广东省廉江市实验学校2020届高三数学上学期周测试题2理（高补班）含解析

广东省廉江市实验学校2020届高三数学上学期周测试题（2）理（高补班）第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{x∈N|πx＜16}，B＝{x|x2－5x＋4＜0}，则A∩(∁RB)的真子集的个数为(　　)A．1　　　　　　　　B．3　　　　　　C．4　　　　　D．72．复数对应的点在(　　)A．第一象限        B．第二象限  C．第三象限        D．第四象限3．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[10,110]内，其频率分布直方图如图所示．已知活动时间在[10,35)内的频数为80，则n的值为(　　)A．700     B．800     C．850      D．9004．cos 70° sin 50°－cos 200°sin 40°的值为(　　)A．－     B．－     C.       D.5．2016年9月3日，二十国集团(G20)工商峰会在杭州开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，杭州市决定举办大型歌舞晚会．现从A、B、C、D、E 5名歌手中任选3人出席演唱活动，当3名歌手中有A和B时，A需排在B的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有(　　)A．51种     B．45种     C．42种     D．36种6．某程序框图如图所示，若输入x的值为4，则输出x的值是(　　)A．13    B．14    C．15     D．167．已知函数f(x)＝，g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象是(　　)8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)A．20＋π        B．24＋πC．20＋(－1)π      D．24＋(－1)π9．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)与直线y＝3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且x＝是f(x)图象的一条对称轴，则下列区间中是函数f(x)的单调递减区间的是(　　)A.        B.  C.        D.10．设P是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量m＝(1,1)，n＝(2,1)，若＝λm＋μn(λ、μ为实数)，则λ－μ的最大值为(　　)A．4     B．3     C．－1      D．－211．抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝|AB|，则∠AFB的最大值为(　　)A.     B.      C.      D.12．定义在R上的偶函数f(x)满足f (2－x)＝f(x)，且当x∈[1,2]时，f(x)＝ln x－x＋1，若函数g(x)＝f(x)＋mx有7个零点，则实数m的取值范围为(　　)A.∪　　　　　B.C.　　　　　　　　　　　　　　　D.第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知向量a＝(1，－1)，b＝(t,1)，若(a＋b)∥(a－b)，则实数t＝________.14．已知双曲线M：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，B两点，与双曲线M的两条渐近线交于C，D两点．若|AB|＝|CD|，则双曲线M的离心率是________．15．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值为________．16．洛萨·科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半(即)；如果n是奇数，则将它乘3加1(即3n＋1)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如初始正整数为3，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：10,5,16,8,4,2,1.如果对正整数n(首项)按照上述规则施行变换后的第7项为2(注：1和2可以多次出现)，则n的所有可能取值为________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.18．(本小题满分12分)下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设ζ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ζ的分布列与数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S­ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且与直线y＝x＋2相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设点A(2,0)，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若|BA|＝|BP|，求四边形OPAB(O为坐标原点)面积的最小值．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xln x.(1)求函数f(x)的最值；(2)若k∈Z，且k＜对于任意的x＞1恒成立，试求k的最大值；(3)若方程f(x)＋x2＝mx2在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.(1)若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求实数a的取值范围；(2)当a＜2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．            B CBD    ACDD  DADA13.－1   14．   15．8   16．2　3　16　20　21　12817．解：(1)∵Sn＝2an－a1，∴当n≥2时，Sn－1＝2an－1－a1，(1分)∴an＝2an－2an－1，化为an＝2an－1.(2分)由a1，a2＋1，a3成等差数列得， 2(a2＋1)＝a1＋a3，(3分)∴2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得a1＝2.(4分)∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为2.∴an＝2n.(6分)(2)∵an＋1＝2n＋1，∴Sn＝＝2n＋1－2，Sn＋1＝2n＋2－2.(8分)∴bn＝＝＝.(10分)∴数列{bn}的前n项和Tn＝＝.