江苏基地学校2021届高三上学期第一次大联考试题（12月）数学 (含答案)

www.ks5u.com2021届江苏基地学校高三第一次大联考

数  学

（考试时间：120分钟  满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

    是符合题目要求的。

1． 已知，，，则

    A．         B．         C．         D．

2． 已知复数的共轭复数为，若，且，则

A．1 B． C．2 D．

3． 已知，则的大小关系是

A．         B．         C．         D．

4． 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是

A．            B．             C．            D．

5． 有5名学生志愿者到2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，

每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为

 A．10种            B．20种           C．30种             D．40种

6． 函数的部分图象可能是

7． 若双曲线与双曲线的渐近线相同，则双曲线的离心率

为

    A．            B．              C．              D．

8． 2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生

们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山。宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山。”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基。某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为

A．2655万元 B．2970万元 C．3005万元 D．3040万元

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9． 2019年1月到2019年12月某地新能源汽车配套公共充电桩保有量如下：

则下列说法正确的是

A．2019年各月公共充电桩保有量一直保持增长态势

B．2019年12月较2019年11月公共充电桩保有量增加超过2万台

C．2019年6月到2019年7月，公共充电桩保有量增幅最大

D．2019年下半年各月公共充电桩保有量均突破45万台

10．设，则下列结论正确的是

A．若，则              B．若，则

C．若，则           D．若，则

11．如图，在半圆柱中，为上底面直径，为下底面直径，为母线，

，点在上，点在上，，为的中点．则

A．∥

B．异面直线与所成角为

C．三棱锥的体积为

D．直线与平面所成角的正弦值为

12．已知函数，则下列结论正确的是

A．函数是周期函数                 B．函数在上有4个零点

C．函数的图象关于对称       D．函数的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。

13．已知向量，，且，则        ．

14．设函数则        ．

15．已知抛物线，斜率为的直线经过点，且与交于两点（其中点在轴上方）．若点关于轴的对称点为，则外接圆的方程为      ．

16．某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为m的

正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入

其中．若水晶球最高点到底座底面的距离为m，

则水晶球的表面积为        m2．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．

已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为．若，，

        ，求a和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为，且，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，求证：．

19．（本小题满分12分）

近年来，我国肥胖人群的规模不断扩大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，

国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及

是否健康，其计算公式是．中国成人的BMI数值标准为：

BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖．

某单位随机调查了100名员工，测量身高、体重并计算出BMI值．

（1）根据调查结果制作了如下列联表，请将列联表补充完整，并判断是否

有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；

（2）若把上表中的频率作为概率，现随机抽取3人进行座谈，记抽取的3人中

“经常运动且不肥胖”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

附：，其中．

20．（本小题满分12分）

如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且．

 （1）求证：∥平面；

（2）若二面角的大小为，求的值．

21．（本小题满分12分）

已知为坐标原点，椭圆，点为上的动点，三点

共线，直线的斜率分别为．

（1）证明：；

（2）当直线过点时，求的最小值；

（3）若，证明：为定值．

22．（本小题满分12分）

已知函数，（）．

（1）当时，证明：；

（2）设函数，若有极值，且极值为正数，求实数的取值范围．

2021届江苏基地学校高三第一次大联考

数学参考答案及评分建议

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1~4  D B C D       5~8   C B B C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9．A B        10．A C       11．A B D           12．A C D

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。

13．8       14．      15．   16．

8． 【解析】设2014年到2024年每年的投入资金分别为．由已知，

为等差数列，，其和为万元；为等

比数列，，公比为，其和为．

又，所以万元，所以

投资总额大约为3005万元．选C．

12．【解析】对于A，函数的最小正周期为，所以A正确；

对于B，令，得，函数的零点个数可转化为两函数

图象交点个数，画图可知，图象在上有只有2个交点，

所以B错误；

对于C，由，所以，所以函数的

图象关于对称，C正确；

对于D，由，取一个周期，

令，得，且当时，，当时，

，当时，，所以函数在时取极大值．

由于，所以函数的最大值为，D正确．

所以本题选ACD．

16．【解析】四个小三角形的顶点所在平面截球面得小圆的的半径

为，小圆面到底座的距离为．设球的半径为，

由条件，得，解得，

所以水晶球的表面积为m2．

四、解答题：本题共6小题，共70分。

17．（本小题满分10分）

【解】若选①，由及正弦定理，

得，所以．                     …… 3分

因为，所以．                                    …… 5分

又，所以，                                       …… 6分

结合，可得．                                …… 8分

所以△ABC中的面积

．                   …… 10分

      若选②，由，

      可得．下同①                                         …… 3分

      若选③，由，得，         …… 3分

      因为，所以．下同①                              …… 5分

18．（本小题满分12分）

【解】（1）因为，所以当时，，即．            …… 1分

          当时，有，所以，

          即，即（），

所以是首项为，公比为的等比数列，               …… 4分

          所以．                                 

          所以．                                  …… 6分

     （2）．…… 8分

      所以

，               …… 10分

可知为递增数列，所以．

又，所以，所以．             …… 12分

19．（本小题满分12分）

【解】（1）填表如下：

                                                                     …… 2分

所以．                       …… 5分

          因为，所以有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关．…… 6分

     （2）“经常运动且不肥胖”的频率为．                       …… 8分

          现随机抽取3人，“经常运动且不肥胖”的人数为可能的取值为0，1，2，3．

          ，，

          ，． …… 10分

          所以随机变量的分布列为

          所以的数学期望．… 12分

20．（本小题满分12分）

【证】（1）因为，所以，

又因为平面，平面，

所以平面．                                       …… 2分

因为底面是正方形，所以，

又因为平面，平面，

所以平面．                                       …… 4分

因为平面，平面，，

所以平面∥平面．

因为平面，

所以∥平面．                                       …… 6分

【解】（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，

建立如图空间直角坐标系．

由得，

，，，

，，．

设平面的法向量为，

由已知得，，，

由得

不妨取，则，

从而平面的一个法向量为．                   …… 8分

设平面的法向量为，

又，由得

不妨取，则，

所以平面的一个法向量为．               …… 10分

所以．

因为二面角的大小为，

所以，化简得，

解得或（舍去）．                               …… 12分

21．（本小题满分12分）

【解】（1）由题知关于原点对称，则可设．

因为点在椭圆上，所以，

所以，

所以．    …… 2分

（2）设直线，代入可得，

，所以，

因此，      …… 4分

因为，所以．  

设，则，

等号当仅当时取，即时取等号．

          所以的最小值为8．                         …… 7分

（3）不妨设，由，，

所以． 8分

将直线的方程为代入可得，

，即．

因为，所以方程可化为．

所以，即，所以，即．10分

所以．… 12分

22．（本小题满分12分）

【解】（1）当时，设，所以，

          令，得．

          当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，即．                            …… 2分

又，因为与同号（当时，）

所以，即．

综上可知，．                                 …… 4分

     （2）（），所以．

          当时，，在上单调递减，所以无极值．5分

          当时，记，所以，

          所以即在上单调递减．

          又，．                         …… 7分

          ①当时，，，

所以在上存在唯一的，使得．

当，，所以单调递增；

当，，所以单调递减，

所以的极大值为，符合题意．           …… 10分

          ②当时，，，同理符合题意．

③当时，由（1）知，不合题意．

          综上，实数的取值范围是且．                     …… 12分