安徽省五校2021届高三上学期12月联考 数学（理） (含答案) 试卷
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2021届高三“五校”联考理科数学试题
考试时间： 2020年12月4日
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用（含定积分），三角函数、解三角形，平面向量，复数，数列。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则
A． B． C． D．
2.已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数为
A． B． C． D．
3.设,,则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知点是圆上两点，，的平分线交圆于点，则
A． B． C． D．
5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图2所示，盛水桶在处距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为
A． B． C． D．
图1 图2
6.记是等差数列的前项和，已知，，则
A． B． C． D．
7.函数的部分图象可能是
A B C D
8.已知，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
9.已知是边长为的等边三角形，点为内一点，且，，
则
A． B． C. D．
10.已知函数，则不等式的解集为
A． B． C． D．
11.已知函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为
A． B． C． D．
12.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量为单位向量，其夹角为，则 .
14.函数的极小值为 .
15.已知复数满足，，其中为虚数单位，则的最大值为 .
16.已知是等比数列的前项和，为的公比且.若，则下列命题中所有正确的序号是 .
①；②；③；④.
三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题满分为10分，第18~22题每题满分为12分.
17.（10分）
已知函数.
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若，都有成立，求实数的取值范围.
18.（12分）
已知向量，，设函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
19.（12分）
设数列满足，.
（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；
（2）求数列的前项和.
20.（12分）
的内角的对边分别是.设.
（1）判断的形状；
（2）若的外接圆半径为，求周长的最大值.
21.（12分）
第二届阜阳花博会2020年9月28日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上”．据调研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉30余种，计划在花博会期间举行展销活动．经分析预算，投入展销费万元时，销售量为万个单位，且（，为正实数）．假定销售量与基地的培育量相等，已知该基地每培育万个单位还需要投入成本万元（不含展销费），花卉的销售价定为万元/万个单位．
（1）写出该花卉基地的销售利润万元与展销费万元的函数关系；
（2）展销费为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？
（注：）
22.（12分）
已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线过点，求实数的值；
（2）当时，证明：.
2021届高三“五校”联考理数答案
2020年12月4日
一、选择题：
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
选项 | B | C | A | D | D | C | B | D | C | A | C | B |
11.【解析】
由对称轴和零点可知，得到 ①
由在区间上单调可知，得到 ②
由①②可知可能取3.
当时，可得，满足在上单调，所以满足题意，故的最大值为3.
12.【解析】
解法一：易知在时恒成立，从而可知满足题意；
当时，原不等式可化为.记，则.
而，，
因此，时；时；
所以，，，.
又也满足题意，所以的取值范围为，故选D.
解法二：原不等式可化为，令，则.
从而在恒成立，由切线法知，.
二、填空题：
13题. 14题. 15题. 16题.①③
15.【解析】
由复数的几何意义可知，复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上，对应的点为定点，则表示，两点间距离，由解析几何知识得最大值为.
16.【解析】
，进而得.
三、解答题：共70分.
17.【解析】
（1）由题意可知在上恒成立，故…………………………2分
可得，解得 ………………………………4分
（2）由题意可得，，也即时恒成立
可化为， ………………………………6分
设，只要即可 ……………………8分
，所以，所以………………10分
18.【解析】
（1）
………2分
周期 ………3分
由 ………4分
解得 ………5分
所以，函数的单调递增区间为.………6分
（2）由方程在上有两个不同的实数解
可得在上有两个不同的实数解
即函数与函数的图象有两个交点 ………8分
令，则
即函数与函数，的图象有两个交点
函数在上单调递增，在上单调递减，草图如下
且 ………10分
故. ………12分
19.【解析】
（1） ……………………………2分
猜想： ……………………………3分
证明：由已知可得
........
……………………………6分.
（2） ……………………………7分
①
② ………………………8分
①-② 可得 ……………………………10分
……………………………12分
20.【解析】
（1）解法一：
中，由及正弦定理得，.
………………………………2分
又，
，进而，
，从而即得为等腰三角形. ………………………………5分
解法二：
中，由及正弦定理得，，
进而.
. ………………………………2分
由余弦定理，，化简得，即.
所以，为等腰三角形. ………………………………5分
（2）由正弦定理（为的外接圆直径）及题意，
，
………………………………7分
由（1）知，且，
……………………………9分
令，
则，
易知，当时，，为递增的；
当时，，为递减的. ………………………11分
所以，当时有最大值，
也即周长的最大值为. …………………………12分
21.【解析】
（1）由题意得， …………………………2分
………………………4分
，
所以（，为正实数）． …………………………5分
（2）由（1）得， …………………………7分
易知，函数递增，，函数递减． …………………………8分
又，为正实数，故． …………………………9分
所以，当，即时，，时，函数取得最大值； ……10分
当，即时，时，函数取得最大值． ……11分
综上所述，当时，展销费为万元时，该花卉基地可以获得最大利润；当时，展销费为万元时，该花卉基地可以获得最大利润. ……12分
22.【解析】
（1）解法一：
由题意， ……………………………………1分
……………………………………2分
从而，曲线在点处切线方程为
， ……………………………………3分
又该切线过点，则有， ………………………………4分
解得. ………………………………5分
解法二：
由题意， ………………………………1分
………………………………2分
由曲线在点处切线过点，
则有， ………………………………4分
即，解得. ………………………………5分
（2）解法一：
由题意，，
则. …………………………7分
易知，记，则可知在上递减，
且，，
.使得. ………………………………9分
从而，当时，即；当时，即.
在递增，在递减. ………………………… 10分
由可得及，
.
(注：此处或者处理为“由可得，
”）
从而，. ………………………12分
解法二：
记，则 ……………………6分
易知，
所以，在递增，在递减，则.……………………7分
从而有
………9分
由题意及上述结果，
.
…………………12分
解法三：
由题意，
欲证 ，只需证. …………6分
记 则
从而易知在处有极大值也是最大值. …………………8分
记则
易知在递增，且，
因此，有最小值.
而 …………………11分
从而即证，也即. …………………12分
