湖南省邵东县第一中学2021届高三第五次月考 数学(含答案) 试卷
展开邵东一中2020年高三下学期第五次月考
数学试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项符合题目要求）
1. 复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2．“且”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
3．函数y＝的图象大致是( )
4．数列中，，，若，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5．已知非负数满足，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．1
6． 已知平面向量是单位向量,且.则（ ）
A． B． C． D．
- 在四面体中，，则该四面体的外
接球的表面积为（ ）
- 函数存在两个不同的零点，函数存在两个不同的零
点，且满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每题有多项符合题目要求，全部选对的
得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
- 已知正项等比数列满足，若设其公比为，前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
- 的图像的一条对称轴为，则下列结论中正确的是（ ）
A．是最小正周期为的奇函数 B．点是图像的一个对称中心
C．在上单调递增
D．先将函数图像上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图像再向左平
移个单位长度，即可得到函数的图像
- 点是正方体中侧面上的一个动点，则下面结论正确的是（ ）
A．满足的点的轨迹为直线
B．若正方体的棱长为1，三棱锥的体积的最大值为
C．点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等
D．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
12．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，存在唯一极小值点且
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在上有且只有一个零点
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(－8)的值是____.
14.在棱长为的正方体中，点是线段上的动点，则点到直线距离的最小值为
15. 若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是
16.定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，
则的值为 .
四、解答题：（本大题共6小题，共70分。要求有演算步骤）
17.（10分）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且.
（1）已知_______________，计算的面积；
请在①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.
（2）求的最大值.
18.（12分）已知数列的各项均为正数，对任意的，它的前n项和满足，并且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求.
- （12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，
垂直于和，为棱上的点，，.
（1）若为棱的中点，求证：//平面；
（2）当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）在第（2）问条件下，设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求当
取最大值时点的位置.
20．（12分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某学校为了解教职员工每日健步走的情况，从该学校正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）求这300名员工日行步数（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；
（2）由直方图可以认为该学校员工的日行步数（单位：千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为2，求该学校被抽取的300名员工中日行步数的人数；
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该学校员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额（单位：元）的分布列和数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
21．（12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的最小值为8．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C2：为椭圆C2上一点，过点Q的直线交椭圆C1于A，B两点，且Q为线段AB的中点，过O，Q两点的直线交椭圆C1于E，F两点．当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由．
22．（12分）已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）对，是否存在实数，,使成立，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案
1. D 2．A 3．D 4．C 5．B 6．A 7.B 8.D 9. ；10.BD 11．；12．ABD
13. 14. 15. a∈[－3,0)．16.
四、解答题：（本大题共6小题，共70分。要求有演算步骤）
17.【解析】（1）若选②，③．，，
，，又，．
的面积．
若选①，②．由可得，，
，又，．
的面积．
若选①，③，，又，
，可得，
的面积．
（2）
，
当时，有最大值1．
18.【答案】（1）；（2）
【解析】∵对任意，有①∴当时，有，解得或2.当时，有②①②并整理得.而数列的各项均为正数，∴.
当时，，此时成立；
当时，，此时，不成立，舍去.∴.
（2）.
19.【详解】（1）证明：取线段SC的中点E，连接ME，ED．
在中，ME为中位线，∴且，∵且，∴且，∴四边形AMED为平行四边形．∴．∵平面SCD，平面SCD，
∴平面SCD．
（2）解：如图所示以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
由条件得M为线段SB近B点的三等分点．于是，即，
设平面AMC的一个法向量为，则，将坐标代入并取，得．
另外易知平面SAB的一个法向量为，
所以平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦为．
（3）设，其中．由于，所以．
所以，可知当，即时分母有最小值，此时有最大值，此时，，即点N在线段CD上且．
20．【答案】(1) 12 (2) 47 (3) 分布列见解析，
【解析】（1） 由题意有
（千步）
（2）由，由（1）得
所以
所以300名员工中日行步数的人数：.
(3)由频率分布直方图可知：每人获得奖金额为0元的概率为：.
每人获得奖金额为100元的概率为：每人获得奖金额为200元的概率为：的取值为0，100，200,300,400.
所以的分布列为：
0 | 100 | 200 | 300 | 400 | |
0.0004 | 0.0352 | 0.7784 | 0.176 | 0.01 |
（元）
21．
（2）直线EF的方程为y0x﹣x0y=0，联立直线EF与椭圆C1的方程，
解得E（，），F（﹣，﹣），联立直线AB与椭圆C1的方程，
消去y，得：，x1+x2=2x0，x1x2=2﹣4y02，
|AB|=•=•=，
设点E（）、F（﹣）到直线AB的距离分别为d1，d2，
SAEBF=S△ABE+S△ABF=，
==，
==，
∴SAEBF=•==4．
故当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积为定值4．
解：（1）的定义域为，
①当时，，；，，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
②当时，，；；，，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，
③当时，，；，；，，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，。
（2）由，得，当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以，故当时，；当时，，由（1）知，当时，，所以，若,使
成立，即，则，且，所以
，即。设，，则
，令，，则
，当时，由，故，所以，故，所以在上单调递减，所以时，，即，又时，，所以当时，，单调递减，所以当时，，即，，故，所以当时，
,使成立.即。