(12分)18．解：设Ai表示事件“此人于11月i日到达该市”(i＝1,2，…，12)．依题意知，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．(2分)(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12，所以P(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A7)＋P(A12)＝.   即此人到达当日空气重度污染的概率为.(5分)(2)由题意可知，ζ的所有可能取值为0,1,2,3，( 6分)P(ζ＝0)＝P(A4∪A8∪A9)＝P(A4)＋P(A8)＋P(A9)＝＝，(7分)P(ζ＝2)＝P(A2∪A11)＝P(A2)＋P(A11)＝＝，(8分)P(ζ＝3)＝P(A1∪A12)＝P(A1)＋P(A12)＝＝，(9分)P(ζ＝1)＝1－P(ζ＝0)－P(ζ＝2)－P(ζ＝3)＝1－－－＝，(10分)(或P(ζ＝1)＝P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)＝P(A3)＋P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A10)＝)所以ζ的分布列为ζ0123P(11分)故ζ的期望E(ζ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)19.解：(1)以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz，则D(1,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)．(2分)设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0，且＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)．由||＝||，得＝，解得x＝1.由||＝1，得y2＋z2＝1.　①由||＝2，得y2＋z2－4y＋1＝0.　②(4分)由①②，解得y＝，z＝.∴S，＝，＝，＝，∴·＝0，·＝0，∴DS⊥AS，DS⊥BS，且AS∩BS＝S，∴SD⊥平面SAB.(6分)(2)设平面SBC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则n⊥，n⊥，∴n·＝0，n·＝0.又＝，＝(0,2,0)，(8分)∴，取z1＝2，得n＝(－，0,2)．(10分)∵＝(－2,0,0)，∴cos〈，n〉＝＝＝.故AB与平面SBC所成角的正弦值为.(12分)20．解：(1)由题意知，离心率e＝＝，所以c＝a，b＝a，所以x2＋3y2＝a2，将y＝x＋2代入得4x2＋12x＋12－a2＝0，由Δ＝122－4×4×(12－a2)＝0，得a＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(5分)(2)设线段AP的中点为D，因为|BA|＝|BP|，所以BD⊥AP，由题意得直线BD的斜率存在且不为零，设P(x0，y0)(0＜x0＜y0≠0)，则点D的坐标为，直线AP的斜率kAP＝，所以直线BD的斜率为－＝，所以直线BD的方程为y－＝.(8分)令x＝0，得y＝，则B，(9分)由＋y20＝1，得x20＝3－3y20，所以B，所以四边形OPAB的面积为S四边形OPAB＝S△OPA＋S△OAB＝×2×|y0|＋×2×||＝|y0|＋||＝2|y0|＋≥2＝2，当且仅当2|y0|＝，即y0＝±时，等号成立，所以四边形OPAB面积的最小值为2.(12分)21．解：(1)函数f(x)＝xln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋x·＝1＋ln x．(1分)令f′(x)＞0，则x＞；令f′(x)＜0，则0＜x＜，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，(3分)∴函数f(x)极小值＝f＝－，无极大值．故f(x)的最小值为－，无最大值．(4分)(2)令F(x)＝＝，则F′(x)＝.(5分)设h(x)＝x－2－ln x，则h′(x)＝1－，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．∵h(3)＝1－ln 3＜0，h(4)＝2－ln 4＞0，∴存在x0∈(3,4)，使h(x0)＝0，即x0－2－ln x0＝0，∴ln x0＝x0－2，当x∈(1，x0)时，h(x)＜0，F′(x)＜0，∴F(x)在(1，x0)上单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，h(x)＞0，F′(x)＞0，∴F(x)在(x0，＋∞)上单调递增．(7分)∴函数F(x)的最小值为F(x0)＝＝＝x0.∵x0∈(3,4)，∴k的最大值为3.(8分)(3)由题意知xln x＋x2＝mx2在区间[1，e2]上有唯一实数解，也即m＝1＋有唯一解．令g(x)＝1＋，则g′(x)＝.(9分)令g′(x)＞0，则0＜x＜e；令g′(x)＜0，则x＞e，∴函数g(x)在[1，e)上单调递增，在(e，e2]上单调递减，(10分)g(1)＝1＋＝1，g(e2)＝1＋＝1＋，g(e)＝1＋＝1＋.根据函数的图象可知，m＝1＋或1≤m＜1＋.(12分)22．解：(1)∵曲线C1的参数方程为，∴其普通方程为x－y－a＋1＝0.(2分)∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0，∴ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，∴x2＋4x－x2－y2＝0，即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.(5分)(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由，得2t2－2t＋1－4a＝0.Δ＝(2)2－4×2(1－4a)＞0，即a＞0，由根与系数的关系得可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|，又|PA|＝2|PB|可得2|t1|＝2×2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2.(7分)∴当t1＝2t2时，有，解得a＝＞0，符合题意．(8分)当t1＝－2t2时，有，解得a＝＞0，符合题意．(9分)     综上所述，实数a的值为或.(10分)23．解：(1)由题f(x)≤2－|x－1|，可得|x－|＋|x－1|≤1.而由绝对值的几何意义知|x－|＋|x－1|≥|－1|，(2分)由不等式f(x)≤2－|x－1|有解，得|－1|≤1，即0≤a≤4.故实数a的取值范围是[0,4]．(5分)(2)函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a＜2，即＜1时，f(x)＝.(7分)所以f(x)min＝f＝－＋1＝3，得a＝－4＜2(符合题意)，故a＝－4.(10分)