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数学八年级下册第四章 因式分解综合与测试精品综合训练题
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这是一份数学八年级下册第四章 因式分解综合与测试精品综合训练题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第四章 因式分解检测卷
时间：120分钟 满分：120分
（解析版）
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．（2019•无锡市）分解因式4x2-y2的结果是（ ）
A.（4x+y）（4x-y） B.4（x+ y）（x-y）
C.（2x+ y）（2x-y） D.2（x+y）（x-y）
【答案】C
【解析】4x2-y2=(2x)2-y2=（2 x + y）（2 x - y）则C正确，
故选：C.
【点睛】直接利用平方差公式分解因式即可得出答案.
2．（2019•渭南模考）若(x－3)(x＋5)是x2＋px＋q的因式，则q为( )
A．－15 B．－2 C．8 D．2
【答案】A
【解析】∵(x－3)(x＋5)=x2+2x-15，
∴p=2，q=-15.
故选A．
【点睛】本题主要考查因式分解与多项式相乘是互逆运算. 把多项式相乘展开，再根据对应项系数相等求解即可.
3．（2016•沂城期中）下列多项式：4a2b（a-b）-6ab2（b-a）中，各项的公因式是( )
A．4ab B．2ab C．ab（a-b） D．2ab（a-b）
【答案】D
【解析】4a2b（a-b）-6ab2（b-a）=2ab（a-b）（2a+3b），
则公因式是2ab（a-b），
故选D.
【点睛】本题考查确定公因式.公因式是多项式中每一项都含有的公共的因式，可以是数字，可以是字母，也可以是多项式.
4．（2019·潍坊）下列因式分解正确的是（）
A. 3ax2 6ax 3(ax2 2ax) B. x2 y 2 ( x y )( x y )
C. a2 2ab 4b2 (a 2b)2 D. ax2 2ax a a(x 1)2
【答案】D
【解析】选项 A：3ax2 6ax 3ax( x 2) ，所以选项 A错误；
选项 B： x2 y 2 ( x y )(x y ) ，所以选项 B错误;
选项 C：a2 2ab 4b2中无公因式，不能分解因式；
选项 D 正确，
故选：D．
【点睛】直接利用提公因式法以及公式法分解因式进行判断即可.
5．（2019·菏泽）将 a3b﹣ab 进行因式分解，正确的是（）
A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2
C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）
【答案】C
【解析】a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），
故选： C．
【点睛】多项式a3b﹣ab有公因式ab，首先考虑用提公因式法提取公因式ab，提公因式后，得到多项式（x2-1），再利用平方差公式进行分解.
6．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是( )
A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2 C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2
【答案】D
【解析】3x3－12x2＋12x＝3x(x2－4x＋4)＝3x(x－2)2，
故选：D．
【点睛】本题综合考查因式法和公式法分解因式．先提取公因式，再将剩下的部分利用完全平方公式分解因式即可．
7．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②，根据这两个图形的面积关系下列式子成立的是( )
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．a2－b2＝(a－b)2
【答案】A
【解析】①中的面积＝a2－b2，
②中梯形的面积＝(2a＋2b)(a－b)÷2＝(a＋b)(a－b)，
则有a2－b2＝(a＋b)(a－b)，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题关键．
8．已知x，y满足2x＋x2＋x2y2＋2＝－2xy，则x＋y的值为( )
A．－1 B．0 C．2 D．1
【答案】B
【解析】由2x＋x2＋x2y2＋2＝－2xy可得，
2x＋x2＋x2y2＋2＋2xy＝0，
即（x＋1）2＋（xy＋1）2 ＝0，
∴x＋1＝0，xy＋1＝0，
即x＝－1，xy＝－1，
∴y＝1，
则x＋y＝0，
故选：B．
【点睛】本题主要考查因式分解．把所给等式能进行因式分解的式子进行因式分解，整理为非负数相加的形式，然后根据非负数的性质列式求解即可．
9．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2－4，乙与丙相乘为x2＋15x－34，则甲与丙相加的结果与下列式子相同的是( )
A．2x＋19 B．2x－19 C．2x＋15 D．2x－15
【答案】A
【解析】∵x2－4＝(x＋2)(x－2)，x2＋15x－34＝(x＋17)·(x－2)，
∴乙为x－2，
∴甲为x＋2，丙为x＋17，
∴甲与丙相加的结果x＋2＋x＋17＝2x＋19.
