数学必修11.3.1单调性与最大(小)值精品教学设计

§1．3．1函数的最大（小）值

一．教学目标

1．知识与技能：

理解函数的最大（小）值及其几何意义．

学会运用函数图象理解和研究函数的性质．

2．过程与方法：

通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．

3．情态与价值

利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性．

二．教学重点和难点

教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义

教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

三．学法与教学用具

1．学法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤．

2．教学用具：多媒体手段

四．教学思路

（一）创设情景，揭示课题．

画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

①               ②

③           ④

（二）研探新知

1．函数最大（小）值定义

最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的，都有；

    （2）存在，使得．

那么，称M是函数的最大值．

思考：依照函数最大值的定义，结出函数的最小值的定义．

注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有．

2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．

①配方法     ②换元法     ③数形结合法

（三）质疑答辩，排难解惑．

例1．（教材P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．

解（略）

例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

解：设利润为元，每个售价为元，则每个涨（－50）元，从而销售量减少  

∴

＜100）

∴

答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．

例3．求函数在区间[2，6] 上的最大值和最小值．

解：（略）

例4．求函数的最大值．

解：令

（四）巩固深化，反馈矫正．

（1）求函数的最大值和最小值．

（2）如图，把截面半径为25cm的图形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为，面积为，试将表示成的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？

（五）归纳小结

求函数最值的常用方法有：

（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值．

（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．

（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．

（六）设置问题，留下悬念．

1．课本P39（A组）  5.

2．求函数的最小值．

3．求函数．

   ①        ②         ③

A组

一、选择题：

1．若一次函数上是单调减函数，则点在直角坐标平面的（  ）

A．上半平面  B．下半平面  C．左半平面  D．右半平面

2．函数y=x2+x+2单调减区间是(    )

A ．[－,+∞]     B．（－1，+∞）    C．（－∞，－）     D．（－∞，+∞）

3．下列函数在（0，3）上是增函数的是（     ）

A．    B．        C．         D．

4．已知函数在区间（-∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（     ）

A．a≥3    B．a≤-3    C．a≥-3     D．a≤5 

5．设A=[1，b]（b＞1），，若f（x）的值域也是A，则b值是（      ）

A．            B．2            C．3            D．

6．定义在R上的f（x）满足f（－x）＝f（x），且在（－∞，0）上是增函数，若，则a的取值范围是（　 ）

A．　    B．|a|>2      C．　  　D．

二、填空题：

7．若函数f(x)=(-k2+3k+4)x+2是增函数，则k 的范围是                

8．定义在区间[a、b]上的增函数f（x），最大值是________，最小值是________。

定义在区间[c，d]上的减函数g（x），最大值是________，最小值是________。

9．一般地，家庭用电量y（千瓦）与气温x（℃）有函数关系。图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量. 试在数集是2.5的整数倍}中确定一个最小值和最大值，使上的增函数，则区间[，x2]=          .

10．读图分析：设定义在的函数的图象

如图所示（图中坐标点都是实心点），请填写以下几个空格：

（1）若，，则___________。

（2）若的定义域为，则函数

的定义域为____________。

（3）该函数的单调增区间为__________、

__________、_________。

（4）方程（）的解个数为____(个)。

11．函数在区间[-3，a]上是增函数，则a的取值范围是________。

12．函数的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿＿。

三、解答题：

13．画出函数的图象，并求出此函数的单调区间。

14．利用函数单调性定义，证明函数在（-1，1）上是增函数。