广东省廉江市实验学校2020届高三数学上学期周测试题3理（高补班）含解析
展开广东省廉江市实验学校2020届高三数学上学期周测试题（3）理（高补班）
考试时间：120分钟（2019.9.10）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数，设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
6.函数 为增函数的区间是（ ）
A． B． C． D．
7.如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）
A. B．
C． D．
8.已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
9.“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱，拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
- 如图，在△ABC中，，为 上一点，且满足，若△ABC的面积为，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
12. 在一个圆锥内有一个半径为的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切，若该圆锥体积的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.已知数列的前项和为，且，则数列的前6项和为 .
14.从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为 .
15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．已知△满足
，且，则用以上给出的公式可求得△的面积为 ．
16.已知在关于的不等式的解集中，有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
（一）必考题：共60分．
17.已知数列与满足，且为正项等比数列，，．
⑴求数列与的通项公式；
⑵若数列满足，为数列的前项和，证明：．
| 非常满意 | 满意 | 合计 |
A | 30 | 15 |
|
B |
| ||
合计 |
|
|
|
- 由中央电视台综合频道（）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了、两个地区的100名观众，得到如下的列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是地区当中非常满意的观众的概率为0.35.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
⑴现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“非常满意”的、地区的人数各是多少；
⑵完成下列表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；
⑶若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为，求的分布列和期望.
附：参考公式： .
19．（12分）如图，在四棱锥中，，，平面平面，是的中点，是上一点，是上一点，且，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．
20.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，椭圆上短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
⑴求椭圆的方程；
⑵过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点（点在第二象限），，是椭圆上位于直线两侧的动点，若，求证：直线的斜率为定值．
21.已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直.
⑴求函数的单调区间；
⑵求证：时，.
（二）选考题：共10分．请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.在直角坐标系中，曲线：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：.
⑴求的普通方程和的直角坐标方程；
⑵若曲线与交于，两点，，的中点为，点，求 的值.
23.已知函数.
⑴解不等式；
⑵若不等式的解集为，且满足，求实数的取值范围.
周测（三）参考答案
1~12 BDDC DCDB BCBD
13. 14.23 15. 16.
17.(1)① ②
①-②可得，.,设的公比为,
,
,
(2) 由已知得
18.（1）由题意，得，所以，地抽取，地抽取.
| 非常满意 | 满意 | 合计 |
30 | 15 | 45 | |
35 | 20 | 55 | |
合计 | 65 | 35 | 100 |
（2）
，
所以没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.
（3）从地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为，
随机抽取3人，的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
0 | 1 | 2 | 3 | |
.
19.（1）证明：如图，取的中点，连接，，则，，
又，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，
因为平面平面，平面平面，，所以平面，因为平面，所以，
因为，所以平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）过点作于点，则平面，以为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在等腰三角形中，，，
因为，所以，解得，
则，所以，，所以，
易知平面的一个法向量为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
- (1)由题意可得又,可得
所以椭圆的方程为
(2)由(1)可得直线,.由题意知直线的斜率存在,故设直线的方程为,代入椭圆方程,消可得,
则,.设
.
,即,
化简可得,或
当时,直线的方程为,经过点,不满足题意,则，
故直线的斜率为定值
21.（1）由，得.因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，所以，即，.
令，则.所以时，，单调递减；
时，，单调递增.所以，所以，单调递增.即的单调增区间为，无减区间
（2）由（1）知，，所以在处的切线为，
即.令，则，
且，，时，，单调递减；时，，单调递增.因为，所以，因为，所以存在，使时，，单调递增；
时，，单调递减；时，，单调递增.
又，所以时，，即，
所以.
令，则.所以时，，单调递增；
时，，单调递减，所以，即，
因为，所以，所以时，，
即时，.
22.（1）曲线的普通方程为.
由，，得曲线的直角坐标方程为.
（2）将两圆的方程与作差得直线的方程为.
点在直线上，设直线的参数方程为（为参数），
代入化简得，所以，.
因为点对应的参数为，
所以.
23.(1)可化为,即或或
解得或或;不等式的解集为.
(2)易知; 所以，所以在恒成立;
在恒成立；在恒成立；
.