故选：A．
【点睛】根据平方差公式分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确定甲与丙，再把甲与丙相加即可得解．
10．已知a＝2018x＋2017，b＝2018x＋2018，c＝2018x＋2019，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值为( )
A．0 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】∵a＝2018x＋2017，b＝2018x＋2018，c＝2018x＋2019，
∴a－b＝－1，b－c＝－1，a－c＝－2，
则原式＝eq \f(1,2)(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac)
＝eq \f(1,2)[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]
＝eq \f(1,2)×(1＋1＋4)
＝3.
故选：B．
【点睛】本题考查完全平公式、配方法、整体代入思想等知识方法．
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．（2018•大连）因式分解：x2－3x＝ .
【答案】x(x－3)
【解析】确定公因式是x，提取公因式，得x2－3x＝x(x－3).
故答案为: x(x－3)．
【点睛】本题考查利用提公因式法分解因式.
12．（2019·陕西）因式分解：x3y 9xy3 ．
【答案】 xy( x 3)( x 3)
【解析】 x3 y 9xy3 xy(x2 9) xy(x 3)(x 3) ，
故答案为：xy( x 3)( x 3).
【点睛】直接利用提公因式法和平方差公式法进行因式分解即可．
13．（2019·绵阳）因式分解：m2n+2mn2+n3＝ ．
【答案】n（m+n）2．
【解析】m2n+2mn2+n3＝n（m2+2mn+n2）＝n（m+n）2，
故答案为：n（m+n）2．
【点睛】直接利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．
14．（2019·兰州）因式分解：a3+2a2+a＝ ．
【答案】a（a+1）2
【解析】a3+2a2+a =a（a2+2a+1）= a（a+1）2，
故答案为：a（a+1）2.
【点睛】直接利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．
15．（2019·眉山）分解因式：3a3-6a2+3a= ．
【答案】3a（a-1）2
【解析】3a3-6a2+3a =3a（a2-2a+1）=3a（a-1）2.
故答案为：3a（a-1）2.
【点睛】直接利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．
16．甲、乙、丙三家汽车销售公司的同款汽车的售价都是20.15万元，为了盘活资金，甲、乙分别让利7%，13%，丙的让利是甲、乙两家公司让利之和，则丙共让利________万元．
【答案】4.03
【解析】丙共让利为：
7%×20.15+13%×20.15=20.15×（7%+13%）=4.03万元，
故答案为：4.03．
【点睛】本题等量关系为：丙共让利=甲、乙两家公司让利之和.各项有公因式时，要先考虑提取公因式，这样可以使运算简便．
17．甲、乙两个同学分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了b，分解结果为(x＋2)(x＋4)；乙看错了a，分解结果为(x＋1)(x＋9)，则a＋b＝___________.
【答案】15
【解析】分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为
(x+2)(x+4)=x2+x+8，
∴a=6
同理：乙看错了a,分解结果为
(x+1)(x+9)=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15.
故答案为：15.
【点睛】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出a，b的值.
