广西省北海中学2020年高三上学期12月月考数学试卷
展开
北海中学2020年秋季学期12月月考试卷文科数学 本卷满分： 150 分，考试时间： 120 分钟。第I卷（选择题，共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，集合，则（ ）A． B． C． D．2.已知复数满足，则（ ）A.5 B. C. D.3.是等差数列的前n项和，若，则（ ）A. B. C. D.4.若变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）A．1 B． C． D．5．某5个数据的均值为10，方差为2，若去掉其中一个数据10后，剩下4个数据的均值为，方差为，则（ ）A．， B．，C．， D．，6.曲线在点处的切线方程是（ ）A． B．C． D．7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）A． B． C． D．8．过点的圆的切线方程是（ ）A．或 B．或C．或 D．9.若是的一个内角，且，则的值为（ ）A． B． C． D．10.已知双曲线E:的右焦点为F，以（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）.若,则双曲线E的离心率为（ ）A. B.2 C. D. 411．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为（ ）A． B． C．1 D．12.已知函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数的图象，则函数（ ）A．函数是偶函数 B．其图象关于直线对称C．在上是增函数 D．在区间上的值域为 第II卷（非选择题，共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，向量，则与的夹角大小为___________.14．已知则的最小值是 .15．已知为数列的前项和，若，则________.16．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________． 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，.（1）求角A的大小；（2）若，求面积的最大值. 18．（本小题满分12分）2020年春，新型冠状病毒在我国湖北武汉爆发并讯速蔓延，病毒传染性强并严重危害人民生命安全，国家卫健委果断要求全体人民自我居家隔离，为支援新型冠状病毒疫情防控工作，各地医护人员纷纷逆行，才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社区为保障居民的生活不受影响，由社区志愿者为其配送蔬菜、大米等生活用品，记者随机抽查了男、女居民各100名对志愿者所买生活用品满意度的评价，得到下面的2×2列联表． 特别满意基本满意男8020女955（1）被调查的男性居民中有5个年轻人，其中有2名对志愿者所买生活用品特别满意，现在这5名年轻人中随机抽取3人，求至多有1人特别满意的概率．（2）能否有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异？附： 19．（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥中，平面，，、分别为线段、上的点，且，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离. 20.（本小题满分12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值． 21.（本小题满分12分）已知抛物线C：，直线l：（）.（1）证明：直线l与抛物线C恒有两个交点；（2）直线与C有两个交点A，B，O为原点，如果，直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所除题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线：，曲线：（t为参数）.（1）求曲线与的直角坐标方程；（2）已知P，Q分别为曲线与曲线上的动点，求的最小值. 23.（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知函数.（1）不等式的解集，求．（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
北海中学2021届高三12月月考试卷文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CBACBCBADACD【解析】 由，得，∴.∵，∴，故选C.2.法一：，∴法二：，∴ 故选B.3.，则,故选A4.画出可行域，向上平移基准直线,可得最优解为，由此求得目标函数的最小值为，故选C.5．设原数据的均值和方差分别为，设10是第5个数据，所.由题得由题得，所以，所以故选：B．6.，∴，又，∴函数的图象在点处的切线方程是，即，故选C.7.根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：所以表面积为 所以选B8.因为圆的圆心为，半径为1，由题意，易知所求切线斜率存在，设过点与圆相切的直线方程为，即，所以有，整理得，解得，或；因此，所求直线方程分别为：或，整理得或.故选D9．是的一个内角,，又，所以有，故选D.10..因为为直径，点M在圆上，所以.又，由圆的对称性，有，所以.由渐近线斜率，所以离心率为. 故选D.11.由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，可得，∴，可得：，球的体积，解得，所以到平面的距离为：.故选：C.12.，由函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，则周期，即，即，把函数的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数的图象，所以，再由图象可知，故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案150°（或）432-313.填150°（或），由， 所以夹角为150°.14．4 解：lg 2x＋lg 8y＝xlg2＋3ylg 2＝lg 2，∴x＋3y＝1，∴＝·(x＋3y)＝2＋≥4，当且仅当x＝，y＝时取等号．15.32当时，解得；当时，，整理得，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，，所以.故答案为：32.16．.解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以， 本小题满分12分）解：（1）设这5个年轻人为，其中特别满意的2人为则任取3人的基本事件为：，共10种其中3人中至多1人特别满意的事件有：，共7种所以至多1人特别满意的概率为（2）则有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异18.（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理，得，…………………………………………（1分）.…………………………………………（2分）∵，.…………………………………………（3分）∴.…………………………………………（4分）∵，∴.………………………………………………（5分）（2），…………………………………………（7分）∴.…………………………………………（8分）∵，∴，∴，…………………………………………（10分）∴，当且仅当“”时取“=”，所以面积的最大值为.…………………………………………（12分）19解：(Ⅰ)证明：由平面，平面，故由，得为等腰直角三角形，故又，故平面． (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，过作垂直于，易知，又平面，所以，，设点到平面的距离为，即为三棱锥的高，由得 ，即，即，所以，所以点到平面的距离为.20.（本小题满分12分）解：（1）因为f（x）＝（x﹣a）ex，所以f'（x）＝（x﹣a+1）ex，当x∈（﹣∞，a﹣1）时，f'（x）＜0；当x∈（a﹣1，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，a﹣1），单调递增区间为（a﹣1，+∞）．（2）由g（x）＝（x﹣2）ex+lnx﹣x﹣b，因为g（x）≤0对任意的恒成立，b≥（x﹣2）ex+lnx﹣x对任意的恒成立，构造函数h（x）＝（x﹣2）ex+lnx﹣x，．∵，∴x﹣1＜0，且单调递增，∵，t（1）＝e﹣1＞0，∴一定存在唯一的，使得t（x0）＝0．即，x0＝﹣lnx0．∴h（x）在上单调递增，在（x0，1）上单调递减．∴．∵b∈Z，∴b的最小值为﹣3．21.（本小题满分12分）（1）证明：联立得.…………………………………………（1分）∵，…………………………………（3分）故直线l与抛物线C恒有两个交点.…………………………………………（4分）（2）解：设直线的方程为，联立得，∴或（舍去），∴.…………………………………………（6分）设直线的方程为，联立得，…………………………………………（8分）∴，…………………………………………（10分）∴直线的方程为，即，…………………………………………（11分）∴直线恒过定点.…………………………………………（12分）22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）∵，，…………………………………………（1分）∴.…………………………（3分）由消掉t后得，…………………………………………（4分）故曲线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.…………………………………………（5分）（2）由（1）知曲钱的圆心坐标为和半径为.…………………………………………（6分）∵点到曲线的距离，………………………………………（8分）∴的最小值为.…………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）解：（1），^^^^^^^^^^^^^^①……………1分当时，； ……………………2分当时， ……………………3分当时，， ……………………4分所以不等式的解集. ……………………5分（2）由①易知，当， .……………………7分由 ……………………8分 ……………………10分
