广西省北海中学2020年高三上学期12月月考数学试卷
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北海中学2020年秋季学期12月月考试卷文科数学 本卷满分: 150 分,考试时间: 120 分钟。第I卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合,集合,则( )A. B. C. D.2.已知复数满足,则( )A.5 B. C. D.3.是等差数列的前n项和,若,则( )A. B. C. D.4.若变量,满足约束条件则目标函数的最小值为( )A.1 B. C. D.5.某5个数据的均值为10,方差为2,若去掉其中一个数据10后,剩下4个数据的均值为,方差为,则( )A., B.,C., D.,6.曲线在点处的切线方程是( )A. B.C. D.7.一个四棱锥的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )A. B. C. D.8.过点的圆的切线方程是( )A.或 B.或C.或 D.9.若是的一个内角,且,则的值为( )A. B. C. D.10.已知双曲线E:的右焦点为F,以(O为原点)为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M,N(M,N异于点O).若,则双曲线E的离心率为( )A. B.2 C. D. 411.已知是面积为的等边三角形,且其顶点都在球的球面上,若球的体积为,则到平面的距离为( )A. B. C.1 D.12.已知函数的零点依次构成一个公差为的等差数列,把函数的图象沿x轴向右平移个单位,得到函数的图象,则函数( )A.函数是偶函数 B.其图象关于直线对称C.在上是增函数 D.在区间上的值域为 第II卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量,向量,则与的夹角大小为___________.14.已知则的最小值是 .15.已知为数列的前项和,若,则________.16.若函数在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小值的和为__________. 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,.(1)求角A的大小;(2)若,求面积的最大值. 18.(本小题满分12分)2020年春,新型冠状病毒在我国湖北武汉爆发并讯速蔓延,病毒传染性强并严重危害人民生命安全,国家卫健委果断要求全体人民自我居家隔离,为支援新型冠状病毒疫情防控工作,各地医护人员纷纷逆行,才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社区为保障居民的生活不受影响,由社区志愿者为其配送蔬菜、大米等生活用品,记者随机抽查了男、女居民各100名对志愿者所买生活用品满意度的评价,得到下面的2×2列联表. 特别满意基本满意男8020女955(1)被调查的男性居民中有5个年轻人,其中有2名对志愿者所买生活用品特别满意,现在这5名年轻人中随机抽取3人,求至多有1人特别满意的概率.(2)能否有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异?附: 19.(本小题满分12分)如图所示,在三棱锥中,平面,,、分别为线段、上的点,且,.(1)求证:平面;(2)求点到平面的距离. 20.(本小题满分12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)当时,设函数,若对任意的恒成立,求的最小值. 21.(本小题满分12分)已知抛物线C:,直线l:().(1)证明:直线l与抛物线C恒有两个交点;(2)直线与C有两个交点A,B,O为原点,如果,直线是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由. 请考生在第22、23两题中任选一题作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所除题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线:,曲线:(t为参数).(1)求曲线与的直角坐标方程;(2)已知P,Q分别为曲线与曲线上的动点,求的最小值. 23.(本小题满分10分)【选修4—5:不等式选讲】已知函数.(1)不等式的解集,求.(2)若关于的方程有实数根,求实数的取值范围.
