高中数学人教版新课标A必修2第一章 空间几何体综合与测试精品单元测试课后练习题

第一章 空间几何体单元测试卷（巅峰版）

一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．三棱锥P－ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为(　　)

A．4  B．6 C．8  D．10

【答案】：C

【解析】依题意，设题中球的球心为O、半径为R，△ABC的外接圆半径为r，则＝，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距离为＝3，因此三棱锥P－ABC的高的最大值为5＋3＝8，选C.

2．一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为(　　)

A．72＋6π   B．72＋4π  C．48＋6π   D．48＋4π

【答案】A

【解析】选A　由三视图知，该几何体由一个正方体的部分与一个圆柱的部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×2×2＋×2π×2×4＝72＋6π，故选A.

3 .设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三

棱锥体积的最大值为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】B

【解析】设等边三角形的边长为，则，得．

设的外接圆半径为，则，解得，所以球心到所在平面的距离，则点到平面的最大距离，所以三棱锥体积的最大值．故选B．

4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A．    B．2    C．    D．

【答案】D

【解析】由三视图可知，该几何体是正方体中的正四棱锥P—ABCD．∴．

5.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别为棱A1B1、AD、CC1的中点，则对角线BD1与平面EFG所成角的大小为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】如图，在正方体中取M、N、P分别为棱B1C1、AA1、CD的中点，则易知六边形ENFPGM为正六边形，在正方体中易证BD1⊥平面ENFPGM，∴对角线BD1与平面EFG所成角的大小为．

6.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（     ）

A．158   B．162   C．182   D．32

【答案】B

【解析】由三视图还原原几何体如图，

该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，

即，高为6，

则该柱体的体积是．

故选B．

7.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（   ）

A．点到平面的距离           B．三棱锥的体积

C．直线与平面所成的角      D．二面角的大小

【答案】C

【解析】A：∵平面也就是平面，既然和平面都是固定的，∴到平面的距离是定值；B：∵的面积是定值．（∵定长，到的距离就是到的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据的结论到平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥的体积是定值；C：∵是动点，也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线与平面所成的角不是定值；D：∵，为上任意一点，、为上任意两点，∴二面角的大小为定值．故选：C．

8.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（   ） 

A．    B．     C．   D．

【答案】D

【解析】画出直观图如下图所示,.

9．某简单凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图都是直角三角形，主视图是直角梯形，则其所有表面（含底面和侧面）中直角三角形的个数为（    ）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

【答案】A

【解析】

由三视图可知，该凸多面体是如图所示的三棱锥 ，由图可知，三棱锥的三个面中，只有 是直角三角形，即直角三角形的个数为 ，故选A.

10. 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,分别是棱,的中点,则直线被球截得的线段长为（     ）

A．     B．   C．  D．

【分析】本题求解关键是得出直线被球截得的线段为球的截面圆的直径

【解析】由题意可知,球为正方体的外接球.平面截面所得圆面的半径直线被球截得的线段为球的截面圆的直径.

11.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB＝3,AC＝4,AB⊥AC,AA1＝12,则球O的半径为(　　)

A.       B．2      C.     D．3

【分析】先确定球心位置,再利用确定球的半径

【解析】如图所示,由球心作平面ABC的垂线,

则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝,OM＝AA1＝6,所以球O的半径R＝OA＝＝.

【点评】直棱柱的外接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的中点.

12.在三棱锥P－ABC中,PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为（     ）

  A．　 B.　 C.  4　D.

【解析】如图7所示,过点作底面的垂线,垂足为,设为外接球的球心,连接因故,又△为直角三角形,

二、填空题  共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为

_______．

【答案】2

【解析】根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2m，高为1m的平行四边形，四棱锥的高为3m，故其

体积为()．

14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)

A．16   B．20    C．52   D．60

【答案】B

【解析】选B　由三视图知，该几何体由一个底面为直角三角形(直角边分别为3,4)，高为6的三棱柱截去两个等体积的四棱锥所得，且四棱锥的底面是矩形(边长分别为2,4)，高为3，如图所示，所以该几何体的体积V＝×3×4×6－2××2×4×3＝20，故选B.

15．在矩形ABCD中，AB<BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：

①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；

②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；

③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．

其中正确结论的序号是________．

【解析】：①假设AC与BD垂直，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE，如图所示，则AE⊥BD，BD⊥AC.又AE∩AC＝A，所以BD⊥平面AEC，从而有BD⊥CE，而在平面BCD中，CE与BD不垂直，故假设不成立，①错误．

②假设AB⊥CD，∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB<BC可知，存在这样的直角三角形BAC，使AB⊥CD，故假设成立，②正确．

③假设AD⊥BC，∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而AB<BC，故矛盾，假设不成立，③错误．

16.已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，

G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为     ．

【答案】

【解析】连接，，，，，因为，分别为，的中点，所以∥，

，因为，分别为，的中点，

所以∥，，所以，，所以四边形为平行四边形，又，，所以四边形为正方形，又点到平面的距离为，所以四棱锥的体积为．