18．观察下列各式：
22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；……
将你猜想到的规律用只含一个字母n的式子表示出来____________________．
【答案】n2-1=（n+1）（n-1）
【解析】由题意可知，
22－1＝1×3＝（2+1）（2－1）；
32－1＝2×4＝（3+1）（3－1）；
42－1＝3×5＝（4+1）（4－1）；
所以，当第一个数为n（n≥2）时，
得规律是：n2-1=（n+1）（n-1），
故答案为：n2-1=（n+1）（n-1）．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过等式的变形，可以发现其中的运算规律．解決此题学生可以利用平方差公式使题目更加简单，通过观察等式实际上为等差数列的推导，根据规律即可得出答案．
三、解答题(共66分)
19． (6分)（2019·齐齐哈尔）因式分解：a2+1-2a+4(a-1）
【答案】(a-1)(a+3）
【解析】解：
a2+1-2a+4(a-1)
=(a-1)2+4(a-1)
=(a-1)(a-1+4）
=(a-1)(a+3）
【点睛】先将前三项结合，构成完全平方公式，再提取公因式(a-1)完成因式分解.
20．(12分)分解因式：
（1）6x－4xy；
（2）2a2b－5ab2；
（3）2ab2－6a2b＋ab.
（4）x（x+y）（x-y）3-x2（y-x）3.
【答案】（1）2x(3－2y), （2）ab(2a－5b), （3）ab(2b－6a＋1), （4）x（x-y）3（2x+y）.
【解析】解：（1）6x－4xy =2x(3－2y).
（2）2a2b－5ab2=ab(2a－5b).
（3）2ab2－6a2b＋ab =ab(2b－6a＋1).
（4）x（x+y）（x-y）3－x2（y-x）3
= x（x+y）（x-y）3＋x2（x-y）3
= x（x-y）3（x+y+x）
= x（x-y）3（2x+y）
【点睛】用提公因式法进行因式分解的步骤：步骤1 ——确定公因式，可按照确定公因式的方法先确定系数，再确定字母，最后确定指数；步骤2 ——提公因式并确定另一个因式，另一个因式的确定方法是用原多项式除以公因式，所得的商就是提取公因式后剩下的另一个因式.
21．(8分)利用因式分解计算：
(1)3.62－5.62；(2)40×3.52＋80×3.5×1.5＋40×1.52.
【答案】(1) －18.4，(2) 1000
【解析】解：
(1)原式＝(3.6－5.6)×(3.6＋5.6)＝－2×9.2＝－18.4.
(2)原式＝40×(3.52＋2×3.5×1.5＋1.52)＝40×(3.5＋1.5)2＝40×52＝1000.
【点睛】本题考查因式分解的实际运用，掌握提取公因式法与完全平方公式是解决问题的关键．
22． (10分)利用因式分解化简求值．
(1)已知a＋2b＝0，求a3＋2ab(a＋b)＋4b3的值；
(2)已知m＋n＝3，mn＝eq \f(2,3)，求m3n－m2n2＋mn3的值．
【答案】(1) 0，(2) 4eq \f(2,3)
【解析】解：
(1)原式＝a3＋2a2b＋2ab2＋4b3
＝a2(a＋2b)＋2b2(a＋2b)
＝(a2＋2b2)(a＋2b).
当a＋2b＝0时，
原式＝0.
(2)原式＝mn(m2－mn＋n2)
＝mn[(m2＋2mn＋n2)－3mn]
＝mn[(m＋n)2－3mn]．
当m＋n＝3，mn＝eq \f(2,3)时，
原式＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(32－3×\f(2,3)))＝4eq \f(2,3).
【点睛】(1)合并同类项，提出(a＋2b)，再将条件带入，即可求得答案．(2)凑出(m＋n)2与mn形式，带入条件，即可求得答案．
23．(8分)多项式2x2+5x+m因式分解的结果中有一个因式为x+3，试将该多项式因式分解.
【答案】(x+3)(2x-1)
【解析】解：设2x2+5x+m = (x+3)(ax+b)，则
∵(x+3)(ax+b) = ax2+(3a+b)x+3b，即2x2+5x+m= ax2+(3a+b)x+3b，
∴a=2，3a+b=5，m=3b，
∴a=2，b=-1，
∴m=3b = -3.
所以2x2+5x+m = 2x2+5x-3 = (x+3)(2x-1).