北海中学2021届高三12月月考试卷文科数学参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)题号123456789101112答案CBACBCBADACD【解析】 由,得,∴.∵,∴,故选C.2.法一:,∴法二:,∴ 故选B.3.,则,故选A4.画出可行域,向上平移基准直线,可得最优解为,由此求得目标函数的最小值为,故选C.5.设原数据的均值和方差分别为,设10是第5个数据,所.由题得由题得,所以,所以故选:B.6.,∴,又,∴函数的图象在点处的切线方程是,即,故选C.7.根据三视图,画出原空间结构图如下图所示:所以表面积为 所以选B8.因为圆的圆心为,半径为1,由题意,易知所求切线斜率存在,设过点与圆相切的直线方程为,即,所以有,整理得,解得,或;因此,所求直线方程分别为:或,整理得或.故选D9.是的一个内角,,又,所以有,故选D.10..因为为直径,点M在圆上,所以.又,由圆的对称性,有,所以.由渐近线斜率,所以离心率为. 故选D.11.由题意可知图形如图:是面积为的等边三角形,可得,∴,可得:,球的体积,解得,所以到平面的距离为:.故选:C.12.,由函数的零点依次构成一个公差为的等差数列,则周期,即,即,把函数的图象沿x轴向右平移个单位,得到函数的图象,所以,再由图象可知,故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)题号13141516答案150°(或)432-313.填150°(或),由, 所以夹角为150°.14.4 解:lg 2x+lg 8y=xlg2+3ylg 2=lg 2,∴x+3y=1,∴=·(x+3y)=2+≥4,当且仅当x=,y=时取等号.15.32当时,解得;当时,,整理得,所以数列是首项为1,公比为2的等比数列,,所以.故答案为:32.16..解:由得,因为函数在上有且仅有一个零点且,所以,因此从而函数在上单调递增,在上单调递减,所以, 本小题满分12分)解:(1)设这5个年轻人为,其中特别满意的2人为则任取3人的基本事件为:,共10种其中3人中至多1人特别满意的事件有:,共7种所以至多1人特别满意的概率为(2)则有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异18.(本小题满分12分)解:(1)由正弦定理,得,…………………………………………(1分).…………………………………………(2分)∵,.…………………………………………(3分)∴.…………………………………………(4分)∵,∴.………………………………………………(5分)(2),…………………………………………(7分)∴.…………………………………………(8分)∵,∴,∴,…………………………………………(10分)∴,当且仅当“”时取“=”,所以面积的最大值为.…………………………………………(12分)19解:(Ⅰ)证明:由平面,平面,故由,得为等腰直角三角形,故又,故平面. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知,为等腰直角三角形,过作垂直于,易知,又平面,所以,,设点到平面的距离为,即为三棱锥的高,由得 ,即,即,所以,所以点到平面的距离为.20.(本小题满分12分)解:(1)因为f(x)=(x﹣a)ex,所以f'(x)=(x﹣a+1)ex,当x∈(﹣∞,a﹣1)时,f'(x)<0;当x∈(a﹣1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)的单调递减区间为(﹣∞,a﹣1),单调递增区间为(a﹣1,+∞).(2)由g(x)=(x﹣2)ex+lnx﹣x﹣b,因为g(x)≤0对任意的恒成立,b≥(x﹣2)ex+lnx﹣x对任意的恒成立,构造函数h(x)=(x﹣2)ex+lnx﹣x,.∵,∴x﹣1<0,且单调递增,∵,t(1)=e﹣1>0,∴一定存在唯一的,使得t(x0)=0.即,x0=﹣lnx0.∴h(x)在上单调递增,在(x0,1)上单调递减.∴.∵b∈Z,∴b的最小值为﹣3.21.(本小题满分12分)(1)证明:联立得.…………………………………………(1分)∵,…………………………………(3分)故直线l与抛物线C恒有两个交点.…………………………………………(4分)(2)解:设直线的方程为,联立得,∴或(舍去),∴.…………………………………………(6分)设直线的方程为,联立得,…………………………………………(8分)∴,…………………………………………(10分)∴直线的方程为,即,…………………………………………(11分)∴直线恒过定点.…………………………………………(12分)22.(本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】解:(1)∵,,…………………………………………(1分)∴.…………………………(3分)由消掉t后得,…………………………………………(4分)故曲线的直角坐标方程为,的直角坐标方程为.…………………………………………(5分)(2)由(1)知曲钱的圆心坐标为和半径为.…………………………………………(6分)∵点到曲线的距离,………………………………………(8分)∴的最小值为.…………………………………………(10分)23.(本小题满分10分)解:(1),^^^^^^^^^^^^^^①……………1分当时,; ……………………2分当时, ……………………3分当时,, ……………………4分所以不等式的解集. ……………………5分(2)由①易知,当, .……………………7分由 ……………………8分 ……………………10分