高中 / 数学 / 高考专区 / 真题汇编新课标卷Ⅲ文数-2020年高考真题全国卷压轴题解析

新课标卷Ⅲ文数压轴题

12．【课标3卷文科12题】已知函数f（x）＝sin x＋，则（　　）

A．f（x）的最小值为2

B．f（x）的图像关于y轴对称

C．f（x）的图像关于直线x＝π对称

D．f（x）的图像关于直线x＝对称

【答案】D

【解析】A．由于＝2，A错误．B．f（x）＝f（－x）显然不成立，B错误C．f（π－x）＝f（π＋x）显然不成立，C错误．D．容易验证f＝f在定义域上恒成立，D正确．

16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积________．

【答案】π

【解析】该圆锥轴截面为底边长为2，腰为3的等腰三角形，其内切圆为该球的大圆，该三角形的周长为8，面积为2，由于三角形面积S，周长C和内切圆半径R的关系为S＝，所以R＝，故该球的体积πR3＝π·3＝π．

20．（12分）已知函数f（x）＝x3－kx＋k2．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围．

【解析】（1）由题意可得，定义域为R

f′（x）＝3x2－k

①当k≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增

②当k＞0时，f′（x）＝3x2－k

f′（x）＞0⇒x＜或x＞

f（x）在单调递增

或f（x）在单调递增

f′（x）＜0⇒＜x＜

函数f（x）在上单调递增

（2）f（x）＝x3－kx＋k2由（1）可知，k≤0时（舍去）

k＞0，由题意得k＞0且f＞0，f＜0，解之得0＜k＜．[来源:学科网ZXXK]

21．（12分）已知椭圆C：＝1（0＜m＜5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．

（1）求C的方程：

（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．

【答案】（1）C：＝1（0＜m＜5）　（2）

【解析】（1）设a＝4t，c＝ t，则b＝m＝t，所以m＝t，

又a＝4t＝5，解得t＝，所以m＝，所以C的方程为C：＝1（0＜m＜5）．

（2）解法一：如图

设点Q（6，t），P（m，n），又A（－5，0），B（5，0），

则＝（m－5，n），＝（1－t），

所以·＝0，得m－5＋nt＝0，[来源:Z_xx_k.Com][来源:学&科&网]

过P作PK⊥x轴，所以∠1＋∠2＝，∠1＋∠3＝， 所以∠2＝∠3，∠4＝∠1，

所以△PKB≅△BQA，[来源:Zxxk.Com]

得KB＝QG，PK＝BG＝1，即y＝1，

所以P（m，1），得m－5＋t＝0，[来源:学§科§网]

代入椭圆方程＝1，

解得m＝±3，

所以P（3，1）或P（－3，1）；Q（6，2）或Q（6，8），

当P（3，1），Q（6，2）时，|AQ|＝，

直线AQ的方程为：2x－11y＋10＝0，P（3，1）到直线AQ的距离为d＝，

所以S△APQ＝|AQ|d＝××＝，

当P（－3，1），Q（6，8）时，|AQ|＝，

直线AQ的方程为：8x－11y＋40＝0，P（－3，1）到直线AQ的距离为d＝，

所以S△APQ＝|AQ|d＝××＝，

综上△APQ的面积为．

解法二：如图

设点Q（6，t），P（m，n），又A（－5，0），B（5，0），

所以kPBKBQ＝－1，得t·＝－1，①

由|BP|＝|BQ|，得（m－5）2＋n2＝t2＋1，②

由①得，t·＝代入②得（m－5）2＋n2＝2＋1，

（m－5）2n2＋n4＝（5－m）2＋n2整理得，

（m－5）2（n2－1）＝n2（1－n2），

即n＝1，

得m＋t－5＝0，

以下解法同法一得到P（3，1），Q（6，2）或P（－3，1），Q（6，8）．

当P（3，1），Q（6，2），A（－5，0）时，

所以AP＝（8，1），AQ＝（11，2），

所以S△APQ＝|x1y2－x2y1|＝，

当P（－3，1），Q（6，8），A（－5，0）时，

所以AP＝（2，1），AQ＝（11，8），

所S△APQ＝|x1y2－x2y1|＝，

综上△APQ的面积为．