【点睛】根据多项式的次数为2，以及最高次项的系数为2，可设另一个因式为ax+b ，即2x2+5x+m = (x+3)(ax+b)；然后根据题意展开等号右边的括号，即可列出等式2x2+5x+m= ax2+(3a+b)x+3b，根据等号两边对应未知数的系数相等，即可得出a，b的值，从而可得m的值，再进行因式分解即可.
24．(10分)已知实数a，b满足条件2a2＋3b2＋4a－12b＋14＝0，求(a＋b)2018的值．
【答案】1
【解析】解：由题可知，2a2＋4a＋2＋3b2－12b＋12＝2(a＋1)2＋3(b－2)2＝0，
则a＋1＝0，b－2＝0，
解得a＝－1，b＝2.
∴(a＋b)2018＝(－1＋2)2018＝1.
【点睛】首先对2a2＋4a＋2＋3b2－12b＋12进行整理即可求出a、b的值，再带入(a＋b)2018即可求解．
25．(12分)阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．
例如，将式子x2＋3x＋2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2.
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：x2＋7x－18＝______________；
启发应用：
(2)利用因式分解法解方程：x2－6x＋8＝0；
(3)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________.
【答案】(1)(x－2)(x＋9)，(2) x＝2或x＝4，(3)±7，±2
【解析】解：(1) x2＋7x－18＝(x－2)(x＋9)，
(2)∵常数项8＝(－2)×(－4)，一次项系数－6＝(－2)＋(－4)，
∴x2－6x＋8＝(x－2)(x－4)．
∴方程x2－6x＋8＝0可变形为(x－2)(x－4)＝0.
∴x－2＝0或x－4＝0，∴x＝2或x＝4.
(3)±7，±2
∵－8＝－1×8，－8＝－8×1，－8＝－2×4，－8＝－4×2，
∴p的所有可能值为－1＋8＝7，－8＋1＝－7，－2＋4＝2，－4＋2＝－2.
【点睛】(1)原式利用题中的方法分解即可；(2)方程利用因式分解法求出解即可；(3)找出所求满足题意p的值即可．
第四章 因式分解检测卷
时间：120分钟 满分：120分
（解析版）
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．（2019•无锡市）分解因式4x2-y2的结果是（ ）
A.（4x+y）（4x-y） B.4（x+ y）（x-y）
C.（2x+ y）（2x-y） D.2（x+y）（x-y）
【答案】C
【解析】4x2-y2=(2x)2-y2=（2 x + y）（2 x - y）则C正确，
故选：C.
【点睛】直接利用平方差公式分解因式即可得出答案.
2．（2019•渭南模考）若(x－3)(x＋5)是x2＋px＋q的因式，则q为( )
A．－15 B．－2 C．8 D．2
【答案】A
【解析】∵(x－3)(x＋5)=x2+2x-15，
∴p=2，q=-15.
故选A．
【点睛】本题主要考查因式分解与多项式相乘是互逆运算. 把多项式相乘展开，再根据对应项系数相等求解即可.
3．（2016•沂城期中）下列多项式：4a2b（a-b）-6ab2（b-a）中，各项的公因式是( )
A．4ab B．2ab C．ab（a-b） D．2ab（a-b）
【答案】D
【解析】4a2b（a-b）-6ab2（b-a）=2ab（a-b）（2a+3b），
则公因式是2ab（a-b），
故选D.
【点睛】本题考查确定公因式.公因式是多项式中每一项都含有的公共的因式，可以是数字，可以是字母，也可以是多项式.
4．（2019·潍坊）下列因式分解正确的是（）
A. 3ax2 6ax 3(ax2 2ax) B. x2 y 2 ( x y )( x y )
C. a2 2ab 4b2 (a 2b)2 D. ax2 2ax a a(x 1)2
【答案】D
【解析】选项 A：3ax2 6ax 3ax( x 2) ，所以选项 A错误；
选项 B： x2 y 2 ( x y )(x y ) ，所以选项 B错误;
选项 C：a2 2ab 4b2中无公因式，不能分解因式；
选项 D 正确，
故选：D．
【点睛】直接利用提公因式法以及公式法分解因式进行判断即可.
