量数量积的应用

题点　利用数量积求向量的模

解　a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×＝.

|a＋b|＝＝

＝＝5.

|a－b|＝＝

＝＝5.

引申探究

若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|.

解　a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×＝，

|2a＋b|＝＝

＝＝5.

|a－2b|＝＝

＝＝5.

反思与感悟　求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方．

跟踪训练2　已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，求|a＋b|.

考点　平面向量数量积的应用

题点　利用数量积求向量的模

解　方法一　∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2

＝1＋9－2a·b＝4，∴a·b＝3.

∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2

＝1＋9＋2×3＝16，∴|a＋b|＝4.

方法二　∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，

|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，

∴|a－b|2＋|a＋b|2＝2a2＋2b2＝2×1＋2×9＝20.

又|a－b|＝2，∴|a＋b|2＝16，∴|a＋b|＝4.

类型三　求向量的夹角

例3　(1)设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．

考点　平面向量数量积的应用

题点　利用数量积求向量的夹角

解　∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，

∴m·n＝|m||n|cos60°＝1×1×＝.

|a|＝|2m＋n|＝＝

＝＝，

|b|＝|2n－3m|＝

＝

＝＝，

a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2

＝－6×1＋2×1＝－.

设a与b的夹角为θ，

则cosθ＝＝＝－.

又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.

(2)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，求a与a＋b的夹角及a与a－b的夹角．

考点　平面向量数量积的应用

题点　利用数量积求向量的夹角

解　如图所示，在平面内取一点O，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，

使||＝||，

∴四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，

这时＝a＋b，＝a－b.

由于|a|＝|b|＝|a＋b|，即||＝||＝||，

∴∠AOC＝60°，即a与a＋b的夹角为60°.

∵∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，

又||＝||，∴∠OAB＝30°，

即a与a－b的夹角为30°.

反思与感悟　(1)求向量的夹角，主要是利用公式cosθ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解．

(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解．

(3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]．

跟踪训练3　已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求a与b的夹角．

考点　平面向量数量积的应用

题点　利用数量积求向量的夹角

解　∵(a＋2b)·(a－b)＝|a|2－2|b|2＋a·b＝－2.

|a|＝|b|＝2，∴a·b＝2，

设a与b的夹角为θ，∴cosθ＝＝，

又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.

1．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则a·b等于(　　)

A．1B．2C．3D．4

考点　平面向量数量积的概念与几何意义

题点　平面向量数量积的概念与几何意义

答案　A

解析　a·b＝1×2×cos＝1，故选A.

2．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　)

A．－2B．2C．－2D．2

考点　平面向量数量积的概念与几何意义

题点　平面向量数量积的概念与几何意义

答案　B

解析　·＝||||cos∠ABC＝2××cos45°＝2.

3．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为(　　)

A．4B．－4C．2D．－2

考点　平面向量的投影

题点　求向量的投影

答案　D

解析　向量b在a方向上的投影为

|b|cos〈a，b〉＝4×cos120°＝－2.

4．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·等于(　　)

A．－a2 B．－a2

C.a2 D.a2

考点　平面向量数量积的概念与几何意义

题点　平面向量数量积的概念与几何意义

答案　D

解析　如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.

∴·＝(＋)·

＝·＋2

＝a·a·cos60°＋a2＝a2.

5．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：(1)c·d；(2)|c＋2d|.

考点　平面向量数量积的应用

题点　利用数量积求向量的模

解　(1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b

＝2×4－2×1＋3×2×1×＝9.

(2)|c＋2d|2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b

＝16×4＋9×1＋24×2×1×＝97，

∴|c＋2d|＝.

1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．

2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．

3．求投影有两种方法

(1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cosθ.

(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.

4．两非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝.

一、选择题

1．(2017·辽宁大连二十中高一月考)设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为(　　)

A．150°B．120°C．60°D．30°

考点　平面向量数量积的应用

题点　利用数量积求向量的夹角

答案　B

解析　由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2⇒2a·b＝－|a|2⇒2|a|·|b|·cosθ＝－|a|2⇒cosθ＝－⇒θ＝120°.

2．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于(　　)

A．－6B．6C．－6D．6

考点　平面向量数量积的概念与几何意义

题点　平面向量数量积的概念与几何意义

答案　C

3．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于(　　)

A．16B．256C．8D．64

考点　平面向量数量积的应用

题点　利用数量积求向量的模

答案　A

解析　∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16.

4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是(　　)

A．－4B．4C．－2D．2

考点　平面向量的投影

题点　求向量的投影

答案　A

解析　根据投影的定义，设a，b的夹角为θ，可得向量a在b方向上的投影是|a|cosθ＝＝－4，故选A.

