福建省福州第一中学2021届高三上学期期中考试 数学 (含答案)

福州一中2020—2021学年第一学期半期考试卷高三数学（考试时间：120分钟   试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题  ，则为A． B．C． D． 2．设复数满足，则A．         B．           C．            D．3．已知集合，，则
A．         B．           C．            D． 4．已知等差数列的公差为5，前项和为，且成等比数列，则A．         B．           C．            D．5．设函数若，则实数的取值范围是A．     B．    C．  D．6．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽丈，长丈；上棱长丈，无宽，高丈（如图）．问它的体积是多少? ”这个问题的答案是A． 5立方丈          B． 6立方丈         C． 7立方丈          D． 9立方丈 7．设，，，其中，则下列说法正确的是A．         B．           C．            D．8．已知函数（，为自然对数的底数），若与的值域相同，则的取值范围是A．         B．           C．          D．或二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9．已知，下列说法正确的有A．的最小正周期是    B．最大值为C．的图象关于对称  D．的图象关于对称10．已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为A．         B．           C．          D．11．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，以下结论正确的有A．   B．异面直线所成的角为定值C．点到的距离为定值 D．三棱锥的体积是定值12．在（）中，内角的对边分别为，的面积为，若，，，且，，则A．一定是直角三角形         B．为递增数列           C．有最大值                     D．有最小值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，且在上的投影为，则______．14．设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为______．15．已知函数的图象关于直线对称，是的一个极大值点，是的一个极小值点，则的最小值为______．16．三棱锥中，，，面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积为______．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，        ？注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．  18．（12分）如图，在三棱柱中，，，，，是棱上一点．（1）若分别是，的中点，求证：；（2）若，求二面角的大小．  19．（12分）已知等比数列的公比，满足：，且是的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和，求使成立的正整数的最小值． 20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，．（1）求证：平面平面；（2）长为何值时，直线与平面所成角最大？并求此时该角的正弦值．  21．（12分）一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成，米，如图所示．小球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后，以的速度沿与点切线垂直的方向弹射到落袋区内，落点记为．记，（1）用表示小球从到所用的时间；（2）当小球从到所用的时间最短时，求的值．   22．（12分）已知函数是自然对数的底数,是的导函数．（1）若，求证：在单调递增；（2）证明：有唯一的极小值点（记为），且．     高三数学半期考参考答案1-4 DBAC   5-8 CADA   9 BD   10 ABC   11 ACD   12 ABD13．   14．  15．   16．17．解：若选①：因为，所以又因为，所以，即，又因为，所以，所以．由余弦定理得，即，因为，所以，所以，与矛盾，所以满足条件的三角形不存在．若选②：…………即，又因为，所以，所以故，即，所以三角形周长．若选③：…………即，又因为，所以，联立，解得，，所以三角形周长．18．证明：（1）连结A1B交AB1于P．            因为三棱柱ABC-A1B1C1，所以P是A1B的中点． 因为M，N分别是CC1，AB的中点，所以NP // CM，且NP = CM，所以四边形MCNP是平行四边形，    所以CN//MP．                     因为CN平面AB1M，MP平面AB1M， 所以CN //平面AB1M．              （2）因为AC=BC=2，， 所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC． 又因为CC1⊥平面ABC，    以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz．    因为，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)，，，． 设平面的法向量，则，．即        令，则，即．又平面MB1C的一个法向量是，所以．   由图可知二面角A-MB1-C为锐角，所以二面角A-MB1-C的大小为． 19．（1）∵是的等差中项，∴，代入，可得，∴，∴，解之得或，∵，∴，∴数列的通项公式为（2）∵，∴，．．．．．．．．．．．．．．．①，．．．．．．．．．．．．．②②—①得∵，∴，又因为，所以，所以，所以使成立的正整数的最小值为20．解：（1）∵平面平面，∴，又，∴，∴，即（为与交点）．又，∴平面又因为，所以．（2）解：如图，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间坐标系，如图，设，则，则，，，设平面法向量为，则，即，取，得平面的一个法向量为，所以，因为，当且仅当时等号成立，所以，记直线与平面所成角为，则，故，即时，直线与平面所成角最大，此时该角的正弦值为．21．(1)A到E弧长为，，，所以      ，所以，（2），记，且，则，当时，，所以，单调递减，当时，，所以，单调递增，所以时，用时最短．答：当时，小球从到所用的时间最短．22．解（1），记，则，，因为，所以，所以在单调递增，，当时，，所以在单调递增，（2）当时，在单调递增，又，，所以函数在有唯一的零点．当时，，，故，使得，且时，，单调递减，时，，单调递增，又，，所以函数在有唯一的零点．综上所述，在有唯一的零点．当时，，又有唯一的零点，记为，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是唯一的极小值点，即且满足，由单调性知，另一方面，记，则，所以单调递减，又因为，所以，综上所述， ．