5．（2019·菏泽）将 a3b﹣ab 进行因式分解，正确的是（）
A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2
C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）
【答案】C
【解析】a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），
故选： C．
【点睛】多项式a3b﹣ab有公因式ab，首先考虑用提公因式法提取公因式ab，提公因式后，得到多项式（x2-1），再利用平方差公式进行分解.
6．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是( )
A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2 C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2
【答案】D
【解析】3x3－12x2＋12x＝3x(x2－4x＋4)＝3x(x－2)2，
故选：D．
【点睛】本题综合考查因式法和公式法分解因式．先提取公因式，再将剩下的部分利用完全平方公式分解因式即可．
7．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②，根据这两个图形的面积关系下列式子成立的是( )
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．a2－b2＝(a－b)2
【答案】A
【解析】①中的面积＝a2－b2，
②中梯形的面积＝(2a＋2b)(a－b)÷2＝(a＋b)(a－b)，
则有a2－b2＝(a＋b)(a－b)，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题关键．
8．已知x，y满足2x＋x2＋x2y2＋2＝－2xy，则x＋y的值为( )
A．－1 B．0 C．2 D．1
【答案】B
【解析】由2x＋x2＋x2y2＋2＝－2xy可得，
2x＋x2＋x2y2＋2＋2xy＝0，
即（x＋1）2＋（xy＋1）2 ＝0，
∴x＋1＝0，xy＋1＝0，
即x＝－1，xy＝－1，
∴y＝1，
则x＋y＝0，
故选：B．
【点睛】本题主要考查因式分解．把所给等式能进行因式分解的式子进行因式分解，整理为非负数相加的形式，然后根据非负数的性质列式求解即可．
9．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2－4，乙与丙相乘为x2＋15x－34，则甲与丙相加的结果与下列式子相同的是( )
A．2x＋19 B．2x－19 C．2x＋15 D．2x－15
【答案】A
【解析】∵x2－4＝(x＋2)(x－2)，x2＋15x－34＝(x＋17)·(x－2)，
∴乙为x－2，
∴甲为x＋2，丙为x＋17，
∴甲与丙相加的结果x＋2＋x＋17＝2x＋19.
故选：A．
【点睛】根据平方差公式分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确定甲与丙，再把甲与丙相加即可得解．
10．已知a＝2018x＋2017，b＝2018x＋2018，c＝2018x＋2019，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值为( )
A．0 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】∵a＝2018x＋2017，b＝2018x＋2018，c＝2018x＋2019，
∴a－b＝－1，b－c＝－1，a－c＝－2，
则原式＝eq \f(1,2)(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac)
＝eq \f(1,2)[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]
＝eq \f(1,2)×(1＋1＋4)
＝3.
故选：B．
【点睛】本题考查完全平公式、配方法、整体代入思想等知识方法．
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．（2018•大连）因式分解：x2－3x＝ .
【答案】x(x－3)
【解析】确定公因式是x，提取公因式，得x2－3x＝x(x－3).
故答案为: x(x－3)．
【点睛】本题考查利用提公因式法分解因式.
12．（2019·陕西）因式分解：x3y 9xy3 ．
【答案】 xy( x 3)( x 3)
【解析】 x3 y 9xy3 xy(x2 9) xy(x 3)(x 3) ，
故答案为：xy( x 3)( x 3).
【点睛】直接利用提公因式法和平方差公式法进行因式分解即可．
13．（2019·绵阳）因式分解：m2n+2mn2+n3＝ ．
【答案】n（m+n）2．
【解析】m2n+2mn2+n3＝n（m2+2mn+n2）＝n（m+n）2，
故答案为：n（m+n）2．
【点睛】直接利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．
14．（2019·兰州）因式分解：a3+2a2+a＝ ．
【答案】a（a+1）2
【解析】a3+2a2+a =a（a2+2a+1）= a（a+1）2，
故答案为：a（a+1）2.
