宁夏银川一中2021届高三第四次月考 数学试卷（理）（含答案）

银川一中2021届高三年级第四次月考

理 科 数 学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则

A．  B．  C．  D．

2．设，则=

A．2        B．       C．       D．1

3．若平面上单位向量满足，则向量的夹角为

A．   B．   C．   D．

4．已知直线l是平面和平面的交线，异面直线a，b分别在平面和平面内．
命题p：直线a，b中至多有一条与直线l相交；
命题q：直线a，b中至少有一条与直线l相交；
命题s：直线a，b都不与直线l相交．
则下列命题中是真命题的为

A．   B．  C．    D．

5．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为正弦曲线和余弦曲线在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是

A．  B．  C．  D．

6．函数的部分图象如图所示，则的值为

A．  B．  C．  D．

7．设，则有

A．  B．  C．  D．

8．已知函数，若不等式对任意的均成立，则m的取值不可能是

A．9    B．8   C．7   D．6

9．已知函数，函数满足，若函数恰有2021个零点，则所有这些零点之和为

A．2018   B．2019   C．2020   D．2021

10．公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代

表．他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”，

重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有

2个六边形，每行比上一行多一个六边形六边形均相同，设图

中前n行晶格点数满足，则

A．101   B．123   C．141   D．150

11．已知函数是单调递增函数，则实数a的取值范围是

A．  B．  C．  D．

12．如图，正方体的棱长为1，线段上有

两个动点E，F，且，则下列结论中错误的个数是
(1)．
(2)若P为上的一点，则P到平面BEF的距离为．
(3)三棱锥的体积为定值．
(4)在空间与，，都相交的直线有无数条．
(5)过的中点与直线所成角为并且与平面BEF所成角为的直线有2条．

A．0    B．1    C． 2    D．3

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．记为等比数列的前n项和，若，且成等差数列，则___．

14．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则角______．

15．已知矩形中，是CD边的中点．现以AE为折痕将 折起，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为______．

16．函数满足，当时，，

若有8个不同的实数解，则实数m的取值范围是______．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分)

17．(12分)

如图所示，在四棱锥中，底面是

矩形，平面，M，N分别是AB，PC的中点，

．

(1)求证：平面

(2)求证：平面PCD．

18．(12分)

已知正项等比数列中，，且的等差中项为．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，数列的前n项和为，数列满足，为数列的前n项和，求.

19．(12分)

如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为的风景区，

P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ

与AB垂直，街道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道．
   （1）如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；
   （2）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？

20．(12分)

如图，在三棱柱中，，

，D为的中点，点C在平面

内的射影在线段BD上．
   （1）求证：平面CBD；
   （2）若是正三角形，求二面角的余弦值．

21．(12分)

已知函数，其中a为正实数．
（1）若函数在处的切线斜率为2，求a的值；
（2）若函数有两个极值点，求证：．

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程是

,以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
    （1）求直线l和曲线C的极坐标方程；
    （2）若是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知．
（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为m，正实数a，b，c满足，

求证：．

银川一中2021届高三第四次月考数学(理科)参考答案

一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题5分，共60分）

10.C【解析】，，
则，
所以数列是以7为首项，2为公差的等差数列，
当时，
，所以．
故选：C．
12. A【解析】解：对于，在正方体中平面，又平面，故正确．
对于，，平面，平面，
平面，即平面BEF，
又正方体的棱长为1，
到平面BEF的距离为到的距离，
若P为上的一点，则P到平面BEF的距离为，故正确；
对于，，
设AC，BD交于点O，平面，，
，故正确；
对于取AC中点O，延长，交于一点，
而在正方体中，与，AC，都相交的直线只有这一条．
故错误；
对于，因为平面，即平面BEF，
要与平面BEF所成角为，即为过的中点的直线与AC成，
由于过的中点与直线和直线AC所成角都为的直线有2条．故正确；
故答案为：B．
根据题意，依次分析：如图可知平面，，进而判断出正确；
根据，判断出平面，即平面BEF，计算出到平面BEF的距离，即可判断出项错误；
设AC，BD交于点O，平面，可分别求得和AO，则三棱锥的体积可得判断项正确；
再利用正方体中线线，线面的位置关系，即可判定和项正确．
本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直，考查线面角、线线角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 27   14.    15 .   16.

三、解答题：

17.【答案】证明：(1)如图，取CD的中点E，连接NE，ME．

，M，N分别是CD，AB，PC的中点，

，，

平面平面PDA，

平面PAD．

平面ABCD，．

底面ABCD是矩形，，

又，平面PAD，．

，，

又，，

平面ENM，．

，N是PC的中点，

又，平面PCD．

18.【答案】解：设等比数列的公比为，
由题意，得
解得
所以 
由得，
，
，
，

．
19.【答案】解：由P位于弧BC的中点，在P位于的角平分线上，
则丨PQ丨丨PR丨丨PA丨，
丨AQ丨丨PA丨，
由，且丨AQ丨丨AR丨，
为等边三角形，
则丨RQ丨丨AQ丨，
三条街道的总长度丨PQ丨丨PR丨丨RQ丨；
设，，
则丨PQ丨丨AP丨，丨PR丨丨AP丨，
丨AQ丨丨AP丨，丨AR丨丨AP丨
由余弦定理可知：丨RQ丨丨AQ丨丨AR丨丨AQ丨丨AR丨，
，
，
则丨RQ丨，
三条街道每年能产生的经济总效益W，丨PQ丨丨PR丨丨RQ丨
，
，
，，
当时，W取最大值，最大值为
 

20.【答案】证明：设点C在平面内的射影E，则，平面CBD，平面，
因平面，所以D.
在中，，，则，
在中，，，则，
故，故BD，
因，故B平面CBD．
以D为坐标原点，，所在的直线分别为x，y轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则0，，1，，，
由是正三角形可知，
，，，
平面CBD的一个法向量，面的法向量，
，
由图可知二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为．
21.【答案】解：因为，
所以，
则，所以a的值为
，函数的定义域为，
若，即，则，此时的单调减区间为；
若，即，则的两根为，
此时的单调增区间为，，
单调减区间为
所以当时，函数有两个极值点，，且，．
因为

，
要证，只需证
构造函数，则，
在上单调递增，又，，且在定义域上不间断，
由零点存在定理，可知在上唯一实根，且
则在上递减，上递增，所以的最小值为，
因为，
当时，，则，
所以恒成立．
所以，
所以，得证

22.【答案】解：Ⅰ直线l的方程是，转换为极坐标方程为，
曲线C的参数方程是为参数转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．
Ⅱ点是曲线C上一点，
所以：，所以，
点是直线l上一点，
所以，所以，
，当时，最大值为．
 

23.【答案】解：
当时，由，得，此时无解；
当时，由，得，此时的解为；
当时，由，解得，此时的解为．
综上，不等式的解集为；
证明：，
故的最小值为，．

，
等号当且仅当，即时成立．
，，
，
即．