黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三12月月考 数学（文） (含答案) 试卷
展开哈尔滨市第六中学2018级高三上学期12月月考
文科数学试卷
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，
满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,
字迹清楚；
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（ ）
2.已知复数，则的等于（ ）
3.若函数为上的奇函数，且当时，，则的值为（ ）
4.已知向量，，且，那么实数的值是（ ）
5.双曲线的渐近线方程为（ ）
6.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知三人分配奖金的衰分比为，若分得奖金元，则所分得奖金分别为元和元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为( )
元 元 元 元
7.已知球面上三点，如果，且球的体积为，则球心到平面的距离为（ ）
8.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
向左平移个单位 向右平移个单位 向左平移个单位 向右平移个单位
9.已知椭圆：的左，右焦点分别为，为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为（ ）
10.一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）
海里 海里 海里 海里
11.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
12.已知函数，若,且，则的取值范围为（ ）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．
13.若命题“”是真命题，则的取值范围是________；
14.已知满足则最大值为_________；
15.已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是_________；
16.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，，则的面积最大值为_____________；
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）
已知圆过三点．
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆交于两点，求.
18.（本小题满分12分）
已知数列为等比数列，，其中，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
已知向量，，，，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在区间上的值域.
- （本小题满分12分）
如图，四边形为正方形，平面，，点，分别为，的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离．
21.（本小题满分12分）
已知椭圆：（）的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于不同两点，且（为坐标原点），求的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，求证：对任意恒成立；
（3）设，请直接写出在上的零点个数.
哈尔滨市第六中学2018级高三上学期12月月考文科数学答案
一、每小题5分
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | A | B | C | B | A | D | C | C | A | D | B |
二、每小题5分
13.；14.； 15.； 16..
17.（本小题满分10分）
（1）
（2）
18.（1）设数列的公比为，因为，所以.
因为是和的等差中项，所以，
即，化简得.
因为公比，所以.
所以.
（2）因为，所以.
所以，
则.
19.（1）由题意，，
因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以的周期，
所以，解得，故，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为.
（2）由，可得，
根据正弦函数的性质，可得，
所以.
故函数在区间上的值域为.
20.（1）证明：取点是的中点，连接，，则，且，
∵且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴，∴平面．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求点到平面的距离，设为．
利用等体积法：，即，，
∵，，∴，∴
21.（1）
（2）设，由直线与椭圆联立得：，，
又因为，所以得：
所以或
22.（1）当时，，
，
所以在处的切线方程为，即.
（2）要证恒成立，即证，
即证，即证恒成立，
设，
令，当时，，
则，即对任意恒成立，
所以在单调递减，所以.
因为，所以恒成立，结论得证.
（3）在上有2个零点.