【点睛】直接利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．
15．（2019·眉山）分解因式：3a3-6a2+3a= ．
【答案】3a（a-1）2
【解析】3a3-6a2+3a =3a（a2-2a+1）=3a（a-1）2.
故答案为：3a（a-1）2.
【点睛】直接利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．
16．甲、乙、丙三家汽车销售公司的同款汽车的售价都是20.15万元，为了盘活资金，甲、乙分别让利7%，13%，丙的让利是甲、乙两家公司让利之和，则丙共让利________万元．
【答案】4.03
【解析】丙共让利为：
7%×20.15+13%×20.15=20.15×（7%+13%）=4.03万元，
故答案为：4.03．
【点睛】本题等量关系为：丙共让利=甲、乙两家公司让利之和.各项有公因式时，要先考虑提取公因式，这样可以使运算简便．
17．甲、乙两个同学分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了b，分解结果为(x＋2)(x＋4)；乙看错了a，分解结果为(x＋1)(x＋9)，则a＋b＝___________.
【答案】15
【解析】分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为
(x+2)(x+4)=x2+x+8，
∴a=6
同理：乙看错了a,分解结果为
(x+1)(x+9)=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15.
故答案为：15.
【点睛】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出a，b的值.
18．观察下列各式：
22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；……
将你猜想到的规律用只含一个字母n的式子表示出来____________________．
【答案】n2-1=（n+1）（n-1）
【解析】由题意可知，
22－1＝1×3＝（2+1）（2－1）；
32－1＝2×4＝（3+1）（3－1）；
42－1＝3×5＝（4+1）（4－1）；
所以，当第一个数为n（n≥2）时，
得规律是：n2-1=（n+1）（n-1），
故答案为：n2-1=（n+1）（n-1）．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过等式的变形，可以发现其中的运算规律．解決此题学生可以利用平方差公式使题目更加简单，通过观察等式实际上为等差数列的推导，根据规律即可得出答案．
三、解答题(共66分)
19． (6分)（2019·齐齐哈尔）因式分解：a2+1-2a+4(a-1）
【答案】(a-1)(a+3）
【解析】解：
a2+1-2a+4(a-1)
=(a-1)2+4(a-1)
=(a-1)(a-1+4）
=(a-1)(a+3）
【点睛】先将前三项结合，构成完全平方公式，再提取公因式(a-1)完成因式分解.
20．(12分)分解因式：
（1）6x－4xy；
（2）2a2b－5ab2；
（3）2ab2－6a2b＋ab.
（4）x（x+y）（x-y）3-x2（y-x）3.
【答案】（1）2x(3－2y), （2）ab(2a－5b), （3）ab(2b－6a＋1), （4）x（x-y）3（2x+y）.
【解析】解：（1）6x－4xy =2x(3－2y).
（2）2a2b－5ab2=ab(2a－5b).
（3）2ab2－6a2b＋ab =ab(2b－6a＋1).
（4）x（x+y）（x-y）3－x2（y-x）3
= x（x+y）（x-y）3＋x2（x-y）3
= x（x-y）3（x+y+x）
= x（x-y）3（2x+y）
【点睛】用提公因式法进行因式分解的步骤：步骤1 ——确定公因式，可按照确定公因式的方法先确定系数，再确定字母，最后确定指数；步骤2 ——提公因式并确定另一个因式，另一个因式的确定方法是用原多项式除以公因式，所得的商就是提取公因式后剩下的另一个因式.
21．(8分)利用因式分解计算：
(1)3.62－5.62；(2)40×3.52＋80×3.5×1.5＋40×1.52.
【答案】(1) －18.4，(2) 1000
【解析】解：
(1)原式＝(3.6－5.6)×(3.6＋5.6)＝－2×9.2＝－18.4.
