人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系优秀导学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系优秀导学案，共10页。




1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系.


2.掌握中点弦问题及设而不求的算法


3.加强数形结合思想的训练与应用.





重点：中点弦问题


难点：会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题





知识梳理


1.直线与圆锥曲线的位置关系


(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点.


(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.


如消去y后得ax2+bx+c=0.由Ax+By+C=0,f(x,y)=0消元,


①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).


②若a≠0,设Δ=b2-4ac.


Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;


Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;


Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.


2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题


(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长


|P1P2|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]或|P1P2|=1+1k2[(y1+y2)2-4y1y2](k≠0).


(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,利用两点间距离公式直接运算.








二、典例解析


例1 已知椭圆x216+y24=1,求:











对中点弦问题,常用的解题方法——平方差法,其解题步骤为:


(1)设点,即设出弦的两端点坐标;


(2)代入,即代入圆锥曲线方程;


(3)作差,即两式相减,然后用平方差公式把上式展开,整理.





跟踪训练1 已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( )


A.32B.23C.303D.326





例2. 判断直线l:y=x-2 与抛物线C:x2=-6y相交于A,B两点，且O为坐标原点，


1求弦长AB;


（2）判断OA⊥OB是否成立，并说明理由。





跟踪训练2. 已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点.


（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；


（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由.








跟踪训练3 已知双曲线2x2-y2=2,过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于点Q1,Q2,


且点B是弦Q1Q2的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,请说明理由.








1.直线y＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,3)))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,2)))





2.已知双曲线 y2－eq \f(x2,2)＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于


A.eq \f(1,2) B.－eq \f(1,2) C.2 D.－2


3．（2019·全国高考）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．


（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．


（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．














参考答案：


知识梳理


学习过程


例1 分析:可利用平方差法求解,在求轨迹方程时要注意变量的范围.


解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2.


又A,B两点均在椭圆上,





故有x12+4y12=16,x22+4y22=16.


两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2).


故kAB=y1-y2x1-x2=-x1+x24(y1+y2)=-x4y.


(1)由kAB=-x4y=12,得所求轨迹方程为x-2y-4=0.


(2)由kAB=-x4y=2,得所求轨迹方程为x+8y=0(-4≤x≤4).


(3)由kAB=-x4y=y-2x-8,得所求轨迹方程为(x-4)2+4(y-1)2=20(-4≤x≤4).





跟踪训练1解析:依题设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,


又x12+2y12=4,x22+2y22=4,


∴x12-x22=-2(y12-y22),


此弦的斜率k=y1-y2x1-x2=-x1+x22(y1+y2)=-12,


∴此弦所在的直线方程为y-1=-12(x-1),


即y=-12x+32.


代入x2+2y2=4,整理得3x2-6x+1=0,∴x1x2=13,


∴|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+14×4-4×13=303.


答案:C


例2. 解：设A (x1,y1),B x2,y2,


则AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2


因为A (x1,y1),B x2,y2,都是直线y=x-2上的点，


所以y1=x1-2 ①y2=x2-2 ②


第二式减去第一式可得y2-y1=x2-x1，


从而AB2=(x2-x1)2+(x2-x1)2=2(x2-x1)2，


又因为从方程组y=x-2 x2=-6y


中消去y ，整理可得x2+6x-12=0,而且x1，x2是该方程的两个根，因此由韦达定理可知


x1+x2-6 x1x2=-12


所以(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=-62-4×-12=84 ，


因此AB2= 2×84=168 ，从而可知AB=242


（2）设A (x1,y1),B x2,y2,则OA=(x1,y1), OB=(x2,y2),


因此OA∙OB=x1x2+y1y2


将y1=x1-2, y2=x2-2代入上式可得


OA∙OB=x1x2+x1-2x2-2=2x1x2-2(x1+x2)+4


又因为由x1+x2-6，x1x2=-12


所以OA∙OB= 2×-12-2×-6+4=-8≠0


所以OA⊥OB不成立


跟踪训练2.【解析】


（Ⅰ）如图，设.





把代入得，由韦达定理得.


∴，∴点的坐标为.


设抛物线在点处得切线的方程为，


将代入上式得，


∵直线与抛物线相切，


∴，∴，即.


（Ⅱ）假设存在实数，使，则.


又∵是的中点，∴.


由（Ⅰ）知.


∵轴，∴.


又


.


∴，解得，即存在，使.


跟踪训练3 解:设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)是双曲线上的两点,


则x1≠x2,且x1+x2=2,y1+y2=2,


由2x12-y12=2,2x22-y22=2,


两式相减并变形得y1-y2x1-x2=2,


若存在,则直线l为y-1=2(x-1),即y=2x-1,


联立y=2x-1,2x2-y2=2,得2x2-4x+3=0,


而Δ=-8<0,方程无实根,


即直线与双曲线无交点,


故不存在满足条件的直线.


达标检测


1.解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋1，,x2＋2y2＝4，))得x2＋2(x＋1)2－4＝0，即3x2＋4x－2＝0，


则弦的中点的横坐标为eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝－eq \f(2,3)，





纵坐标为－eq \f(2,3)＋1＝eq \f(1,3)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,3)))，故选B.





2.解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，


则yeq \\al(2,1)－eq \f(x\\al(2,1),2)＝1，yeq \\al(2,2)－eq \f(x\\al(2,2),2)＝1，根据点差法可得(y1－y2)(y1＋y2)＝eq \f(x1－x2x1＋x2,2)，


所以直线l的斜率为k1＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(x1＋x2,2y1＋y2)＝eq \f(x0,2y0)，


直线OP的斜率为k2＝eq \f(y0,x0)，k1k2＝eq \f(x0,2y0)×eq \f(y0,x0)＝eq \f(1,2)，故选A.


3． 【解析】（1）在直线上


设，则


又 ，解得：


过点， 圆心必在直线上


设，圆的半径为


与相切


又，即


，解得：或


当时，；当时，


的半径为：或


（2）存在定点，使得


说明如下：，关于原点对称且


直线必为过原点的直线，且


当直线斜率存在时，设方程为：


则的圆心必在直线上


设，的半径为


与相切


又


，整理可得：


即点轨迹方程为：，准线方程为：，焦点


，即抛物线上点到的距离 ，


当与重合，即点坐标为时，


②当直线斜率不存在时，则直线方程为：


在轴上，设


，解得：，即


若，则


综上所述，存在定点，使得为定值.