2021年中考数学培优复习考点专题突破专题06 分式方程(考点训练)(解析版)

2021年中考数学培优复习考点专题突破 第二章  方程与不等式

专题06 分式方程

一．选择题

1．甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的1.5倍，结果提前6小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（　　）

A．17小时 B．14小时 C．12小时 D．10小时

解：设甲打字员原计划完成此项工作的时间是x小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是甲的1.5倍，即，

依题意得：+＝1，

整理得：2x﹣12+3（x﹣8）＝2x，

解得：x＝12，

经检验，x＝12是所列分式方程的解，

即甲打字员原计划完成此项工作的时间是12小时；

故选：C．

2．“某学校改造过程中整修门口1500m的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　）

A．每天比原计划多修5m，结果延期10天完成 

B．每天比原计划多修5m，结果提前10天完成 

C．每天比原计划少修5m，结果延期10天完成 

D．每天比原计划少修5m，结果提前10天完成

解：设实际每天整修道路xm，则（x﹣5）m表示：实际施工时，每天比原计划多修5m，

∵方程，其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间，

∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成．

故选：B．

3．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元．若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为（　　）

A．117元 B．118元 C．119元 D．120元

解：设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为（x+13），根据题意列方程得：

＝，

解得：x＝117，

经检验：x＝117是原方程的解．

故选：A．

4．爷爷现在的年龄是孙子的5倍，12年后，爷爷的年龄是孙子的3倍，现在孙子的年龄是（　　）

A．11岁 B．12岁 C．13岁 D．14岁

解：设现在孙子的年龄是x岁，根据题意得

，

解得x＝12，

即现在孙子的年龄是12岁．

故选：B．

5．春节期间，文具店的一种笔记本8折优惠出售．某同学发现，同样花12元钱购买这种笔记本，春节期间正好可比春节前多买一本．这种笔记本春节期间每本的售价是（　　）

A．2元 B．3元 C．2.4元 D．1.6元

解：设这种笔记本节日前每本的售价是x元，

根据题意得：，

解得：x＝3，

经检验，x＝3是原方程的解，

∴0.8x＝0.8×3＝2.4（元），

答：这种笔记本节日期间每本的售价是2.4元，

故选：C．

6．甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后50分钟到达B，甲乙的速度之比为（　　）

A．2：3 B．3：5 C．3：2 D．3：4

解：设甲的速度为v1千米/时，乙的速度为v2千米/时，根据题意知，从出发地点到A的路程为v1千米，到B的路程为v2千米，从而有方程：

，

化简得：，

解得：，﹣是负数，应该舍去

故选：A．

7．甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，则甲每天加工的玩具数为（　　）

A．15 B．20 C．18 D．17

解：设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工（35﹣x）个玩具

由题意得，＝，

解得：x＝15，

经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，

则35﹣x＝20，

即甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具．

故选：A．

8．某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍数量这种计算器，由于量大，每个进价比上次优惠1元，该店又用2580元购进所需计算器，该店第一次购进计算器的单价为（　　）

A．20元 B．42元 C．44元 D．46元

解：设该店第一次购进计算器的单价为x元，则第二次购进计算器的单价为（x﹣1）元，

根据题意得：3×＝，

去分母得：2640（x﹣1）＝2580x，

解得：x＝44，

经检验x＝44是分式方程的解，且符合题意，

则此店第一次购进计算器的单价为44元，

故选：C．

二．填空题

9．小明和小张从同一地点同时出发跑1000m，小明的速度是小张的2倍，小明比小张提前50s到达终点，则小明和小张的速度各是　   　．

解：设小张的速度是xm/s，则小明的速度是2xm/s，依题意有

﹣＝50，

解得x＝10，

2x＝2×10＝20．

故小明的速度是20m/s，小张的速度是10m/s．

故答案为：20m/s，10m/s．

10．某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费750元，购买排球共花费900元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个，跳绳的单价为　   　元．

解：设跳绳的单价为x元，则排球的单价为3x元，

依题意，得：﹣＝30，

解得：x＝15，

经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意．

故答案为：15．

11．某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用4000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是　   　元．

解：设第一批进货的单价为x元/件，

由题意2×＝，

解得x＝40，

经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，

答：第一次进货单价为40元/件，

故答案为：40．

12．一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了　   　．（注：销售利润率＝（售价﹣进价）÷进价）

解：设原来的售价是b，进价是a，

×100%＝47%

b＝1.47a．

×100%＝40%．

故答案为：40%．

13．为了丰富学生的大课间活动，某校筹集3000元购买了足球和篮球共30个，其中购买足球花费1800元．已知足球比篮球的单价高50%，则足球的单价为　   　元．