(2)原式＝40×(3.52＋2×3.5×1.5＋1.52)＝40×(3.5＋1.5)2＝40×52＝1000.
【点睛】本题考查因式分解的实际运用，掌握提取公因式法与完全平方公式是解决问题的关键．
22． (10分)利用因式分解化简求值．
(1)已知a＋2b＝0，求a3＋2ab(a＋b)＋4b3的值；
(2)已知m＋n＝3，mn＝eq \f(2,3)，求m3n－m2n2＋mn3的值．
【答案】(1) 0，(2) 4eq \f(2,3)
【解析】解：
(1)原式＝a3＋2a2b＋2ab2＋4b3
＝a2(a＋2b)＋2b2(a＋2b)
＝(a2＋2b2)(a＋2b).
当a＋2b＝0时，
原式＝0.
(2)原式＝mn(m2－mn＋n2)
＝mn[(m2＋2mn＋n2)－3mn]
＝mn[(m＋n)2－3mn]．
当m＋n＝3，mn＝eq \f(2,3)时，
原式＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(32－3×\f(2,3)))＝4eq \f(2,3).
【点睛】(1)合并同类项，提出(a＋2b)，再将条件带入，即可求得答案．(2)凑出(m＋n)2与mn形式，带入条件，即可求得答案．
23．(8分)多项式2x2+5x+m因式分解的结果中有一个因式为x+3，试将该多项式因式分解.
【答案】(x+3)(2x-1)
【解析】解：设2x2+5x+m = (x+3)(ax+b)，则
∵(x+3)(ax+b) = ax2+(3a+b)x+3b，即2x2+5x+m= ax2+(3a+b)x+3b，
∴a=2，3a+b=5，m=3b，
∴a=2，b=-1，
∴m=3b = -3.
所以2x2+5x+m = 2x2+5x-3 = (x+3)(2x-1).
【点睛】根据多项式的次数为2，以及最高次项的系数为2，可设另一个因式为ax+b ，即2x2+5x+m = (x+3)(ax+b)；然后根据题意展开等号右边的括号，即可列出等式2x2+5x+m= ax2+(3a+b)x+3b，根据等号两边对应未知数的系数相等，即可得出a，b的值，从而可得m的值，再进行因式分解即可.
24．(10分)已知实数a，b满足条件2a2＋3b2＋4a－12b＋14＝0，求(a＋b)2018的值．
【答案】1
【解析】解：由题可知，2a2＋4a＋2＋3b2－12b＋12＝2(a＋1)2＋3(b－2)2＝0，
则a＋1＝0，b－2＝0，
解得a＝－1，b＝2.
∴(a＋b)2018＝(－1＋2)2018＝1.
【点睛】首先对2a2＋4a＋2＋3b2－12b＋12进行整理即可求出a、b的值，再带入(a＋b)2018即可求解．
25．(12分)阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．
例如，将式子x2＋3x＋2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2.
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：x2＋7x－18＝______________；
启发应用：
(2)利用因式分解法解方程：x2－6x＋8＝0；
(3)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________.
【答案】(1)(x－2)(x＋9)，(2) x＝2或x＝4，(3)±7，±2
【解析】解：(1) x2＋7x－18＝(x－2)(x＋9)，
(2)∵常数项8＝(－2)×(－4)，一次项系数－6＝(－2)＋(－4)，
∴x2－6x＋8＝(x－2)(x－4)．
∴方程x2－6x＋8＝0可变形为(x－2)(x－4)＝0.
∴x－2＝0或x－4＝0，∴x＝2或x＝4.
(3)±7，±2
∵－8＝－1×8，－8＝－8×1，－8＝－2×4，－8＝－4×2，
∴p的所有可能值为－1＋8＝7，－8＋1＝－7，－2＋4＝2，－4＋2＝－2.
【点睛】(1)原式利用题中的方法分解即可；(2)方程利用因式分解法求出解即可；(3)找出所求满足题意p的值即可．
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