5．已知平面上三点A，B，C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　)

A．－7B．7C．25D．－25

考点　平面向量数量积的概念与几何意义

题点　平面向量数量积的概念与几何意义

答案　D

解析　由条件知∠ABC＝90°，

所以原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)

＝－20cosC－15cosA

＝－20×－15×＝－16－9＝－25.

6．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)

A．1B．2C．3D．5

考点　平面向量数量积的概念与几何意义

题点　平面向量数量积的概念与几何意义

答案　A

解析　∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①

|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，②

由①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1.

7．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·等于(　　)

A.B．6C．12D．18

考点　平面向量数量积的概念与几何意义

题点　平面向量数量积的概念与几何意义

答案　D

解析　如图，过点O作OD⊥AB于D，

可知AD＝AB＝3，

则·＝(＋)·＝·＋·＝3×6＋0＝18，故选D.

二、填空题

8．(2017·全国Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

考点　平面向量数量积的应用

题点　利用数量积求向量的模

答案　2

解析　方法一

|a＋2b|＝

＝

＝

＝＝2.

方法二(数形结合法)

由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.

又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.

9．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.

考点　平面向量数量积的概念与几何意义

题点　平面向量数量积的概念与几何意义

答案　－

10．(2017·四川绵阳南山中学高一月考)已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________．

考点　平面向量数量积的应用

题点　数量积在三角形中的应用

答案　等边三角形

解析　·＝||||cos∠BAC，

即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，

因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.

又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．

11．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为________．

考点　平面向量数量积的应用

题点　利用数量积求向量的模

答案　

解析　如图，由题意可知，＝＋，＝－＋.

因为·＝1，

所以(＋)·＝1，

即2＋·－2＝1.①

因为||＝1，∠BAD＝60°，

所以①式可化为1＋||－||2＝1.

解得||＝0(舍去)或||＝，

所以AB的长为.

12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.则向量a在向量a＋b方向上的投影为________．

考点　平面向量数量积的应用

题点　利用数量积求向量的模

答案　

解析　(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b＝4×16－3×9－4a·b＝61，解得a·b＝－6，∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，∴|a＋b|＝，设a与a＋b的夹角为θ，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝10，

∴cosθ＝＝，则a在a＋b方向上的投影为|a|cosθ＝4×＝.

三、解答题

13．如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝，＝.

(1)用a，b表示；

(2)若|a|＝1，|b|＝4，∠DAB＝60°，分别求||和·的值．

考点　平面向量数量积的概念与几何意义

题点　平面向量数量积的概念与几何意义

解　(1)＝－＝－

＝－＋＝－a＋b.

(2)因为|a|＝1，|b|＝4，∠DAB＝60°，

所以||2＝2

＝|b|2－a·b＋|a|2

＝－×1×4×cos60°＋＝.

所以||＝.

·＝(a＋b)·

＝|a|2＋a·b－|b|2

＝＋×1×4×cos60°－＝－4.

四、探究与拓展

14．已知向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为，若对一切实数x，|xa＋2b|≥|a＋b|恒成立，则|b|的取值范围为(　　)

A．[2，＋∞)   B．[－1,1]

C．[1，＋∞)   D．(－∞，1)

考点　平面向量数量积的运算性质和法则

题点　求向量的数量积的最值

答案　C

解析　对不等式|xa＋2b|≥|a＋b|两边平方得，(xa＋2b)2≥(a＋b)2，所以x2·|a|2＋4a·bx＋4|b|2≥|a|2＋2a·b＋|b|2，又a与b的夹角为，且|a|＝1，则有a·b＝|a|·|b|·cos＝|b|，所以有x2＋4x·|b|＋4|b|2≥1＋|b|＋|b|2，即x2＋2|b|x＋3|b|2－1－|b|≥0，此式对一切实数x恒成立，所以有Δ＝4|b|2－4(3|b|2－1－|b|)≤0，即有2|b|2－|b|－1≥0，所以(2|b|＋1)(|b|－1)≥0，所以或所以|b|≥1或|b|≤－(舍去)，故选C.

15．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－b－a|＝1，则|c|的取值范围为(　　)

A．[－1，＋1]   B．[－1，＋2]

C．[1，＋1]   D．[1，＋2]

考点　平面向量数量积的运算性质和最值

题点　求向量的数量积的最值

答案　A

解析　如图所示，

令＝a，＝b，＝a＋b，＝c，则||＝.

又|c－b－a|＝1，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知当点C与O，D共线时，||取到最值，最大值为＋1，最小值为－1，所以|c|的取值范围为[－1，＋1]．故选A.