湖北省十一校2021届高三上学期第一次联考（12月）数学 (含答案) 试卷

湖北省武汉二中、襄阳四中、襄阳五中、荆州中学、宜昌一中、夷陵中学、龙泉中学、黄冈中学、鄂南高中、黄石二中、孝感高中十一校考试联盟十二月联考

数学试题

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设全集为R，集合 ，，则（   ）
A.   B.
C.   D.

2．已知(为虚数单位)的共轭复数为，则（   ）
A．10 B．9 C． D．3

3．已知，，，（其中e为自然对数）则（   ）
A.  B.  C.  D.

4．为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究. 当地有一座山，高度为OT，同学们先在地面选择一点A，在该点处测得这座山在西偏北方向，且山顶T处的仰角为；然后从A处向正西方向走140米后到达地面B处，测得该山在西偏北方向，山顶T处的仰角为. 同学们建立了如图模型，则山高OT为（   ）
A. 米  B. 米 C. 米 D. 米

5．设数列的前项和为，且是等差数列，若，则（   ）
A． B． C． D．

6．已知直线，平面，其中，在平面内，下面四个命题：
①若，则； ②若，则；
③若, 则； ④若, 则.
以上命题中, 正确命题的序号是（   ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④

7．设，则“”是“”的（   ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

8．蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球. 因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.年月日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录 .打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知某鞠的表面上有四个点A、B、C、D，满足任意两点间的直线距离为，现在利用打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩余的部分，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（   ）（参考数据：取，，，精确到0.1）
A．113.0g B．267.9g C．99.2g D．13.8g

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）

9．我国5G技术研发试验在2016-2018年进行，分为5G关键技术试验、5G技术方案验证和5G系统验证三个阶段实施。2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来5G手机的实际销量，如下表所示：

若与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（   ）
A．
B．与正相关
C．与的相关系数为负数
D．12月份该手机商城的5G手机销量约为365部

10．已知F是椭圆的右焦点, M为左焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（   ）
A．的面积最大时，
B．的最大值为8
C．的值可以为

D．椭圆上存在点P，使

11．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数:定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题中正确的是（   ）
A．函数在上是减函数
B．若=2，则  
C．函数,则的最大值
D．

12．已知函数，则下列结论正确的有（   ）
A. 若有3个零点，则的范围为
B.  时，的极值点
C. 时，的零点，且
D. 时，恒成立

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．已知单位向量、的夹角为120°，与垂直，则k=_______________.

14．设函数，则满足的的取值范围是    ________________.(用区间表示)

15．湖北省 2021 年的新高考按照“ 3+1+2 ”的模式设置，“ 3 ”为全国统一高考的语文、数学、外语3 门必考科目；“1”由考生在物理、历史2 门中选考1门科目；  “ 2 ”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4 门中选考2 门科目. 则甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同的条件下，均选择物理的概率为_____________.

16．已知分别为双曲线的左、右焦点，C的离心率，过的直线与双曲线C的右支交于A、B两点（其中A点在第一象限），设点M、N分别为的内心，则的范围是_______________. （用只含有的式子表示）

四、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知在中，为钝角，，.
（1）求证： ；
（2）设,求AB边上的高.

18．（12分）已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）在（1），
（2），
（3） 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成求解. 
若                 ，求数列的前n项和.
注：如果选择多个条件分别作答，按照第一个解答计分.

19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别在，，且，.设.
（1）当异面直线与所成角的大小为，求的值
（2）当时，求二面角的大小.

20．（12分）新冠肺炎是2019年12月8日左右出现不明原因肺炎，在2020年2月11日确诊为新型冠状病毒肺炎. 新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease 2019，COVID-19）是由严重急性呼吸系统综合征冠状病毒2（severe acute respiratory syndrome coronavirus 2，SARS-CoV-2）感染后引起的一种急性呼吸道传染病. 现已将该病纳入《中华人民共和国传染病防治法》规定的乙类传染病，并采取甲类传染病的预防、控制措施. 2020年5月15日,习近平总书记主持召开中共中央政治局会议，讨论国务院拟提请第十三届全国人民代表大会第三次会议审议的《政府工作报告》稿. 会议指出，今年下一阶段，要毫不放松常态化疫情防控，着力做好经济社会发展各项工作.
   某企业积极响应政府号召，努力做好复工复产工作. 准备投产一批特殊型号的产品, 已知该种产品的成本与产量的函数关系式为：
                     .
该种产品的市场前景无法确定,有三种可能出现的情况,各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示:

设分别表示市场情形好、中、差时的利润,随机变量ξ 表示当产量为时而市场前景无法确定的利润.

（1）分别求利润的函数关系式；
（2）当产量确定时,求期望 ；
（3）试问产量取何值时, 期望取得最大值.

21．（12分）已知直线与抛物线相交于，两点，满足. 定点，，M是抛物线上一动点，设直线CM，DM与抛物线的另一个交点分别是E，F .
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：当M点在抛物线上变动时（只要点E、F存在且不重合），直线EF恒过一个定点；并求出这个定点的坐标.

22．（12分）已知函数

（1）讨论的单调性；
（2）若，是的两个零点 .

证明：（i）；         （ii） .