2021届高三上学期期中备考金卷 文科数学A卷（含答案）
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文科数学（A卷）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．命题“，”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
4．设，向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在点处的切线斜率为，（ ）
A． B． C． D．
7．执行如图所示框图，输出的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知半径为的圆经过点，则其圆心到抛物线的焦点的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．函数在上的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，若存在实数，满足，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为________．
14．若实数，满足约束条件，则的最大值为________．
15．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将，，，填入方格内使三行､三列､两条对角线的三个数之和都等于，如图所示．
一般地，将连续的正整数，，，填入个方格中，使得每行､每列､每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的对角线上数的和为，例如，，，那么__________．
16．已知、为正实数，直线截圆所得的弦长为，则的最小值为__________．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在中，内角，，的对边分别是，，，且满足：．
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值．
18．（12分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的前的项．
19．（12分）如图，已知四棱锥的底面为矩形，，，，．
（1）证明：平面平面，且；
（2）若四棱锥的每个顶点都在球的球面上，且球的表面积为，求三棱锥的体积．
20．（12分）已知椭圆的离心率，且椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是椭圆与轴正半轴的交点，斜率不为的直线与椭圆交于不同的两点，，若，问直线是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
21．（12分）已知．
（1）当时，求函数在区间上的最大值；
（2）当时，若存在正数，满足，求证：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求的极坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于，两点，求．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
2020-2021学年上学期高三期中备考金卷
文科数学（A）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】由，得，所以，
因为，所以，故选B．
2．【答案】B
【解析】因为，所以的共轭复数为，
故选B．
3．【答案】A
【解析】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A选项正确，故选A．
4．【答案】B
【解析】由，知，则，
可得，故选B．
5．【答案】B
【解析】因为，，，
所以，故选B．
6．【答案】A
【解析】∵，由导数的几何意义知，解得，
∴，∴，故选A．
7．【答案】C
【解析】模拟程序的运行，可得，，执行循环体，，；
不满足条件，执行循环体，，；
不满足条件，执行循环体，，；
不满足条件，执行循环体，，，
此时，满足条件，退出循环，输出的值为，故选C．
8．【答案】D
【解析】该几何体为四分之一个圆锥与三棱锥的组合体，且四分之一圆锥底面半径为，高为．
三棱锥为墙角三棱锥，三条直角边长分别为，
另外三条边长分别为．
故该几何体的表面积为，
故选D．
9．【答案】B
【解析】设圆的圆心为，则，
所以圆的圆心在圆上．
因为抛物线的焦点为，
所以圆心到抛物线焦点的距离的最大值为，故选B．
10．【答案】D
【解析】当时，，则，
所以函数在上单调递增，
令，则，
根据三角函数的性质，
当时，，故切线的斜率变小，
当时，，故切线的斜率变大，可排除A、B；
当时，，则，所以函数在上单调递增，
令，则，
当时，，故切线的斜率变大，
当时，，故切线的斜率变小，可排除C，故选D．
11．【答案】B
【解析】的图象如下，
存在实数，满足，且，即，
∴，则，
令，，则，
∴在上单调递增，故，故选B．
12．【答案】D
【解析】如图，取的两个三等分点，，连接，，，
设，连接，，则，
又∵，∴，∴四边形为平行四边形，
∵，∴为的中点，∴，
由勾股定理可得，则，
在中，，∴，
∵，∴，
又，则为等边三角形，
∴，则是的外接圆的圆心，
因为，为的中点，∴，
∵，，，
∴，∴，∴，
又∵，，
∴平面，且，
设为三棱锥外接球的球心，连接，，，过作，垂足为，
则外接球的半径满足，
设，则，解得，从而，
故三棱锥外接球的表面积为，
故选D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】
【解析】根据题意，由于函数，
则使得原式有意义的的取值范围满足，
即，解得，故所求函数的定义域为．
14．【答案】
【解析】约束条件表示的可行域如下图所示，
平移直线，当经过点时，直线在纵轴上的截距最小，
此时点坐标是方程组的解，解得，
因此的最大值为．
15．【答案】
【解析】由题意，∴．
16．【答案】
【解析】圆的圆心为，
则到直线的距离为，
由直线截圆所得的弦长为，
可得，
整理得，解得或(舍去)，
令，
，
又，当且仅当时，等号成立，
则，
∴．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由正弦定理得，
因为，所以，
所以由余弦定理得，
又在中，，所以．
（2）方法1：由（1）及，得，即，
因为（当且仅当时等号成立），所以，
则（当且仅当时等号成立），故的最大值为．
方法2：由正弦定理得，，
则，
因为，所以，所以，
故的最大值为（当时）．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，∴，
∴，即，
∵，∴，
∵，，∴，∴，
∴，，
∴．
（2），∴，
∴
．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为底面为矩形，
所以，则，所以．
又在矩形中，，，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
因为，，所以平面．
又平面，所以．
（2）根据已知条件可知，球的球心为侧棱的中点，
则球的半径，
所以球的表面积为，解得，
所以．
20．【答案】（1）；（2）过定点，定点为．
【解析】（1）设椭圆的焦距为，由，即，
∴，有，
又椭圆过点，∴，解得，
∴椭圆的标准方程为．
（2）由题可设直线的方程为，
由，消去，整理可得，
设，，则，，
由题意，可得，有，
∴，
且（直线不过点），
即，整理可得，解得，
故直线过定点．
21．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵，∴，令，则，
∴在上单调递增，在上单调递减．
当时，在上单调递减，的最大值为；
当时，在区间上为增函数，在区间上为减函数，的最大值为，
综上，．
（2），
即，
令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以，即，
因为，所以．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数），
转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．
（2）由（1）知的极坐标方程为，
将代入得，∴，，
故．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
∵，∴或，
∴或，∴，
∴不等式的解集为．
（2）∵，
∴，
∵恒成立等价于，∴，
所以，∴，
∴的取值范围为．