解：设篮球的单价为x元，

∴足球的单价为（1+50%）x元，

∴+＝30，

解得：x＝80，

经检验，x＝80是原方程的解，

∴1.5x＝120，

故答案为：120

14．A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同．A型机器每小时加工零件的个数　   　．

解：设A型机器每小时加工x个零件，则B型机器每小时加工（x﹣20）个零件，

根据题意得：＝，

解得：x＝80，

经检验，x＝80是原分式方程的根，且符合题意．

答：A型机器每小时加工80个零件．

故答案为：80．

三．解答题

15．在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用3000元购进医用口罩若干个，第二次又用3000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个﹒

（1）求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？

（2）药店第一次购进口罩后，先以每个4元的价格出售，卖出了a个后购进第二批同款口罩，由于进价提高了，药店将口罩的售价也提升至每个4.5元继续销售卖出了b个后﹒因当地医院医疗物资紧缺，将其已获得口罩销售收入6400元和剩余全部的口罩捐赠给了医院﹒请问药店捐赠口罩至少有多少个？（销售收入＝售价×数量）

解：（1）设第一次购进医用口罩的数量为x个，

∴第二次购进医用口罩的数量为（x﹣200）个，

∴由题意可知：＝1.25×，

解得：x＝1000，

经检验，x＝1000是原方程的解，

∴x﹣200＝800，

答：第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为1000和800个．

（2）由（1）可知两次购进口罩共1800个，

由题意可知：4a+4.5b＝6400，

∴a＝1600﹣，

∴1800﹣a﹣b＝1800﹣（1600﹣）﹣b＝200+，

∵a≤1000，

∴1600﹣≤1000，

∴b≥533，

∵a，b是整数，

∴b是8的倍数，

∴b的最小值是536，

∴1800﹣a﹣b≥267，

答：药店捐赠口罩至少有267个

16．甲、乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．

（1）求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？

（2）已知甲、乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是150元和120元，疫情期间，某医院紧急需要3000套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有安排，剩下任务只能由乙单独完成．如果总加工费不超过6360元，那么甲厂至少要加工多少天？

解：（1）设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工1.5x套防护服，

根据题意，得﹣＝4．

解得x＝50．

经检验：x＝50是所列方程的解．

则1.5x＝75．

答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服；

（2）设甲厂要加工m天，

根据题意，得150m+120×≤6360．

解得m≥28．

答：甲厂至少要加工28天．

17．某市政工程队承担着1200米长的道路维修任务．为了减少对交通的影响，在维修了240米后通过增加人数和设备提高了工程进度，工作效率是原来的4倍，结果共用了6小时就完成了任务．求原来每小时维修多少米？

解：设原来每小时维修x米．

根据题意得+＝6，

解得x＝80，

经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．

答：原来每小时维修80米．

18．甲、乙两地相距a千米，轮船“东风1号”顺流航行120千米所用时间，与逆流航行80千米所用时间相等，今天水流速度是6千米/时．

（1）求轮船“东风1号”在静水中的速度；

（2）小明说“今天的水流速度比昨天的水流速度慢，今天往返甲乙两地所用时间比昨天往返甲乙两地所用时间多．”小明的说法是否正确？通过计算说明理由；

（3）轮船“东风1号”从甲地出发顺流而下，“东风2号”同时从乙地出发逆流而上相向而行，且它们在静水中的速度相同，两船行驶了t小时后水流速度增加了m千米/时（m＞8），此后当“东风2号”行驶到距乙地a千米处时，“东风1号”与“东风2号”相距a千米，请用含m、t的代数式表示a．

解：（1）设轮船“东风1号”在静水中的速度为x千米/时，

依题意，得：＝，

解得：x＝30，

经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．

答：轮船“东风1号”在静水中的速度为30千米/时．

（2）设昨天的水流速度为y千米/时（y＞6），则昨天往返所需时间为+＝+＝；

今天往返所需时间为+＝+＝．

∵y＞6，

∴900﹣y2＜900﹣62＝864，

∴＞，

∴小明的说法不对．

（3）水流速度改变后“东风2号”行驶的时间为小时．

①当“东风1号”与“东风2号”相遇前相距a千米时，有（30+6）t+（30+6+m）•＝a﹣a﹣a，

∴a＝；

②当“东风1号”与“东风2号”相遇后相距a千米时，有（30+6）t+（30+6+m）•＝a﹣a+a，

∴a＝．

综上所述，a＝或a＝．