陕西省西安市第一中学2021届高三上学期第五次模拟考试 文科数学(含答案)
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文科数学
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
- i是虚数单位，则复数等于
A. i B. C. 1 D.
- 已知集合，，则
A. B. C. D.
- 下列函数中，最小正周期为的是
A. B. C. D.
- 某质点的位移函数是，则当时，它的速度对t的瞬时变化率即加速度是
A. B. C. D.
- 若，则
A. B. C. D.
- 函数在区间上的图象为
A. B.
C. D.
- 若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是
A. B. C. D.
- 设p：，q：，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是
A. B.
C. D.
- 给出下列四个命题：
若，则或；
，都有；
若是实数，则是的充分不必要条件；
“”的否定是“”
其中真命题的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
- 已知函数为自然对数的底数在上有两个零点，则m的范围是
A. B. C. D.
- 在矩形ABCD中，，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则的最大值为
A. 3 B. C. D. 2
- 已知函数满足对任意的且都有：，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
- 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则________。
- 已知，则的最小值是______．
- 已知各项都是正数的等比数列中，，成等差数列，则______．
- 已知函数有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是________．
三、解答题（本题共计70分，要求写出必要的文字说明或推理过程）
- （本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列满足，是，的等比中项．
求的通项公式；
设数列满足，求的前n项和．
- （本小题满分12分）已知函数．
Ⅰ求的最小正周期和单调递增区间；
Ⅱ若方程在有两个不同的实根，求m的取值范围．
- （本小题满分12分） 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
Ⅰ求A；
Ⅱ若，求得最大值．
- （本小题满分12分）已知关于x的不等式的解集为．
求的值；
正实数满足，求的最大值．
- （本小题满分12分）已知函数
Ⅰ讨论函数在上的单调性；
Ⅱ证明：恒成立．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，且的长度为，求直线的普通方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知函数，．
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
西安市第一中学2021届高三第五次模拟考试
文科数学 参考答案
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | D | D | A | B | B | D | A | A | D | A | B |
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.【答案】解：设等差数列的公差为，
则解得 或舍去，，
．
，
．
18.【答案】解：Ⅰ，
，
，
所以的最小正周期，
由，得 ，
所以的单调递增区间是，
Ⅱ令，因为，所以，
即方程在有两个不同的实根，
由函数的图象可知，当时满足题意，
所以m的取值范围为．
19.【答案】解：Ⅰ，
可得，
为三角形内角，， ，可得；
Ⅱ，，
由余弦定理，可得，可得，
，
，可得，当且仅当时等号成立
的最大值4．
20.【答案】解：因为关于x的不等式的解集为，
所以的一个根是，将代入方程，解得，
此时方程为，解得另一个根为，所以．
因为，，所以，即，
要求的最大值，即求的最大值，即求的最小值，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，
则的最大值为
21.【答案】解：Ⅰ ，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得到，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
Ⅱ由Ⅰ可知，当时，，
特别地，取，有，
即，所以当且仅当时等号成立，
因此，要证恒成立，只要证明在上恒成立即可，
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，当时，，
即在上恒成立，当且仅当时等号成立，
因此，有，又因为两个等号不能同时成立，
所以有恒成立．
22．
【答案】（1）；（2）和．
【解析】（1）将代入曲线极坐标方程得：
曲线的直角坐标方程为，即．……………5分
（2）将直线的参数方程代入曲线方程：，
整理得，
设点，对应的参数为，，解得，，
则，
∵，∴和，
∴直线的普通方程为和．…………………………………….10分
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23.
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，∴，
即求不同区间对应解集，
∴的解集为．……………………………………………….5分
（2）由题意，对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，
∴函数的图象应该恒在的下方，
数形结合可得．…………………………………………10分
